高中数学1理 第三章导数及其应用

第三章

DISANZHANG导数及其应用

以基本初等函数为毂体.利用导数研究函数的单•调题型以一大或一小一大形式出现.小题以

题型难度

性.械值、蚊值.零点问题.同时与解不等式关系密考查内容基础为主,大题常常为压轴J8.有一定的

切.还可能与三M函数.数列等知识综合考花难度和区分度.

高考对本章内容的考查较为稳定.选择膻.发空题

与解答题第（1）何以考杳导数的儿何意义为主.

命翅特点核心素养-------

解答题大致可以分为以卜几种情形：（1）考查函一\命题z规律A--------对号科核心索养的为代“数学运算和逆辑推

数的单调性.极值与Jft值；（2）对函数零点的讨理为主.

论；（3）考查不等式的证明；（4）考查不等式包

成立或有解时参数的取值范I吼

本率内容为高考每年必考内容.总分值为12或1：

分.在高考中占比较大

第一节变化率与导数的概念及运算、定积分

■梳教初•固基础------基固为根必备知识

［基础自梳］

1.导数的概念

⑴函数y=/（x）在x=x0处导数的定义称函数y=/（x）在x=x0处的瞬时变化率

心:产+及刎为函数y=«x）在x=xo处的导数,记作f（沏）或

，im

v'IY—m即.，sLlim或一1―）一段0）

）仅一如即/（X°）-/L0/X—/LOAX

（2）导数的几何意义

函数人r）在点刈处的导数，恤）的几何意义是在曲线y=；（x）上点P（xo,光）处的切线的

斜率（瞬时速度就是位移函数s⑺对时间t的导数）.相应地，切线方程为v—yo=广（xo）Cr

一超）•

（?）函数#丫）的导函数

称函数/（x）=，，m严方一©为/U）的导函数.

4LO

点拨（1/（xo）代表函数人外在x=xo处的导数值；（/U）））'是函数值人孙）的导数，而函

数值人的是一个常量，其导数为0,即（ZU）））'=0.

（2）f㈤是一个函数，与/（冲）不同.

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

y（x）=c（c为常数）/(%)=o

凡i)=Y(a£Q')f(M=鹏|

j(x)=sinxf(x)=cos_x

J(x)=cosxM=一sin/

j(x)=a\a>0,且aKl)f(x)=a'ln"

段)=9f(x)=e

/a尸i

7(x)=logflX(a>0,且aWl)

fix)=\nxf8=:

3.导数的运算法则

(i)［/(x)±ga)］'=n(幻士E(幻.

(2)［/(x>g(x)］，=f(x)jgtv)+Rr)a'(x).

nJ匣］_f。皿。)一段)g'。)

(3W-［g(刈2(g(MO)・

点拨求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或

成立条件，但要注意这一点，如(？)'=，1-1中，〃W0且nGQ\

f(x)g(x)-/U)X'Q)

,g(x)WO,要满足“=”前后各代数式有意义，且导致都存在.

g2(X)

4.定积分的性质

(l)/，kf(x)dx=k/f(x)dx(k为常数);

(2)y［fi(x)±f2(x)］i/x=/%(x)dx±/，f2(x)dx；

(3)/f(x)dx=/f(x)dx+「f(x)4x次中a<c<b).

点拨’求分段工数的定积3,可以先确定不同区间上的函数解析民，然后根据定积分的

性质进行计算.

5.微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间⑶b］上的连续函数，并且F'(x)=f(x),那么£f(x)dx=F(b)

—F(a),常把F(b)—F(a)记作F(x)?,即/〃f(x)dx=F(x)?=F(b)—F(a).

