2023-2024学年广东省东莞市四校高一上学期12月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考数学试题一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）1.若集合，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知中含有元素0，1，2，因此，A、B均错；集合中比集合多一个元素，因此应有，C错；由空集是任何集合子集知D正确．故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全称命题的否定是存在性命题，所以命题“”的否定是.故选：C.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，故是的必要不充分条件.故选：B.4.函数的定义域为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可知，函数定义域应满足，解得.故选：C.5.设函数，则的值为（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗∵函数，∴.故选：B.6.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，所以.故选：D.7.下列可能是函数的图象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D.故选：C.8.已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数满足对任意的，都有成立，所以函数是定义在上的减函数，所以，解得，所以.故选：B.二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.）9.以下结论正确是（）A.不等式恒成立B.存在，使得不等式成立C.若，则D.若正实数满足，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，不等式恒成立的条件是，故A错误；对于B，当时，不等式成立，故B正确；对于C，若，则，当且仅当时取等号；对于D，若正实数满足，则，当且仅当，即时取等号；故D错误.故选：BC.10.已知，则下列不等式中错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗在两边同除以负数得，即，与A项矛盾.由，，得，与B项矛盾.由，，，故不一定小于0，故C不正确.由得，又，两式相乘得，两边同除以负数，可得，故D正确.故选：ABC.11.函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（）A. B.，C.有最大值 D.最小值为0〖答案〗BD〖解析〗令，即，解得或，所以可知，所以，故A错误；当时，，故B正确；由（或）可知，函数无最大值，故C错误；当或时，，当时，，所以最小值为0，故D正确.故选：BD.12.已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（）A.在上为减函数 B.的最大值是1C.的图象关于直线对称 D.在上〖答案〗BCD〖解析〗因为当时，，则函数在上递减，又函数偶函数，所以在上为增函数；故A错；因为函数是偶函数，是奇函数，所以，，则，所以，则，即，所以以为周期；则，所以关于直线对称，因此当时，；当时，，则，又，所以；因为偶函数关于轴对称，所以当时，；综上，当时，；又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确；因为，函数为偶函数，所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确；因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，所以在上也满足恒成立；故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.不等式的解集是________.〖答案〗〖解析〗不等式等价于，由于方程的解为：或，所以.故〖答案〗为：.14.设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________．〖答案〗〖解析〗由图可知，阴影部分为，∵或，∴，∴．.故〖答案〗为：.15.已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为__________．〖答案〗〖解析〗因为，则，因为是奇函数，所以．又函数是定义在上的减函数，所以，解得，故所求不等式的解集为．故〖答案〗为：.16.定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作.①若，则____；②若，且，则实数的取值范围是____.〖答案〗1〖解析〗①由题意知，，所以，所以；②当时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，要满足，只需，所以，当时，函数区间上单调递增，不满足，综上所述，.故〖答案〗为：1.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的〖答案〗无效.）17.已知集合.（1）若，求（2）若，求实数m的取值范围.解：（1）由题意，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴当，即，即时满足题意；当，即时，，即.综上，实数的取值范围为.18.已知幂函数为偶函数.（1）求幂函数的〖解析〗式；（2）若函数，根据定义证明在区间上单调递增.解：（1）因为是幂函数，所以，解得或.当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不满足题意.故.（2）由（1）得，故.设，则，因为，所以，，所以，所以，即，故在区间上单调递增.19.已知为上的奇函数，当时，.（1）求的值并求出在上的〖解析〗式；（2）若，求的取值范围.解：（1）由题可知为上的奇函数，故；又，即，则时，当时，则，又为奇函数，所以，所以故在上的〖解析〗式为.（2）（法一）若，则或，解得，所以的取值范围为.（法二）由（1）可知，时，在上单调递减，且；时，在上单调递减，且，则在上单调递减.又因为，所以，即，所以当时，，即的取值范围为.20.已知函数．（1）若，且关于x不等式的解集是，求的最小值；（2）设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围解：（1）因为，且关于x的不等式的解集是，所以和是方程的两根，所以．所以＝＝＝，当且仅当a＝1时等号成立，所以的最小值为8.（2）因为关于x的不等式在上恒成立，所以，所以，解得，所以a的取值范围为．21.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？解：（1）由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，又，当且仅当，即时，等号成立，所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低，又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态.（2）若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元，由题意可得，因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元，若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，由题意可得，因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元，显然，如果我是决策者，我会选择方案二，企业每日获利较大.22.