自动控制原理2.2-微分方程1.2-微分方程

§2-2微分方程

一、线性元件的微分方程：

列写方法：（1） 确定元件的输入、输出变量。（2） 从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。（3） 消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。（4） 标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。第二章数学模型例1.RC网络，为输入，为输出，列微分方程。线性元件的微分方程(续)解：令T=RC为时间常数，则有---一阶微分方程。……(1)第二章数学模型例2．R-L-C电路，为输入，为输出,列微分方程。解：—

二阶微分方程线性元件的微分方程(续)均为时间常数,第二章数学模型线性元件的微分方程(续)例3.

弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。当外力F(t)作用时，系统将产生运动x(t)----位移。解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻尼器阻力之和不平衡，则质量m

将有加速度，并使速度和位移改变。根据牛顿第二定律有：第二章数学模型假设弹簧是线性的，则线性元件的微分方程(续)假设阻尼器阻力与速度成正比，则第二章数学模型-------二阶微分方程

比较(2)、(3)式可以发现：当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究。……(3)线性元件的微分方程(续)第二章数学模型例4.枢控他励直流电机，解：

线性元件的微分方程(续)第二章数学模型

电机轴上的动力学方程为：其中J----转动惯量，f----粘性摩擦系数。实际分析中常忽略阻尼力矩，线性元件的微分方程(续)第二章数学模型将(2)、(3)式代入(1)式中有：

令----电枢回路的电磁时间常数线性元件的微分方程(续)

----电枢回路的机电时间常数

第二章数学模型----为传递系数线性元件的微分方程(续)第二章数学模型先列写各元件的微方，再合并，消去中间变量。例5、速度控制系统。

二.线性系统微分方程的列写：_+uf+ug功率放大TG负载

R1R2R3R3R4__+ua_MR1u1C第二章数学模型1、运放Ⅰ：2、运放Ⅱ：3、功放：4、电机：5、测速机：最后合并上述方程有：线性系统微方的列写(续)第二章数学模型令则有线性系统微方的列写(续)可见：既与有关又与有关。①当为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统，一般不变：第二章数学模型三.非线性元件微分方程的线性化:若对系统的元件特性尤其是静特性进行严格的考察，不难发现：几乎程度不同的都存在着非线性关系。如铁芯线圈：为常值，②当为变化量，系统为恒值调速系统：线性系统微方的列写(续)第二章数学模型

[空心时，为常数，但现在：

非线性元件微分方程的线性化(续)与i是非线性关系。在此不是一个常数，第二章数学模型故建立的方程为非线性的，其求解是相当困难的，且没有通用解法。所以在允许的范围内进行线性化处理，常用的方法――小偏差法，此法只适用于非本质性非线性元件，对于本质性非线性元件将在非线性系统一章中讨论。

非线性元件微分方程的线性化(续)第二章数学模型★具有连续变化的非线性函数可表示为：

y=f(x)

若取某一平衡状态为工作点。如A点：，如B点。附近连续可导，则可将函数在附近展开成设函数y=f(x)在

非线性元件微分方程的线性化(续)第二章数学模型当变化量很小时，可忽略高次项。则有：这就是y=f(x)非线性方程的线性化表示----用斜线代替曲线。对具有两个自变量的非线性函数：

非线性元件微分方程的线性化(续)台劳级数：第二章数学模型，同样的处理方法：

当很小时，有其中例6．铁芯线圈：或设原来处于某平衡点,则

非线性元件微分方程的线性化(续)第二章数学模型

则只在且工作过程中附近变化：

非线性元件微分方程的线性化(续)------线性化增量方程。实际使用时为：。第二章数学模型⑷注意：变量的变化必须是小范围的，增量方程中的Δ一般可略去，形式与线性方程一样。⑴线性化增量方程：以平衡点处的切线代替曲线得到变量对平衡点的增量方程。⑶简化方法：将原非线性微分方程中的非线性项代之以线性增量形式，而其他线性项的变量直接写成增量形式即可。

非线性元件微分方程的线性化(续)结论⑵小偏差法：将非线性特性在某工作点附近的邻域内作台劳级数展开，忽略高次项，仅取一次近似式即可。第二章数学模型建立微分方程的目的之一是用数学方法定量研究系统的工作特性，给出r(t)，分析c(t)，也就是解微分方程。可用经典法、拉氏变化法或计算机求解。其中拉氏变化法可将微积分运算转换为代数四、线性系统微分方程的求解：运算，且可查表，简单实用。第二章数学模型⑴将系统微方进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，其初始值取系统t=0－时的对应值。步骤：⑵解代数方程，求出C(s)表达式。⑶将C(s)展开成部分分式。⑷进行拉氏反变换，即得微方的全解c(t)。线性系统微分方程的求解(续)第