［基础自测］

1.若f(x)=xd,则f'(1)等于()

A.0B.eC.2eD.e2

［答案］C

2.已知f(x)=x/〃x,若f'(x/=2,则xo等于()

A.e2B.eD.In2

［答案1B

3.(2018•高考全国I卷，改编)函数f(x)=x3在(0,0)处的切线为()

A.不存在B.X-0C.y—0D.y-x

［答案］C

4.曲线y=x?+；在点(1,2)处的切线方程为______

A

［答案］x—y+l=0

5.(易错点：积分与图形面积关系)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为

［答案］|

・BI考点•练方法-----点明为纲关键能力

考点一导数的运算

［例1］(1)已知f(x)=x(2020+历x),若「(xo)=2021,则xo=()

A.e2B.1C.In2D.e

B［f‘(x)=2020+/〃x+x1=2021+/〃x,

故由f'(xo)=2O21,得2O21+/〃xo=2O21,

则加xo=O,解得xo=L］

⑵已知函数f(x)=(2x+1)〃.F(x)为f(x)的导函数.贝Ijf'(①的值为

［解析］f'(x)=2eX+(2x+l)F=(2x+3)e\所以f'(0)=3.

［答案］3

(3)已知函数f(x)=f'仔)cosx+s加X,贝的值为.

［解析］因为f(x)=f'修)C"x+si〃x,

所以f'(X)=—f'加x+cosX,

故「僚=一『修)后+c若，

得F侪=啦一1.

所以吁)=(应一1>C若+s谓=L

［答案I1

方法指导求导运算应遵循的2个原则

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减

少运算量，提高运算速度，减少差错.

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形

将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.

［思维变式］

1.已知y=(x+l)(x+2)(x+3),则y'=()

A.3x2—12x+6B.x2+12x-11

C.X2+12X+6D.3X2+12X4-11

D［法一y'=(x+2)(x+3)+(x+1)(x4-3)+(x+l)-(x+2)=3x24-12X4-11.

法二Vy=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+llx+6,，y'=3x2+l2x+II.］

2.已知fi(x)=si〃x+cosX,fn+l(x)是fn(x)的导函数，即f2(X)=f/(X),fj(X)=(2'(X),…，

,

fn+i(x)=f„(x),neN*,则加以(x)等于()

A.—sinx—cosxB.sinx—cosx

C.-sinx+cosxD.sinx+cosx

D「・,力(x)=sinx+cosx,工力(x)=/j'(x)=cosx-sinx,・••力(x)=力'(x)=_sinx—cosx,

.*.74(x)=力'(x)=-cosx+sinx,

・••乐(x)=f4'(x)=sinx+cosx,

・・・工心)是以4为周期的图数，

••fi021(.^)—f\(Jt)=sin+cosx,故选D.］

工若尸土+*,则<=——.

I+A/X+1-y［x__2_

［解析］y-(i-m)(1+也)一匚?

,v，V0「E2

I答案1,

考点二导数的几何意义及应用

角度1已知切点的切线问题

［例2］(1)已知人村为偶函数，当％<0时，1幻=加(一x)+3x,则曲线y=/(x)在点(1,-3)

处的切线方程是.

［解析1由题意可得当x>0时，/(x)=lnx—3x,则/(x)=--3,/(1)=-2,则在点(1,

一3)处的切线方程为y+3=-2(x-l),即2r+y+l=O.

［答案］2x+y+l=O

(2)设函数yU)=V+(a—1)*若儿。为奇函数，则曲线y=/U)在点(0,0)处的切线方程

为()

A.y=-2xB.y=—xC.y=2xD.y=x

Dr・力力=丁+(。-1"2+依为奇函数，Aa-1=0,得a=l,.\/(x)=V+x,：.f(x)

=3f+l,(0)=1,则曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为了=居故选D.］

角度2未知切点的切线问题

［例3］(1)已知函数/(x)=Hnx,若直线/过点(0,—1),并且与曲线)，=4工)相切，则直

线/的方程为.

［解析］•・•点(0,一。不在曲线人x)=xlnx上，

；・设切点为(xo,yo).XV/(x)=l+lnx,

；・直线，的方程为y+l=(l+lnx())x.

(yo=xoln%o>

•••由J、解得xo=l,刈=0.

l.yo+1=(l+lnxo)xof

，直线/的方程为y=x-l,即x-y-l=O.

