寒假八年级数学教案

第1课时勾股定理

【知识要点1】:

勾股定理（毕达哥拉斯定理）:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

^a2+b2=c2.

1.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦。

2.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.

3.结论变形：a=Vc2-b2,b=\Jc2-a2,c=+b~

4.勾股数组简介：

若a、b、c均为自然数，当它们满足关系式时，我们称心、6c）为勾股数组。

①要熟记几组勾股数组：（3、4、5）（5、12、13）（7、24、25）（8、15、17）（9、40、41）；

②一组勾股数同时扩大n（n=l,2,3……）倍，所得数据仍是勾股数；

③对于任意两个正整数m和n（m>n）,m2+n2,m'-r?和2mn这三个数就是一组勾股数.

【知识要点2】

一、直角三角形的性质

1.直角三角形的两个锐角互余；

2.直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；

（斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形）

3.直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）

4.直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（称为勾股定理）；/+〃=，

（反之，一个三角形中，有一条边的平方等于其它两边的平方和，那么它是直角三角形）

二、直角三角形的其它特殊性质

1.直角三角形中，如果两条直角边为a、b,斜边为c,

斜边上的高为h,那么它们存在这样的关系：而=出或卜=".

2.一锐角为45。的直角三角形的性质一锐角为30。的直角三角形的性质

a:/?:c=1:1:&a:b:c-l:>/3:2

【经典例题】

例1、如图，zLABD=Z.C=9(T,AC=BC,ZDAB=3(T,AD=12.求BC的长.

例2、如图,等腰三角形的顶角为120°,求底与腰的比.

例3、如图,在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,NA=60。，NB=NO=90°,求四边形ABCD的面积.

例4、如图,NX0Y=60°,其内部的点M到0X的距离ME=2,到0Y的距离MF=11,求线段OF的长.

例5、如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置上，若Nl=60°,AE=l.(l)

求N2,N3的度数.(2)求长方形纸片ABCD的面积S.

例6、如图，在AABC中，ZC=90°,D为AB上一点，作DE_LBC于点E,若BE=AC,BD=-,DE+BC=lo求证：Z

2

ABC=30°。

★思考：如图，四边形ABCD中,ZABC=135°,ZBCD=120°,AB=遥，BC=5—g,CD=6,求AD的长。

【课堂检测】

一、选择题：

1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A：4,5,6B：1,1,A/2C：6,8,11D：5,12,23

2、在RtZ^ABC中，NC=90°,a=12,b=16,则c的长为（）

A：26B：18C：20D：21

3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3,4）,则0P的长为（）

A：3B：4C：5I）：V7

4、在RtaABC中，/C=90°,/B=45°,c=10,则a的长为（）

A：5B：VlOC：572I）：y[5

5、下列定理中，没有逆定理的是（）

A：两直线平行，内错角相等B：直角三角形两锐角互余

C：对顶角相等D：同位角相等，两直线平行

6、ZkABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,AB=8,BC=15,CA=17,则下列结论不正确的是（）

A：AABC是直角三角形，且AC为斜边B：Z^ABC是直角三角形，且/ABC=90°

C：△ABC的面积是60D：Z\ABC是直角三角形，且/A=60°

7、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）

A：4GB：石C：2y/3D：3

8、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a—6）2+J百+|c—10|=（）,则三角形的形状是（）

A：底与边不相等的等腰三角形B：等边三角形

C：钝角三角形D；直角三角形

9、如图一艘轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里/小时从港口A出发

向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（）

A：36海里B：48海里C：60海里D：84海里

10、若ABC中，AB=13cm,AC=15cm,高AD=12,则BC的长为（）

A：14B：4C：14或4D：以上都不对

二、填空题：

11、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面（填

“合格”或“不合格”）；

12、如图所示，以RfABC的三边向外作正方形，其面积分别

为St,S2,S3，且工=4,S2=8,则S3=；

13、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的

距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为；

14、如图，NC=ZA3O=90",AC=4,8C=3,3。=12,

则AD=；

15、若三角形的三边满足a:3:c=5:12:13,则这个三角形中最大的角为；

16、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,那么这个直角三角形斜边上的高为；

17、写出一组全是偶数的勾股数是；

18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为

20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点

有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶

面爬到B点的最短路程是；

19、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部

抵着地面，此时，顶部距底部有m；

20、一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向

南航行，上午10：00,两小相距海里。

三、解答题：

21、如图，为修通铁路凿通隧道AC,量出/A=40°NB=50°,AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道0.3公

里，问几天才能把隧道AB凿通？

22、如图，每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD的面积。

23、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少？

24、如图，已知在△ABC中，CD_LAB于D,AC=20,BC=15,DB=9。

⑴求DC的长。

(2)求AB的长。

25、如图9,在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边

防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h,则我边防海警船的速度为多少时，才能

恰好在C处将可疑船只截住？

26、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.

