数学同步练习：第三章测评B卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章基本初等函数(Ⅰ）测评(B卷)【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共120分,考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．已知f(x)＝log2（x－3）的定义域为A．｛x|x≤3,x∈R}B．{x|x≥3｝C．{x|x〉3}D．｛x｜x<3}2．若0〈b<1,且logab<1，则A．0<a<bB．0〈b<aC．0〈b<a<1D．0〈a〈b或a〉13．方程log2(x2－x）＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N,那么M与N的关系是A．M＝NB．N⊂MC．N⊃MD．M∩N＝∅4．已知0<x〈y<a<1，则有A．loga(xy)<0B．0〈loga（xy）〈1C．1〈loga(xy）〈2D．loga(xy）>25．函数y＝3x的图象与函数y＝(eq\f（1,3））x－2的图象关于A．直线x＝1对称B．点（－1,0)对称C．直线x＝－1对称D．点（1，0）对称6．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示），那么幂函数y＝xeq\f(1，2）的图象经过的“卦限"是A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤7．函数y＝e|－lnx|－|x－1|的图象大致是8．函数f(x)＝loga｜x＋b|是偶函数，且在区间(0，＋∞）上单调递减，则f（b－2）与f(a＋1)的大小关系为A．f（b－2）＝f（a＋1）B．f(b－2)>f（a＋1）C．f（b－2）〈f(a＋1）D．不能确定9．已知函数f(x）＝（eq\f（1，3)）x－log2x,若实数x0是方程f(x）＝0的解，且0<x1〈x0，则f（x1）的值A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于010．若y＝e｜x｜(x∈[a，b]）的值域为[1，e2］，则点(a,b)的轨迹是右图中的A．线段BC和OCB．线段AB和BCC．线段AB和OAD．线段OA和OC第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．幂函数y＝x－eq\f(1,2）p2＋p＋eq\f(3，2）(p∈Z)为偶函数，且f（1)〈f(4),则实数p＝__________.12．设方程2lnx＝7－2x的解为x0，则关于x的不等式x－2<x0的最大整数解为__________．13．已知f（x)＝eq\f(k，x)＋2(k∈R），若f（lg2）＝0，则f（lgeq\f(1,2)）＝__________.14．已知函数f(x）＝log（a＋2）[ax2＋（a＋2)x＋a＋2]有最大值或最小值,则a的取值范围为__________．三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．（本小题满分10分)设函数y＝f(x），且lg(lgy)＝lg（3x)＋lg（3－x）．(1）求f(x)的表达式及定义域;(2)求f(x)的值域．16．（本小题满分10分)若函数f(x)＝logax（a>0且a≠1)在x∈［2，＋∞）上总有|f(x)|>1成立，求a的取值范围．17．（本小题满分10分)已知函数f(x2－3）＝lgeq\f(x2,x2－6）。（1)求f（x）的定义域；（2）求f（x)的反函数f－1（x）．18．(本小题满分12分)设函数f(x）＝log3（x2－4mx＋4m2＋m＋eq\f(1，m－1))，其中m∈R，m≠1,集合M＝｛m｜m〉1｝．(1）求证：当m∈M时,f（x）对所有实数x都有意义；反之，如果f（x)对所有实数x都有意义，那么m∈M;(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值．19．（本小题满分12分)科学研究表明，宇宙射线大气中能够产生放射性碳14，碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的碳14含量为1,试推算生物死亡t年后体内每克组织中的碳14含量P;（2）湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆汉墓的年代．答案与解析1．C由题意需x－3〉0，即x>3。2．D当a>1时，logab<0<1；当0<a<1时,logab〈1＝logaa,∴0〈a<b。3．A由题意M＝{x|log2(x2－x）＝1｝＝{x｜x2－x＝2}＝｛－1,2｝;N＝｛x|22x＋1－9·2x＋4＝0}＝｛x｜（2x－4）（2·2x－1)＝0}＝｛－1，2｝，∴M＝N.4．D∵0〈x〈a<1，∴logax>logaa＝1.又0<y<a〈1，∴logay〉logaa＝1.∴logax＋logay＝loga(xy）>2。5．A函数y＝3x的图象与函数y＝(eq\f（1,3)）x的图象关于直线x＝0对称,y＝(eq\f（1,3))x－2的图象是由y＝（eq\f（1,3)）x的图象向右平移了两个单位，∴两函数图象关于直线x＝1对称．6．D对幂函数y＝xα，当α∈（0,1)时，其图象在直线y＝x的上方,且图象经过（1,1)点,当x>1时，其图象在直线y＝x的下方,∴y＝xeq\f(1,2)的图象经过①⑤两个“卦限”．7．