［答案］x-y-\=O

(2)(2021・陕西模拟)设曲线在点(0,1)处的切线与曲线y=%x>0)上点P处的切线垂

直，则点尸的坐标为()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,-1)D.(一1,1)

A［对了=^求导得y'=eA,令x=0,得曲线y=e*在点(0,1)处的切线斜率为1,故曲

线y=：(x>0)上点尸处的切线斜率为一1,由y'=—?=-1,得x=l,则y=l,所以点、P

的坐标为(1,1).故选AJ

角度3根据切线问题求参数

［例4］(1)直线尸乙+1与曲线尸/+融+方相切于点A(l,3),则b的值为.

［解析］因为直线,)，=履+1与曲线)，=/+ax+b相切于点A(l,3),

2+1=3,

所以，©

1+。+8=3,

又因为y=)?-\-ax-\-b,

所以y'=3f+a,当x=l时，)，'=3+a,得切线的斜率为3+%所以2=3+。;②

所以由①②得：b—3.

［答案13

(2)若曲线G：产ad(q>0)与曲孥。2：尸e*存在公共切线，则a的取值范围为()

A.+8)B.(0,yC.*+8)D.0,j

C［由)，=加(〃>0),得y'=2ar,由y=e\得y'=ev,

设公切线与y=ar2^>。)切于点(即，混),与y=e”切于点(及，eX2),

则23=必=些3，将2因=加代入2的=吟士

X2-X|%2一由

可得比『+2,.・・仁寿=缶

.〜F“eA(x—2)

?己/此=4(1—1)，/。)=4(1一］)2

当x£(l,2)时，f(x)<0,当x£(2,+8)时，/(x)>0,

2

故人X)min=«/(2)=，，

故a吟,+0°.］

方法指导导数几何意义应用的类型及解法

1.已知切点A(沏，©))求斜率鼠即求该点处的导数值(xo).

2.若求过点P(xo,泗)的切线方程，可设切点为(R,yi),由|,、求解

l)\)-yi=J(X1)(XO-X1)

即可.

3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.

［思维变式］

1.如图，yfx)是可导函数，直线/：y=kx+2是曲线y=/(x)在x=3处的切线，令g(x)

=犹刀)，针。)是g。)的导函数，则g'(3)=()

C.2D.4

B［依题意得43)=k3+2=1,k=-g,

则/(3)=%=—/g'(3)=(3)+V(3)=1—1=0,故选B.］

2.(2021・四川成都模拟)曲线y=xsinx在点Pg0)处的切线方程是()

A.y=_TCX+TT2B.y=nx-\-TT

C.y=—nx—ivD.y=nx—n1

A［因为y=xsinx,所以y'=sinx+xcosx,在点P(n,0)处的切线斜率为Z=sin7t+7tcos

n=—n,所以曲线y=xsinx在P(兀，0)处的切线方程是)，=一兀(工一兀)=一心+兀?.故选A.］

3.已知«r)=f,则曲线y=J(x)过点P(—1,0)的切线方程是.

［解析］设切点坐标为(xo,焉)，

V/(x)=2x,工切线方程为y-O=2xo(x+l),

・••焉=2xo(xo+1),

解得的=0或xo=-2,

，所求切线方程为y=0或)，=—4(x+l),

即y=0或4x+y+4=0.

［答案］y=0或4x+y+4=0

考点三定积分与微积分基本定理

角度1求函数的定积分

［例5］计算下列函数的定积分：

x?+2x)dx：

(2)「sinx—cosx)dx；

(4)f1—sin2xdx.

［解］⑴f'(-X2+2X)JX=p—X2)</X+r'2xdx=^—1X3^+(X2)A=-1=|.

J°J0J0

(2)x-cosx)dx=C^sinxdx-(^cosxdx=(-cosx)3-s加x6=2.

JoJoJo

言点+2—In13〃+/〃2.