求小明到达的终止点与原出发点的距离.

27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm,长BC为10cm.当小红折叠时,

顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时EC有多长？

28、如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面都分成3X3个小正方形，其边长都为1cm,假设一只蚂蚁

每秒爬行2cm,则它从下底面A点沿表面爬行于右侧面的B点，最少要花几秒钟？

第2课时实数

【知识要点】

1.实数：有理数和无理数统称为实数。

'正有理数'

有理数零）有限小数或无限循环小数

实数［负有理数

无理数警1无限不循环小数

i负无理数j

2.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，

如n=3.1415926…,拒=1.414213,-1.010010001-,都是无理数。

对无理数概念的理解主要抓住以下几点：

①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；

②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后者都可以化成分数；

③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如血、、回等。

3.实数与数轴上的点的关系

实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示出来。

4.实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样；

【典型例题】

例1在实数3.14,-,3.3333,石，0.412,0.10110111011110-,n,中，哪些是有理数，哪

些是无理数？

例2(1)下列说法中，正确的是()

A.带根号的数是无理数B.无理数都是开不尽方的数

C.无限小数都是无理数D.无限不循环小数是无理数

(2)下列说法正确的是()

A.若a为实数，则a大于一aB.实数m的倒数一定是工

m

C.若实数x、y,有W=3，则D.任何负数的倒数都小于它的相反数

例3求下列各数的相反数及绝对值：

(1)-(2)---(3)2—V5

3

例4试比较下列各组数的大小:

(1)3有和2VH(2)-(3)一3后+1与一241+1

2万7

例5已知小。是有理数，并且满足5-辰=2。+[>5-。，求。、6的值。

【课堂检测】：

一、填空题：

1、(-6)2的算术平方根是；平方根等于本身的实数是

2、化简：J（3一%『=。

4

3、2的平方根是；125的立方根是。

9

4、实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示

化简a++目-Vc~~|Z?—c|=。

5,若m、n互为相反数，贝一6+〃|=«

6、若—l|+（y—2＞+Jz-3=0,则x+y+z=。

7、若——a,则a0。

8、、历一1的相反数是o

9、V-^8=________，-我=o

10、绝对值小于n的整数有.

11、一个正方形的边长变为原来的机倍，则面积变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的〃倍,

则棱长变为原来的倍。

12、估计闹的大小约等于或（误差小于1）。

13、比较下列实数的大小（在填上＞、＜或=）

①一行-V2；-；③2疝375o

22

14、如图，在网格图中的小正方形边长为1,

则图中的MBC的面积等于。

15、满足一行＜x＜石的整数x有

16.如果同=3,北=2,且成＜0,则a-b=

二、选择题:

17.在下列各数中是无理数的有（）

-0.333-,",V5,-4,3不，3.1415,2.010101…（相邻两个1之间有1个0）,76.0123456…（小数部

分由相继的正整数组成）.

A.3个B.4个C.5个D.6个

18.下列说法正确的是（）

A.有理数只是有限小数B.无理数是无限小数

TT

C.无限小数是无理数D.三是分数

3

19.下列说法错误的是（）

A.1的平方根是1B.-1的立方根是一1

C.是2的平方根D.-3是,（一3尸的平方根

20.下列平方根中，已经简化的是（

B.V20C.272D.V121

21.下列结论正确的是（）

A.7（*）2=-6B.（-V3）2=9C.7（-16）2=±16I）.-

22.下列说法正确的是（）

A.-0.064的立方根是0.4B.-9的平方根是±3

C.16的立方根是祈石D.0.01的立方根是0.000001

23.以下语句及写成式子正确的是（）

A.7是49的算术平方根，即"3=±7B.7是（-7）2的平方根，即&—7丫=7

C.±7是49的平方根，即±回=7D.±7是49的平方根，即回=±7

24.若C和CZ都有意义，则a的值是（）

A.«>0B.a<0C.Q=0D.QW0

三、解答题：

25、求2」7的平方根和算术平方根。26、计算有（后-

9

V6xV3

27.化简：712x73-528.---产—

V2

29.化简：电-电+行）+2.化简：71452-242

33.求x值：4x2=2534.求工值：(x—0.7)3=0.027

35.求x值：36(X-2)2-7=036.求x的值：8(%—3)3+125=0

37.已知，〃、〃互为倒数，c、d互为相反数，求一场+Jc+d+l的值。

38、若Jk万+(3x+y-l)2=0,求J5x+y2的值。

四、综合应用:

