湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2025届数学高二上期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．已知函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是（）A. B.C. D.3．已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是A.(1，) B.C. D.4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A.1 B.2C.4 D.85．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.6．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则A.2 B.3C. D.47．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，8．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.9．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．方程表示的曲线是（）A.一个椭圆和一条直线 B.一个椭圆和一条射线C.一条射线 D.一个椭圆11．函数的导函数为（）A. B.C. D.12．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设、为正数，若，则的最小值是______，此时______.14．已知球的表面积是，则该球的体积为________.15．直线与直线垂直，则______16．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线E：y2＝8x（1）求抛物线的焦点及准线方程；（2）过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；（3）过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程18．（12分）如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，（1）证明：；（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值19．（12分）已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20．（12分）已知向量，，且.（1）求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程；（2）设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0,1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围.21．（12分）三棱锥各棱长为2，E为AC边上中点（1）证明：面BDE；（2）求二面角的正弦值22．（10分）在数列中，，且，（1）求的通项公式；（2）求的前n项和的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用复数除法运算和复数相等可用表示出，进而得到之间关系.【详解】，，，则.故选：D.2、D【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故可知，导函数图象为D故选：D3、D【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时，故，所以，选D4、C【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.5、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D6、D【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线∴直线的倾斜角为，∵过分别作的垂线与轴交于两点，∴，故选D.7、D【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：命题“p：，”的否定式为“，”.故选：D.8、D【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D9、B【解析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式为；（2）点到直线的距离公式：点到直线的距离;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线与间的距离.10、A【解析】根据题意得到或，即可求解.【详解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲线为一个椭圆或一条直线.故选：A.11、B【解析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故选：B.12、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.4②.【解析】巧用“1”改变目标式子的结果，借助均值不等式求最值即可.【详解】，当且仅当即，时等号成立.故答案为，【点睛】本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题14、【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.【详解】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.15、##【解析】根据两直线垂直得，即可求出答案.【详解】由直线与直线垂直得，.故答案为：.16、【解析】设M,N的中点坐标为P，,则；由于，化简可得，根据椭圆的定义==6，所以12.考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根据抛物线的方程及其几何性质，求焦点和准线；（2）分直线l1的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或Δ＝0，得解；（3）利用点差法求出直线l2的斜率，即可得直线l2的方程【小问1详解】由题意，p＝4，则焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2【小问2详解】当直线l1的斜率为0时，y＝1；当直线l1的斜率不为0时，设直线l1为x+1＝m(y-1)，联立，得y2-8my+8m+8＝0，因为直线l1与抛物线E只有一个公共点，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直线l1的方程为x-y+2＝0或2x+y+1＝0，综上，直线l1为y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0【小问3详解】由题意，直线l2的斜率一定存在，设其斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则8x1，8x2，两式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直线l2为y-3(x-2)，即4x-3y+1＝018、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明平面ABD即可；（2）以A为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，分别求得平面BCD的一个法向量和平面DCM的一个法向量，然后由求解【小问1详解】证明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小问2详解】如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，则，，，，，依题意，可得，设为平面BCD的一个法向量，则，不妨令，可得设为平面DCM的一个法向量，则，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为19、（1）；（2）.【解析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.（2）利用集合间的关系求解即可.【详解】实数满足不等式，即命题实数满足不等式，即（1）当时，命题，均为真命题，则且则实数的取值范围为；（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集则且解得故的取值范围为.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.20、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）应用向量垂直的坐标表示得x2+3y2=3，即可写出M的轨迹C的方程；（2）由直线与曲线C交于不同的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线y=kx+m(k≠0)，联立方程整理所得方程有，且由根与系数关系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N为PQ的中点结合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量关系，结合即可求m的范围.【详解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点N(x0,y0)，则.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，设kAN表示直线AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.将②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范围为.【点睛】思路点睛：1、由向量垂直，结合其坐标表示得到关于x，y的方程，写出曲线C的标准方程即可.2、由直线与曲线C相交，联立方程有，由|AP|=|AQ|得直线的垂直关系，即斜率之积为-1，进而可求参数的范围.21、（1）证明见解析（2）【解析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明；(2)建立如图所示坐标系，则，易知平面BCD的法向量，利用空间向量法求出面BDE的法向量，结合向量的数量积计算即可得出结果.【小问1详解】正四面体中各面分别是正三角形，E为AC边上中点，，又平面，