(3)2'

(4)f^cf\j1-sin2x</x=/苏|$加x-cosx|dx=f和(cosx-sinx)dx+/黄x—cosx)dx

=(sinx+cosx方o+(-cos\—sinx)劈=6-1+(-1+&)=2吸-2.

角度2求曲边梯形的面积

[例6](1)如图所示，曲线y=x2-l,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为()

A.£"-1|”

B.f(1-x2)Jx+J-'(x2-l)dx

fi)(u

D.，/2-l)dx

A［由曲线y=f—1,直线x=0,%=2和K轴围成的封闭图形的面积为S=/（l—『）dx

+f］）dx.

根据对称性，它和函数），=*—1|,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形的面积相等,

如图所示，即5=1|『一1也.］

（2）由曲线y=yfx,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）

410

A♦至B.4C.-yD.6

C［作出曲线y=S和直线），=x—2的图象（如图所示），所求面枳为阴影部分的面积.

V=A/X

由_；得交点4（4⑵.因此y=皿与y=x—2及），轴所围成的图形的面积为,［Q

/(G—x+2)dr=修++2,1=]x8—16+2X4=?.故选C.]

一(x-2)]dx=

方法指导

1.求定积分的方法：

（1）利用定义求定积分，可操作性不强.

（2）利用微积分基本定理求定积分的步躲如下:

①求被积函数4x）的一个原函数F（x）；

②计算尸（加一尸3）.

2.定积分/yu)dx的几何意义是X轴、曲线凡r)以及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的

面积的代数和.在区间［a,句上连续的曲线y=/(x)和直线x=a,x=b(a^=b),y=0所围成的

曲边梯形的面积S=/VWkk.

［思维变式］

x2,x£[0,1],

L设W2]，则虐心等于()

345

A.^B.gD.不存在

3

f(2—x)dx=1x?

2.定积分1.9—『心的值为.

［解析］由定积分的几何意义知「\/9—x2dx是由曲线y=y［9—j?,直线x=0,x=3,y

=0围成的封闭图形的面积.

故j79Tdx=等=竽

［答案?

3.由曲线y=f,y=5围成的封闭图形的面积为()

A6B-3CtD.1

B［由题意可知所求面积(如图阴影部分的面积)为/(小一x?)dx=(fg—

・镣高考-提素养素养为本创新应用

1.（2019•全国III卷）已知曲线y=aer+xlnx在点（1,ae）处的切线方程为）=2x+b,则（)

A.a=e,b=~\B.a=e,b=\

C.a=eIb=1D.«=e,,b=—\

z

D「・}'=〃F+lnx+l,r.y|x-i=«e+l,

；・2=ae+l,；♦4=广|.，切点为（1,1）,

将（1,1）代入y=2x+A,得1=2+6,

/./?=-1,故选D.］

2.（2019・全国I卷）曲线y=3*+x）e'在点（0,0）处的切线方程为.

［解析］•・•），'=3，+31+1）巴・••曲线在点（0,0）处的切线斜率4=y‘ko=3,・•.曲线在

点（0,0）处的切线方程为y=3x.

［答案］y=3x

3.（2019•全国II卷）曲线y=2$inx+cosx在点（冗，一1）处的切线方程为（）

A.X-y-K-1=0B.2x-y-2兀-1=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x+y—兀+1=0

C［设y=y（x）=2sinx+cosx,则f（x）=2cosx—sinx,

:.f（7t）=-2,・••曲线在点（兀，一1）处的切线方程为y—（—1）=—2（x—兀），即2x+y—27r

+1=0.故选^

点评以上三题命题点都是基本初等函数的导数及导数的几何意义应用，目的考查基础

知识和基本方法，考查数学运算，逻辑推理的学科素养.

4.（2018・全国川卷）函数），=一炉+/+2的图象大致为（）

D［*•fix）=-A4+A24-2,:,f（x）=-4/+2X,令/（x）＞0,解得xv一个或

此时,於）在这区间内的切线的斜率为正，表示/）为增函数.令/（x）＜0得一半＜1＜0或第＞乎,

表示切线的斜率为负，是减函数，故选D.］

点评利用导数的正负即切线斜率的正负确定曲线的变化趋势是导数几何意义的几何体

现，考查了数学运算（求导）直观想象（单调性）和逻辑推理的素养.