若a、b、c满足'一3|+)(5+份2+6=7=0,求代数式上£的值。

39、

a

Jy-2x+\x~4-25)

40、已知-------,------=0,求7(x+y)—20的立方根。

V5-x

41、有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cg宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的

正方形，问边长应为多少cm。

42、细心观察图表，认真分析各式，然后解答问题。

I—,-\/\

（V1）~+1-2，S1=—；

2

历

（V2）,1=3,S，=----；

-2

n

（V3）2+l=4.83=----；......

2

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律;

（2）推算出OAio的长；

（3）推算出S/+S22+S32+…+S］（）2的值。

第3课时平行四边形的性质

【知识要点】

1.平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）表示：平行四边形用符号“来表示。

2.平行四边形性质：

（1）边：两组对边分别平行且相等；数学形式：：DABCD

AABDC,ADBC

（2）角：对角相等、邻角互补；数学形式：YDABCD

:.ZA=NC,NB=ND

（3）对角线：对角线互相平分。数学形式：ABCD

.,.OA=OC=-AC,OB=OD=-BD.

22

3.两条平行线间的距离的定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距

离叫做这两条平行线间的距离。

平行线之间垂直线段的性质：平行线之间的垂线段处处相等.

4.平行四边形的面积：（1）计算公式：5=底乂高；

（2）等底等高的平行四边形面积相等，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。

【经典例题】

例1.如图:中，对角线AC,BD相交于点0,AC±CD,A0=3cm,B0=5cm,求DC和

AD的长.

例2如图：已知在中，BE=6cm,EC=3cm,DC=5cm,DE±EC,求:

（1）DE的长;（2）的面积.

例5如图：已知中，E是AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F,求证：（1）

CD=FA,（2）若使/尸=/8。/，的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补

上这个条件，并进行证明.（不需要添加辅助线）.

例6如图，在，ABCD中，E,F分别是AC,CA延长线的点，且CE=AF,则BF与DE具有怎样

的位置关系，试说明理由.

例7如图，ZiABC中，AB=AC,P是BC上一点，PE〃AC交AB于E,PF〃AB交AC于点F.求

证：PE+PF=ACo

一、选择题

1、在QBCD中，/A=65°,则ND度数是（）

A.105°B.115°C.125°D.65°

2、下列说法正确的是（）.

A平行四边形的对角互补，邻角相等B平行四边形的对角线相等

C两组对边分别平行的图形是平行四边形D平行四边形的对边平行且相等

3、下列四边形中，不一定是平行四边形的是（）

A两组对边分别平行B对角线互相平分

C一组对边平行且相等D一组对边平行，另一组对边相等

4、如图，平行四边形ABCD的周长是28c勿，△ABC的周长是22c处则AC的长为（）

A6cmB12cmC4cmD8c/n

第4题第5题

5、如图，在.UABCD中,已知10=8cm,AB=<ocm,瓦1平分NA9C交比1边于点反则庞等于（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

6.如图，四边形4?切是平行四边形，ZD=120°,

ZCAD=32°.则NABC、/CAB的度数分别为（）

A.28°,120°B.120°,28°C.32°,120°D.120°,32°

7.如图，在EJABCD中,下列不正确的是（）.

（A）Zl+Z2=180°e）N2+N3=18（）°

（C）Z3+Z4=180°（D）Z2+Z4=180°

第6题第7题

8.在3BCD中，ZB-ZA=20°,则/D度数是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

9、平行四边形的两邻边分别为3、4,那么其对角线必（）

A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于1

10、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是（）

①图甲，DE_LAC,BF1AC

②图乙，DE平分NADC,BF平分/ABC

③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点

④图丁，E是AB上一点，EF1AB

A、3个B、4个

C、1个D、2个

二、填空题

11、一组对边平行且相等的四边形一定是一.形.

12、在平行四边形ABCD中，NA:/B=3:2,则

ZC=_,ZD=度.

13、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB,CALAB,则ZB=度，NCAD=度.

14、在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形各内角的度数分别是。

15、OABCD中，如果/B=100°,那么/A、ND的值分别是（,

16、平行四边形的周长为36cm,相邻两边的比为1:2,则它的两邻边长分别是.