已知函数对任意实数恒有，当时，，且.（1）判断的奇偶性；（2）判断函数单调性，求在区间上的最大值；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.解：（1）为奇函数，证明如下：令，则，所以，令，则，所以：对任意恒成立，所以函数为奇函数.（2）在上是减函数，证明如下：任取且，则，所以，所以在上为减函数.当时，单调递减，所以当时，有最大值为，因为，所以，故在区间上的最大值为.（3）由（2）知在区间上单调递减，所以，因为对所有的，恒成立，即对任意恒成立，令，则，即，解得：或.故的取值范围为.广东省东莞市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考数学试题一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）1.若集合，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知中含有元素0，1，2，因此，A、B均错；集合中比集合多一个元素，因此应有，C错；由空集是任何集合子集知D正确．故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全称命题的否定是存在性命题，所以命题“”的否定是.故选：C.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，故是的必要不充分条件.故选：B.4.函数的定义域为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可知，函数定义域应满足，解得.故选：C.5.设函数，则的值为（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗∵函数，∴.故选：B.6.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，，所以.故选：D.7.下列可能是函数的图象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D.故选：C.8.已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数满足对任意的，都有成立，所以函数是定义在上的减函数，所以，解得，所以.故选：B.二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.）9.以下结论正确是（）A.不等式恒成立B.存在，使得不等式成立C.若，则D.若正实数满足，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，不等式恒成立的条件是，故A错误；对于B，当时，不等式成立，故B正确；对于C，若，则，当且仅当时取等号；对于D，若正实数满足，则，当且仅当，即时取等号；故D错误.故选：BC.10.已知，则下列不等式中错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗在两边同除以负数得，即，与A项矛盾.由，，得，与B项矛盾.由，，，故不一定小于0，故C不正确.由得，又，两式相乘得，两边同除以负数，可得，故D正确.故选：ABC.11.函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（）A. B.，C.有最大值 D.最小值为0〖答案〗BD〖解析〗令，即，解得或，所以可知，所以，故A错误；当时，，故B正确；由（或）可知，函数无最大值，故C错误；当或时，，当时，，所以最小值为0，故D正确.故选：BD.12.已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（）A.在上为减函数 B.的最大值是1C.的图象关于直线对称 D.在上〖答案〗BCD〖解析〗因为当时，，则函数在上递减，又函数偶函数，所以在上为增函数；故A错；因为函数是偶函数，是奇函数，所以，，则，所以，则，即，所以以为周期；则，所以关于直线对称，因此当时，；当时，，则，又，所以；因为偶函数关于轴对称，所以当时，；综上，当时，；又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确；因为，函数为偶函数，所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确；因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，所以在上也满足恒成立；故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.不等式的解集是________.〖答案〗〖解析〗不等式等价于，由于方程的解为：或，所以.故〖答案〗为：.14.设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________．〖答案〗〖解析〗由图可知，阴影部分为，∵或，∴，∴．.故〖答案〗为：.15.已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为__________．〖答案〗〖解析〗因为，则，因为是奇函数，所以．又函数是定义在上的减函数，所以，解得，故所求不等式的解集为．故〖答案〗为：.16.定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作.①若，则____；②若，且，则实数的取值范围是____.〖答案〗1〖解析〗①由题意知，，所以，所以；②当时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，要满足，只需，所以，当时，函数区间上单调递增，不满足，综上所述，.故〖答案〗为：1.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的〖答案〗无效.）17.已知集合.（1）若，求（2）若，求实数m的取值范围.解：（1）由题意，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴当，即，即时满足题意；当，即时，，即.综上，实数的取值范围为.18.已知幂函数为偶函数.（1）求幂函数的〖解析〗式；（2）若函数，根据定义证明在区间上单调递增.解：（1）因为是幂函数，所以，解得或.当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不满足题意.故.（2）由（1）得，故.设，则，因为，所以，，所以，所以，即，故在区间上单调递增.19.已知为上的奇函数，当时，.（1）求的值并求出在上的〖解析〗式；（2）若，求的取值范围.解：（1）由题可知为上的奇函数，故；又，即，则时，当时，则，又为奇函数，所以，所以故在上的〖解析〗式为.（2）（法一）若，则或，解得，所以的取值范围为.（法二）由（1）可知，时，在上单调递减，且；时，在上单调递减，且，则在上单调递减.又因为，所以，即，所以当时，，即的取值范围为.20.已知函数．（1）若，且关于x不等式的解集是，求的最小值；（2）设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围解：（1）因为，且关于x的不等式的解集是，所以和是方程的两根，所以．所以＝＝＝，当且仅当a＝1时等号成立，所以的最小值为8.（2）因为关于x的不等式在上恒成立，所以，所以，解得，所以a的取值范围为．21.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处