5.（2020•全国III卷）设函数/（x）=t+q.若/（1）=不则。=.

［解析If。尸“肃J，可得/（1）="筹弋，即"看4解得0=1.

［答案］I

点评求出函数人工）的导数/（X）,将X=1代入/（X）,列出关于。的方程.

6.(2020•全国I卷)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为

I解析1设切点坐标为5),%)，

因为y=lnx+x+l,所以y'=：+1,

所以切线的斜率为;+1=2,解得xo=l.

所以yo=ln1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),

所以切线方程为)，-2=2。-1),即2r-y=0.

[答菊2r—y=0

点评设出切点坐标并利用导数表示出切线的斜率，根据斜率为2建立方程求出切点坐

标，再利用直线方程的点斜式写出切线方程并化为一般式.

课时作业(十三)

A级基础达标

1.设段)=处,的导函数为/(x),则，(1)的值为()

A.eB.e+1C.2eD.e+2

C[由题意知凡¥)=Xe%所以/(x)=er+xev,

所以，(l)=c+c=2c.]

2.已知函数*x)=xsinx+aG且/^=1,则a=()

A.0B.1C.2D.4

A[因为，(x)=sinx+xcos.x+a,且，1,

,7T.7t7t.

所tsin]+]cos^+ci1,

即a=0.故选A.]

3.(2021・云南师大附中考试)由线y=〃在x=0处的切线方程是xln2+y-l=0,贝ija=

()

A.；B.2C.In2D.舄

A[由题知，y'=avlna,y'U-o=lna,又因切点为(0,1),故切线方程为xlna—y+1=

0,.*.d=2，故选A.]

4.已知直线y=5是曲线的一条切线，则实数机的值为()

A.eB.—eC~eD.e

B[设切点坐标为(〃，5)，对于求导得y'=(xec),=ex+xe\若直线_)，='是曲

线尸的一条切线，则有y'LL.i=e"+〃e"=0,解得〃=-1,此时不\=〃e"=一:.m=

-e.故选B.]

5.(2021•山东济南模拟)已知函数«r)的导函数/。),且满足_/(%)=W(l)+lnx,则/(1)

=()

A.-cB.-1C.1D.e

B[9：J(x)=2xf(l)+lnx,

：.f(x)=[2xf⑴『+(Inx)'=2f(l)+p

：.f(l)=2f(1)+1,即/(D=-l.l

6.(2021・湖南郴州第三次质量检测)已知函数於)的导函数为/(x),且满足«r)=cosx

-Xff(5)»若曲线yfx)在x=0处的切线为/，则下列直线中与直线/垂直的是()

A.2x-y-l=0B.2x+y+l=0

C.x-2y-2=0D.x+2y+l=0

B［fa)=-sinx-f⑨令尸去则/像=一/即式x)=cosX+%40)=l"(0)

=1,所以/的方程为y=%+l,所以直线2x+y+l=0与直线/垂直.选B.］

7.定积分/—以2以等于()

2

A.0B.qC.1D.2

B［定积分］一以2&=*=1(1+1)=|,故选我］

8.已知函数f(x)=s而x—cosx,且f'(x)=,(x),则w〃2x的值是()

2443

A--C-D-

3-334

D1

B.『

?〃•2

所以Sx=-3,所以ian2x=］驾jx=*i^W=1故选DI

9.