17、ZZ7ABCD的周长是30,AC、BD相交于点0,/XOAB的周长比△0BC的周长大3,则AB=。

18、已知：平行四边形一边/生12cm,它的长是周长的则除cm,CD=cm.

6

19、已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是

20、在四边形ABCD中，AD〃BC,分别添加下列一个条件，①AB〃CD,②AB=DC,③AD=BC,④/A=/C,⑤/B=NC,

能使四边形ABCD成为平行四边形的条件的序号是—

三、简答题

21、如图，四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC1BC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积.

22、如图所示：四边形/伙力是平行四边形，加'平分44力。,8/平分NABC.试证明四边形朋应是平行四边

形.

23、如图14,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE,DF=BE,DF〃BE.求证：（1）/AFD丝/CEB.（2）

四边形ABCD是平行四边形.

24、请在下列四个条件中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明（写出

一种即可）。关系：①AD〃BC②AB=CD③/A=NC@ZB+ZC=180".

已知：在四边形ABCD中，

求证：四边形ABCD是平行四边形。

25、已知如图，0为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点0,且与AB交于E,与CD交于F,BE=DF»

求证：EF和AC互相平分。

26.如图，在OABC力中，对角线AC,8。相交于点0,MN是过。点的直线，交BC于M,交A£)于MBM=2,

AV=2.8,求BC和AO的长.

27.如图，在D4BC。中，E、尸分别是BC、AO上的点，S.AE//CF,AE与C尸相等吗？说明理由.

28.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,且AD<BC,BC=18cm,CD=15cm,AD=10cm,AB=12cm,动点P、

Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动。

⑴几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出ABQP的周长。

(2)几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出PDCQ的周长。

第4课时平行四边形的判定

【知识要点】

1.平行四边形的5个判定方法：

（1）边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

AB纳U做平行四边形。

AD//BC]

（2）边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

AB^CD]ABCZMI做平行四边形。

AD=BC\

（3）边：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

AB//CD]

nABC。叫做平行四边形。

AB=CD}

（4）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

"nABCD是平行四边形。

NB=ZD]

（5）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

nA—nr

"nABSnU做平行四边形。

OB=OD

2.平行四边形的知识运用包括三个方面：

（1）直接运用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段，证明角相等，互补，

证明线段相等或平分；

（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行；

（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质去解决某些问题。

【经典例题】

例1.四边形任意两个相邻的角互补，那么这个四边形是.

例2.若一个四边形的边长依次是a,b,c,d,JLrz2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形

是.

例3.四边形ABCD中，AB=CD,要使四边形ABCD是平行四边形，那么还应满足（）

A.ZA+ZB=180°B.ZB+ZC=180°C.ZA+ZB=180°D.ZA+ZB=180°

例4.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（)

A.一组对角相等B.一组对边相等

C.两条对角线互相平分D.两条对角线互相垂直

例5.如右图所示，AO=OC,BD=16cm,当0B=cm时，四边形ABCD是平行四边形.

例6.如图，在ABCD中，AE=CG,求证：GF=HE。

例7.已知：如图，在平行四边形ABCD中，BEJ_AC于点E,DF_LAC于点F,又M、N分别是DC、AB

的中点。求证：四边形EMFN是平行四边形。

例8.如图，4ABC为等边三角形，D、F分别为CB、BA上的点，且CD=BF,以AD为一边作等边AADE。

求证：(1)AACD^ACBF；(2)四边形CDEF为平行四边形。

提示：△ACDg/kCBF可得AD=FC,ED=FC.证明ED平行且等于FC.

例9.如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF,AB〃CD,BC〃DF.从B站乘车到E站只有两

条路线有直接到达的公交车，路线1是B-D-A-E,路线2是B-C-F-E,请比较两条路线路程的长

短，并给出证明。

【巩固练习】

1.能判别一个四边形是平行四边形的条件是()

A.一组对边相等，另一组对边平行B.一组对边平行，一组对角互补

C.一组对角相等，一组邻角互补D.一组对角互补，另一组对角相等

2.一组平行线有三条直线，另一组平行线也有三条直线，这两组平行线相交所围成的平行四边形

有个.

3.四边形ABCO中，已知A3//CO,若再增加条件可知四边形ABC。为平行四边形.

4.过U7a的顶点A,C分别作对角线3。的垂线，垂足是E,F,则四边形AECF是.