Dy＝e|－lnx｜－｜x－1|＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，x）＋x－1，0〈x〈1，,1，x≥1，)）分两段画出即可．当x≥1时，图象为射线,排除A、C；当0<x<1时,eq\f（1,x)＋x－1>0,排除B.8．C由f（x)为偶函数得b＝0,又在（0，＋∞)上单调递减，∴由复合函数的单调性判断可知0〈a<1。∴b－2＝－2，1〈a＋1〈2.∴｜b－2|>|a＋1|〉0。∴f(b－2)<f(a＋1)．9．A由题意知f(x）为定义域上的单调递减函数,∴f（x1)〉f（x0）＝0.∴f（x1）的值恒为正值．10．B据题意，当0≤b≤2,a＝－2时,函数的值域符合条件,其轨迹为题图中线段AB，当－2≤a≤0，b＝2时，函数值域符合条件，此时轨迹为题图中线段BC。11．1∵f（x）为偶函数且f（1)〈f(4），∴－eq\f（1，2）p2＋p＋eq\f(3,2）〉0，解得－1〈p〈3。又p∈Z，∴p＝0或1或2。当p＝0或p＝2时，幂函数y＝xeq\f(3,2)是非奇非偶函数；当p＝1时，幂函数y＝x2为偶函数，∴p＝1。12．4设f(x)＝2lnx－7＋2x，又f(2)＝2ln2－3〈0,f(3)＝2ln3－1>0，∴x0∈（2,3）．∴x－2〈x0的最大整数解为4.13．4f(lg2)＝eq\f（k，lg2)＋2＝0,则k＝－2lg2，f(lgeq\f（1,2))＝f(－lg2）＝eq\f(k,－lg2)＋2＝2＋2＝4。14．（－2，－1）∪（－1，0)∪(eq\f（2，3)，＋∞)当a>0时，Δ＝（a＋2)2－4a（a＋2)<0，解得a>eq\f（2,3）,函数有最小值;当a＝0时，f(x)＝log2（2x＋2)无最值;当a<0时，由于a＋2>0且a＋2≠1，∴－2〈a〈0且a≠－1，此时Δ>0，函数有最值．∴a∈（－2,－1)∪（－1,0)∪（eq\f(2,3)，＋∞）．15．解:（1）∵lg(lgy）＝lg（3x）＋lg(3－x)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,3－x〉0，，lgy>0，））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0〈x〈3，，y>1.））又∵lg（lgy）＝lg[3x·(3－x)］,∴lgy＝3x·(3－x)．∴y＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x（0〈x<3)．(2）∵－3x2＋9x＝－3（x－eq\f(3，2)）2＋eq\f(27，4），0<x<3，∴0〈－3x2＋9x≤eq\f（27,4)。∴1〈y≤10eq\f（27,4），即值域为（1，10eq\f（27,4)］．16．解：若a>1，当x∈［2，＋∞）时，logax>0，由｜f(x)｜〉1，得f(x)>1，即logax〉1恒成立，∴x>a恒成立．∴1〈a〈2.若0<a<1，当x≥2时,logax<0，由｜f(x）｜〉1，得f(x)〈－1，即logax<－1恒成立，∴x>eq\f（1,a）恒成立．∴eq\f(1，a)〈2。∴eq\f(1，2)<a<1。综上,a的取值范围为（eq\f（1,2）,1)∪(1，2)．17．解：（1）设t＝x2－3,则x2＝t＋3,t≥－3，f（t)＝lgeq\f(t＋3,t－3）。又eq\f（t＋3,t－3）〉0，∴t>3或t〈－3.∴f（x)的定义域为(3，＋∞）．（2)设y＝lgu,u＝eq\f(x＋3，x－3)（x〉3），则u>1，∴lgu〉0,即y>0。由y＝lgeq\f（x＋3,x－3）得10y＝eq\f（x＋3，x－3)，∴x＝eq\f（3（10y＋1)，10y－1）.∴f(x）的反函数为f－1(x）＝eq\f(3(10x＋1），10x－1)(x〉0)．18．（1)证明:当m∈M时，有m〉1,从而对所有实数x，都有x2－4mx＋4m2＋m＋eq\f(1，m－1）＝(x－2m)2＋m＋eq\f(1，m－1)≥m＋eq\f（1，m－1）>0.∴当m∈M时,函数f(x）对x∈R均有意义．反之，若函数f（x)对x∈R均有意义，即x2－4mx＋4m2＋m＋eq\f（1,m－1）>0对x∈R恒成立．又x2－4mx＋4m2＋m＋eq\f(1，m－1）≥m＋eq\f（1，m－1),∴只需m＋eq\f(1，m－1）〉0恒成立即可，即eq\f(m2－m＋1,m－1)〉0。∵m2－m＋1＝(m－eq\f（1，2)）2＋eq\f（3，4)≥eq\f(3，4）〉0,∴必须m－1〉0，即m〉1,从而m∈M.（2）解：当f（x)取最小值时，x2－4mx＋4m2＋m＋eq\f(1,m－1）取最小值．x2－4mx＋4m2＋m＋eq\f(1,m－1）＝（x－2m)2＋m＋eq\f(1，m－1)。令t＝m＋eq\f(1,m－1），则m2－（1＋t）m＋t＋1＝0，∴Δ＝(1＋t）2－4(t＋1）≥0。∴t≥3或t≤1（舍去）．∴m＋eq\f（1,m－1)≥3。∴当x＝2m时，f(x)取最小值log33＝1.19．解：(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减,所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：死亡年数123…t…碳14含量Pxx2x3…xt…因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P＝xt。由于大约每过5730年,死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以eq\f(1,2)＝x5730，于是x＝eq\r（5730，\f(1,