如图所示，y=f(x)是可导函数，直线1：y=kx+3是曲线y=f(x)在x=l处的切线，令

h(x)=噂，h'(x)是h(x)的导函数，则h'(1)的值是()

A.2B.1

C.—1D.—3

D［由题图可知直线1经过点(1,2),

则k+3—2,k——1,即f'(1)——1,且f(l)—2.

f(x)f'(x)・x-f(x)

Vh(x)=・・・h'(x)=

x

则h'(l)=f(l)-f(l)=-l-2=-3,故选。J

10.设函数f(x)=xs而x+cosx的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的

部分图象为()

ABCD

B［f7(x)=(xsinx+cosx)7=xcosx,则k=g(t)=t,cost,易知函数g(t)为奇函数，其图

象关于原点对称，排除A、C.当OVtV^时，g(t)>0,所以排除。，故选81

11.(2021・重庆巴蜀中学模拟)已知曲线丫=等在点P(2,4)处的切线与直线1平行且距离

X1

为2小，则直线1的方程为()

A.2x+y+2=0

B.2x+y+2=0或2x+y-18=0

C.2x-y—IX=0

D.2x—y+2=0或2x—y—18=0

B［y'="三伊=一&品，y‘k=2=一彳牛=-2,因此k.=-2,设直线1

方程为y=-2x+b,即2x+y—b=0,由题意得吆羊匕丸=2小，解得b=18或b=-2,

所以直线1的方程为2x+y-18=0或2x+y+2=0.故选B.］

12.曲线y=-5/+3在点(0，—2)处的切线方程为.

［解析］由y=—5e'+3得，y'=-5ex,所以切线的斜率1<=丫'|x=o=—5,所以切线方

程为y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.

［答案］5x+y+2=0

13.已知函数f(x)=ax3+x+l的图象在点(l,f(l))处的切线过点(2,7),则@=.

［解析］Vf(x)=3ax2+l,Z.r(l)=3a+l.

又f(l)=a+2,

・•・切线方程为y—(a+2)=(3a+l)(x-l).

•・•切线过点(2,7),

A7—(a4-2)=3a+l,解得a=l.

［答案］1

14.已知曲线y=x+/〃x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax?+(a+2)x+l相切，则a=

［解析］Vy=x+/nx,：.yf=1+；,y'k=i=2.

；・曲线y=x+/〃x在点(1,1)处的切线方程为

y-l=2(x-l),即y=2xT.

Vy=2x-1与曲线y=ax?+(a+2)x+l相切，

，aW0(当a=0时曲线变为y=2x+l与已知直线平行).

fy=2x-1,

由1.消去y,得ax2+ax+2=0.

〔y=ax~+(a+2)x+1,

由A=a2—8a=0,解得a=8.

［答案］8

B级能力提升

2

15.曲线y=;与直线y=x-l及x=l所围成的封闭图形的面积为()

A.2-ln2B.2ln2-1C.2+ln2D.21n2+：

B［如图，求阴影部分面积，

)，=一2

联立方程组fK

J=X-1,

解得x=2,y=l,

2

则曲线与直线y=X-l及x=l所围成的封闭图形的面积为

2112

S=J^-x+ldx=2加x—卧2+x］

=(2加2—2+2)—0—3+1

=2ln2-2,故选=］

16.(多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在Xo使得f(xo)=f'(Xo),则称Xo是f(x)

的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是()

A.f(x)=x2B.f(x)=er

C.f(x)=/〃xD.f(x)=s〃x

AC［若f(x)=x?,则f'(x)=2x,令x?=2x,得X=0或X=2,方程显然有解，故A符

合要求；若f(x)=/x,则F(x)=-c—x,令6二=一0二，此方程无解，故8不符合要求；若

f(x)=/〃x,则f'(x)=J,令加x=J,在同一直角坐标系内作出函数丫=/〃乂与y=：的图象(作

图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)=f'(X)存在实敷解，故。符合要求；

若f(x)=〃〃?x,则f'(x)=(黑;)=cos^ftanx=coPx,化简得si〃xcosx=l,变形可

得$讥2x=2,无解，故力不符合要求.故选A、CJ

17.若曲线y=x/〃x上点P处的切线平行于直线2x-y+l=0,则点P的坐标是

［解析］设P(XO,yo).Vy=x/nx,

：Z=/〃x+x・(=l+/〃x.

k=1+/〃xo.又k=2,»»1~\~lnxo=2,.*•xo=^.