5.在平行四边形ABCD中，分别由下列条件得到四边形DEBF,其中四边形DEBF一定是平行四边形

的个数有()o

(1)BE±AC,DF1AC,垂足分别是E、F；(2)EF〃AB,分别交AD、BC于点E、F；

(3)点E、F分别在AB边和CD边上，且BE=DF；

(4)EF过AC、BD的交点，分别交AB、DC于点E、F。

A.1B.2C.3D.4

6.已知下列命题：

(1)一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形；

(2)一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形；

(3)两组邻角互补的四边形是平行四边形；

(4)有一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形。

其中，真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点0,且0A=0C,AB〃DC,求证：四边形

ABCD是平行四边形。

8.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,A0=0C,BA±AC,DC±ACo求证:

四边形ABCD是平行四边形。

9.如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF,又点M、N分别在AB、CD上，旦MF

〃EN,MN交AC于0。求证：EF与MN互相平分。

第5课时菱形

【知识要点】

1.菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。

2.菱形的性质：

（1）对边平行，四边相等。

(2)对角相等，邻角互补。

(3)对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。

ABCD是菱形=AB=BC=CD=DA

ABCD是菱形=>AC，BDZl=Z2

3.菱形的判定：

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形。

(3)四条边都相等的四边形。

4.菱形的面积=边长*高=对角线的乘积的一半。

【经典例题】

例1：如图已知菱形ABCD的对角线交于点O,AC=16cm,BD=12cm,求菱形的高。

例2：菱形的周长为20cm,两邻角的比为1：2,较短对角线的长是

一组对边的距离为,面积是。

例3：如图菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEJ_AB,AB=a,

求：(1)NABC的度数。

(2)对角线AC的长。

(3)菱形ABCD的面积。

例4：如图DE是平行四边行ABCD中，N4DC的平分线，DF//AD交DC于F。

求证：(1)四边形AEFD是菱形。

(2)如果NA=60。，AD=5,求菱形AEFD的面积。

【巩固练习】

1.有一组邻边相等的是菱形，对角线的四边形是菱形。

2.菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm,则另一条对角线长为cm,

边长为cm,高为cmo

3.菱形周长为20cm,相邻两角比为1：2,则菱形的两对角线的长。

4.菱形对角线的平方和等于一边平方的（）

A、2倍B、3倍C、4倍D、8倍

5.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A、对角线互相平分B、邻角互补C、对角相等D、每条对角线平分一组对角

