2024届福建省漳州市龙文区高三6月模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省漳州市龙文区2024届高三6月模拟预测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则，故选：A.2.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，则，所以，所以.故选：B.3.等比数列的前项和为，若，则（）A.2 B.-2 C.1 D.-1〖答案〗A〖解析〗设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A.4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（）A.4 B.6 C.8 D.12〖答案〗D〖解析〗由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是，根据六个数的中位数是：，解得，故选：D.5.已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，，且，而三点共线，，即，，所以.故选：A.6.已知复数满足，且，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则由，得，由，得，即，所以，化简整理得，得，所以，得，所以，故选：D.7.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点.若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗设分别切内切圆交于，则由双曲线的定义可得，即，根据内切圆的性质可得，故，两式相加化简可得，即，故.故双曲线的离心率为，故选：A.8.已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令函数，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，于是函数，则，令函数，由，得，因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，所以函数有两个零点，实数的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若和都为递增数列，则〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由，，可得，所以，又由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，又因为，则，所以C正确；对于D中，因为为递增数列，可得公差，因为为递增数列，可得，所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．故选：BC.10.存在函数满足：对于任意的，都有（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，令，所以，故A正确.对于B，，取和得，，故B错误；对于C，令，所以，即符合题设，故C正确；对于D，取，；取，，故D错误.故选：AC.11.如图，棱长为2的正方体的内切球为球，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（）A.对于任意点，平面B.直线被球截得的弦长为C.过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为D.当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面的面积为〖答案〗BC〖解析〗对于A：因为在棱上移动，当与重合时，平面即平面，因为在直线上，所以平面，所以与平面平面相交，A说法错误；对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则由题意可得，，，，则，，，设直线与直线的夹角为，则，所以，连接，过作直线的垂线，垂足为，则在中由解得，设直线被球截得弦长为，则，B说法正确；对于C，过直线的平面截球所得的所有截面圆半径最小时，垂直与于过的平面，此时圆的半径，圆的面积为，C说法正确；对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，在中，，所以边长，所以截面面积，D说法错误；故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为_____________.〖答案〗1〖解析〗因为，由正弦定理可得，且,所以，则.13.已知随机事件，，若，，，则_________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，，且，则，又因为，则，且，所以.14.已知函数，则不等式的解集为_________________.〖答案〗〖解析〗由已知得：，所以，即则不等式等价于，再由，可得在上单调递增，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）讨论的单调性;（2）若对任意的恒成立，求的范围.解：（1），当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，符合题意，此时；当时，因为恒成立，即恒成立，令，则，再令，则恒成立，则在单调递增，所以，所以在上单调递增，所以当时，，所以.16.如图，在直三棱柱中，，，，.（1）当时，求证：平面；（2）设二面角的大小为，求的取值范围.（1）证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，当时，，所以，可得，所以，又因为，平面，平面，所以平面.（2）解：由（1）可得，设平面的一个法向量为，则，令，可得，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，又因为，可得，所以，因为二面角为锐二面角，所以，所以的取值范围.17.一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．（1）若，求的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．解：（1）依题意X服从超几何分布，且，故．（2）当时，，当时，，记，则．由，当且仅当，则可知当时，；当时，，故时，最大，所以N的估计值为6666．18.已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.（1）求曲线的标准方程;（2）已知是定值，求该定值;（3）求面积的范围.解：（1）令且，因为，所以，整理可得，所以的标准方程为.（2）设，，，设直线和直线的方程分别为，，联立直线与椭圆方程，整理可得，则，，联立直线与椭圆方程，整理可得，可得，，又因为，，所以，所以，即，同理可得，，即，所以.设，，，设，则有，又，可得，同理可得，所以（3）不妨设，于是，因此，又因为，所以，设，，则，，，所以在单调递增，则.19.定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．（1）若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．（2）若为“上凸数列”，则当时，．（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．解：（1）是“上凸数列”，理由如下：因为，令，则．当时，，所以，所以区间上单调递减，所以，所以，所以是“上凸数列”．（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，，所以，所以．（ⅱ）解：令，由（1）可得当时，是“上凸数列”，由题意可知，当时，．因为，即．所以，当且仅当时等号成立，所以．综上所述，的最小值为．福建省漳州市龙文区2024届高三6月模拟预测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则，故选：A.2.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，则，所以，所以.故选：B.3.等比数列的前项和为，若，则（）A.2 B.-2 C.1 D.-1〖答案〗A〖解析〗设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A.4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（）A.4 B.6 C.8 D.12〖答案〗D〖解析〗由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是，根据六个数的中位数是：，解得，故选：D.5.已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，，且，而三点共线，，即，，所以.故选：A.6.已知复数满足，且，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则由，得，由，得，即，所以，化简整理得，得，所以，得，所以，故选：D.7.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点.若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗设分别切内切圆交于，则由双曲线的定义可得，即，根据内切圆的性质可得，故，两式相加化简可得，即，故.故双曲线的离心率为，故选：A.8.已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令函数，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，于是函数，则，令函数，由，得，因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，所以函数有两个零点，实数的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若和都为递增数列，则〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由，，可得，所以，又由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，又因为，则，所以C正确；对于D中，因为为递增数列，可得公差，因为为递增数列，可得，所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．故选：BC.10.存在函数满足：对于任意的，都有（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，令，所以，故A正确.对于B，，取和得，，故B错误；对于C，令，所以，即符合题设，故C正确；对于D，取，；取，，故D错误.故选：AC.11.如图，棱长为2的正方体的内切球为球，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（）A.对于任意点，平面B.直线被球截得的弦长为C.过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为D.当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面的面积为〖答案〗BC〖解析〗对于A：因为在棱上移动，当与重合时，平面即平面，因为在直线上，所以平面，所以与平面平面相交，A说法错误；对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则由题意可得，，，，则，，，设直线与直线的夹角为，则，所以，连接，过作直线的垂线，垂足为，则在中由解得，设直线被球截得弦长为，则，B说法正确；对于C，过直线的平面截球所得的所有截面圆半径最小时，垂直与于过的平面，此时圆的半径，圆的面积为，C说法正确；对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，在中，，所以边长，所以截面面积，D说法错误；故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为_____________.〖答案〗1〖解析〗因为，由正弦定理可得，且,所以，则.13.已知随机事件，，若，，，则_________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，，且，则，又因为，则，且，所以.14.已知函数，则不等式的解集为_________________.〖答案〗〖解析〗由已知得：，所以，即则不等式等价于，再由，可得在上单调递增，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）讨论的单调性;（2）若对任意的恒成立，求的范围.解：（1），当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，符合题意，此时；当时，因为恒成立，即恒成立，令，则，再令，则恒成立，则在单调递增，所以，所以在上单调递增，所以当时，，所以.16.如图，在直三棱柱中，，，，.（1）当时，求证：平面；（2）设二面角的大小为，求的取值范围.（1）证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，当时，，所以，可得，所以，又因为，平面，平面，所以平面.（2）解：由（1）可得，设平面的一个法向量为，则，令，可得，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，又因为，可得，所以，因为二面角为锐二面角，所以，所以的取值范围.17.一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数