；・yo=e/〃e=e.，点P的坐标是(%e).

［答案］(e,e)

18.已知点M是曲线y=1x3-2x2+3x+1上任意一点，曲线在M处的切线为1,求:

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线1的倾斜角a的取值范围.

［解］(l)Vyf=X2-4X+3=(X-2)2-1,

・••当x=2时，y'〃而=一1,此时y=［

・•・斜率最小时的切点为(2,q斜率k=-l,

・•・切线方程为3x+3y-ll=O.

(2)由(1)得k2-1,*.tana^—1,

又,.,a£［0,兀)，・・・a£0,/U华，，

故a的取值范围为0,机竽，J

第二节利用导数研究函数的单调性

・梳教初-固基砒-----基固为根必备知识

［基础自梳］

1.函数的单调性与导数的关系

函数y=f(x)在某个区间内可导：

①若f'(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增；

②若f'(x)V0,则f(x)在这个区间内单调递减；

③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.导数与函数单调性的关系

①f'(x)>0(或f'(x)VO)是f(x)在(a,h)内单调递增(或递减)的充分不必要条件：

②若f'(x)=0不恒成立,则f'(x)20(或f'(x)WO)是可导函数f(x)在(a,b)内单调递增

(或递减)的充要条件.

思考拓展

导函数值的大小与其对应函数图象的“骨峭”“平缓”有什么关系？

［提示］函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数在这个范围内变化得快，其对应函

数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)，反之，函数的图象就“平缓”一些.

［基础自测］

1.(教材改编)已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax?+bx+c的图象如图所示，则f(x)的图象

可能是()

［答案］D

2.(教材改编)函数f(x)=s加x—x在(0,兀)上的单调性是()

A.先增后减B.先减后增

C.增函数D.减函数

f答案］。

3.(易错点：忽略定义域)函数f(x)=x+e/〃x的单调递增区间为()

A.(0,+8)B.(—8,0)

C.(一8,0)和(0,4-00)D.R

［答案1A

4.函数人励=^一女的单调增区间是.

［答案］(M2,+8)

5.(易错点，漏掉等号)若函数/(x)=sinx+ar为R上的减函数，则实数a的取值范围是

［答案］(-8.-1］

・研考点•练方法------点明为纲关键能力

考点一不含参数的函数的单调性(区间)

［例1］(1)(2021・昆明模拟)已知函数“v)(x£R)图象上任一点(刈，加处的切线方程为)一

泗=(3—&)(焉一l)(x—xo),那么函数段面单调递增区间是()

A.(-1,1),(3,+8)B.(-8,-1),(1,3)

C.(一1,1)0(3,+8)D.(-8,-1)U(1,3)

B［因为函数外)的图象上任一点(出，刈)的切线方程为y—>,0=(3—XO)(JO—1)(x—xo),即

函数图象在点(xo,泗)的切线斜率&=(3—刈)(*—1),所以(x)=(3—:)。2—1).由，(x)=(3

一x)。2—1)>0,解得内一1或la<3,即函数式幻的单调递增区间是(一8,-1),(1,3).故选

B.］

(2)设函数J(x)=(l—jr)e\讨论J(x)的单调性.

［解If(x)=(l-2x-f)次令/(幻=0得彳=一1±\/1

当xW(-8,一1一6)时，f(X)<O；

当1—A/5,-1+也)时，f(x)>0;

当+8)时，/(A)<0,

・・・加；)在(一8,一1一爽)和(_］।6，|8)上单调递减，在(一1一小，一1|爽)上单调

递增.

方法指导确定函数单调区间的步骤

1.确定函数凡。的定义域.

2.求/(x).

3.解不等式，a)x),解集在定义域内的部分为单调递增区间.