6.如图菱形ABCD,DE±AB,DF1BC,EF为垂足，AE=EB,则/EDF等于（）

A、75°B、60PC、50°D、45°

7.下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）

A、已知菱形的两条对角线B、已知菱形的一边和一个内角

C、己知菱形的四条边D、已知菱形的的周长和面积

8.下列命题正确的是（）

A、有两组邻角相等的四边形为菱形B、有一组邻边相等的四边形为菱形

C、对角线互相垂直的四边形为菱形D、对角线互相垂直平分的四边形为菱形

9.菱形的周长为a,高为h,一条对角线长为m,则另一对角线可表示为。

10.已知菱形ABCD的边长为6,一个内角为60。，求：菱形较短对角线的长。

11.如图四边形ABCD是菱形，F是AB上的一点，DF交AC于E。求证：NAFD=/CBE。

12.如图己知AABC中，AB=AC,D为BC中点，DEJ_AC,DF1AB,E、F为垂足，FG1AC,EHJ_AB且交

于Q、G、H为垂足。求证：四边形DEQF为菱形。

13.如图已知BD是A48c的对角线，AE_LBD交BC于E,交BD于F,ZFAG=ZFAD,连结EG、ED。

求证：四边形AGED为菱形。

14.如图菱形ABCD与等边A4EE有公共顶点A,且AELBC,求NB的度数。

课后练习：

1.菱形的一个内角等于120。，过这个角的顶点的对角线长为8cm,则这个菱形的周长为

______cm。

2.菱形的两条对角线长分别为a、b,则它的边长为,面积为,高为。

3.若以菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则该菱形的两个相邻内角的度数分别是

和«

4.菱形ABCD的周长为52cm,N84D:NABC=1:2,则BD=。

5.已知菱形ABCD中，AE1BC,AF±CD,垂直E、F分别为BC、CD的中点,

那么ZEAF=。

6.如图，AABC中，AB=AC,AD是角平分线，E为AD延长线上的一点，CF//BE交AD于F,连结BF、CE。

求证：四边形BECF是菱形。

7.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线交BC、AD于点E、F。求证：四边形AECF为菱

形。

第6课时矩形和正方形

【知识要点】

矩形正方形

定义

有一个内角是直角的平行四边形一组邻边相等的矩形

边对边平行，对边相等对边平行，四边相等

性

角四个角都是直角四个角都是直角

质

对角线互相平分，相等互相平分，互相垂直，相等

有一个角是直角的平行四边形

判定对角线相等的平行四边形同时满足矩形和菱形的判定条件

有三个角是直角的四边形

4.直角三角形的性质：

(1)直角三角形的两个锐角互余。

(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

重难点归纳：矩形的性质和判定定理及矩形的性质和判定定理的灵活应用。

【典型例题】

例1如图，在矩形ABCD中，AE1BD,且NDAE：ZBAE=3：1,求NBAE、/EAO的度数。

例2已知：如图，Z7ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点。求证：四

边形EFGH是矩形。

例3如图，已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且NBAD=NCA已求证：BCED是矩形。

例4已知：如图，E点在矩形ABCD上，若BC=BE=2CD。求NECD的度数。

例5如图，已知△如C中,AB=AC,D为BC上一点，DE±AB,DF1AC,BM为高,求证：DE+DF=BM.

例6如图，正方形ABCD中，F是CD中点，且AEXD+CE。求证：AF平分NDAE。

【经典练习】

1.矩形的面积为60,一边长为5,则它的一条对角线长等于。

2.若正方形的面积为Mm?,则它的边长为,对角线长为o

3.已知正方形ABCD中，E是BC上一点，DE=2,CE=h那么正方形ABCD的面积为（）

A.6B.3C.4D.5

4.矩形对角线相交成的钝角为120。，矩形宽为4cm,则对角线长为。

5.矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm

6.如图，矩形ABCD中，AE±BD,垂足为E,对角线AC、BD相交于0,且BE:ED=1:3,AD=6cm,求AE的长。

7.如图，在正方形ABCD中，E为内部一点，4BCE是正三角形，求NAED的度数。

8.如图，已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，求证：DG=BE„

9.如图所示，在正方形ABCD中，CF=CE,求证：BGJ_DF。

10.如图，在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，E、F、G、H分为它们的交点。求证:

四边形EFGH是正方形。

11.已知Z7ABCD,NAEC=/BED=90°,求证：四边形ABCD是矩形。

12.如图所示，正方形ABCD中，F是BC中点，ZBAF=ZFAE«求证：AE=BC+CE«

课后作业

1.如图，在矩形ABCD中，AE_LBD于E,CFJ_BD于F,AB=2,AD=2百，求CE。

2.如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MNJ.MD,且BN平分NCBE。

求证：DM=MNo

3.如图，已知正方形ABCD中，NEAF=45°,求证：EF=BE+DF。

第7课时梯形

【知识要点】

1.梯形的定义：一组对边平行另一组对边不平行的四边形。强调：“另一组对边不平行”，其中，平行的两边叫

做梯形的底，不平行的两边叫梯形的腰，两底之间的距离中梯形的高。

两种特殊的梯形：①等腰梯形：两腰相等的梯形。②直角梯形：有一腰垂直于底的梯形

2.梯形的判定：

(1)定义法：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。

(2)一组对边平行但不相等的四边形是梯形。

3.等腰梯形的性质与判定：

性质：

①边：两底平行，两腰相等

②角：同一底上的两个直角相等

③对角线：对角线相等

④对称性：轴对称图形，底边中垂线是对称轴

判定：

①两腰相等的梯形是等腰梯形

②同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形

③对角线相等的梯形是等腰梯形

4.梯形面积公式：(上底+下底)X高+2

5.梯形中常见辅助线的添法：

【典型例题】

例1.如图：已知等腰梯形的锐角为60°,上底长5下底长8,求它的腰长。

例2.已知等腰梯形ABCD中，AD=3,BC=7,AB=2行，求梯形ABCD的面积。

例3.如图梯形ABCD,AB//CD,NO=80。，NC=5()。，DC=9,AB=5,求AD的长。

例4.如图直角梯形ABCD中，底角NB=60°,对角线AC平分N8AD,上底AD=2cm,求梯形的面积。

例5.如图铁路路基的横断面为等腰梯形的ABCD,已知路基的顶宽为A=6cm,斜坡BC与下底CD的夹角为

60°,路基高为AE=2j5m,求下底CD的宽度。

【巩固练习】

1.梯形ABCD中，AB//DC,AB=10,AD=8,ZD=60°