4.解不等式/a)〈o,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

［思维变式］

1.函数/(x)=x—Inx的单调递减区间为()

A.(0,1)B.(0,+«>)

C.(1,+8)D.(-8,Ci)U(l,+0°)

A［函数的定义域是(0,+°°),

且,。)=［-：=一"，

令/(x)vO,解得Oavl,

所以函数41)的单调递减区间是(0,1).

2.(2021.安徽合肥一模)已知函数人x)=e「i—Inx(e为自然对数的底数).

求函数人幻的单调区间.

［解1人x)的定义域为(0,+8)

f。)=b一:

设心)=尸|一:，心)在(0,+8)上为增函数，且力⑴=0,・,•当(0,1),〃(x)=f(x)<0,

凡1)为减函数，

当x£(l,+8)时，h(x)=fr(x)>0,凡¥)为增函数，

・•・函数,/(x)的单调递减区间为(0』)，

单调递增区间为(1,+oo).

考点二含参数的函数的单调性

［例2］已知函数兀0=111工一加+(2—a)x.讨论40的单调性.

［解］4丫)的定义域为(0,+8).

z1.(2x+i)(ar-l)

/(x)=--2ar+(2-^)=--------7--------L.

人人

①若aWO,则，(x)>0,所以犬用在(0,+8)上单调递增.

②若。>0,则由，(x)=0,得"=!，

且当x£(0,时，/(x)>0,

当时，fa)VS

所以4x)在(0,/上单调递增，

在(5，+8)上单调递减.

综上所述，当aWO时，

函数凡T)在(0,+8)上单调递增：

当。>0时，函数次X)在(0,力上单调递增，

在C，+8)上单调递减.

方法指导

解决含参数的函数的单调性恒题应注意两点

(1)研究含参数的函数的单调性问题，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的问

断点.

［思维变式］

已知函数兀)1=历.1+加一(2o+l)x.若〃>0,试讨论函数7U)的单调性.

［解］因为/(力=皿%+公2—(2。+l)x,

的12加一(2a+l)x+l(2av—l)(x—1)

所以#。)=----------------=-------------，

由题意知函数人”)的定义域为(0,+8),

令/(x)=0得％=1或%=去，

⑴若《vl,即悬，

由/(x)>0得x>1或OVxV+

由/(x)vO得!Vivi,即函数«x)在(0,土)，(1,+8)上单调递增，在念，1)上单调

递减；

(2)若,即0<«<^>由f(x)>0得入或0<x<l,

由/(幻<0得104，即函教於)在(0,1),即+8)上单调递增，在。，灯上单调递

减；

(3)若士=1,即〃=：,则在(0,+8)上恒有/a)2o,

即函数凡I)在(0,+8)上单调递增.

综上可得：当0<〃<1时，函数曲在(0,1)上单调递增，在(1,灯上单调递减，在&+8)

上单调递增；

当时，函数段)在(0,+8)上单调递增：

当时，函数4T)在(0,勤上单调递增，在彷，1)上单调递减，在(1,+8)上单调递

增.

考点三函数单调性的应用

角度1y=AO与)，=/㈤的图象辨识

［例引已知函数y=£r)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f(x)的图象如图

所示，则该函数的图象是()

B［从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x=0时最大，所以函数共外的

图象的变化率也先增大后减小，在x=0时变化率最大.A项，在x=0时变化率最小，故错

误；C项，变化率是越来越大的，故错误：D项，变化率是越来越小的，故错误，B项正确.］

角度2比较大小解不等式

［例4］(1)设函数/(%)是奇函数於)(x£R)的导函数4-1)=0,当心>0时必(力一段)〈0,

则使得大r)>0成立的r的取值范围是()

A.(一8,-l)U(OJ)B.(-1,O)U(1,+<»)

C.(一8,-1)U(-1,O)D.(OJ)U(l,+8)

A［记函数g(x)=^(xWO),

嗣，,、xf(X)一/(x)

则ga)=学，

因为当QO时，xf(x)-y(x)<o,

故当x>0时，g'(A)<0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减；

又因为函数y(x)(x£R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(一8,0)上单调递增，

且g(—l)=g(