数学同步测控：利用柯西不等式求最大（小）值

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1.函数y=的最大值为（）A.3B。C.2D.解析：y2=(）2≤［12+（）2]［（）2+(）2]=3,∴y≤.答案:B2。已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为(）A.B.2C.D。3解析：∵（2x+y)2=(·+y）2≤［(）2+1］［()2+y2］=3(2x2+y2)=3，∴2x+y≤.答案:C3。已知3x+y=5,则3x2+2y2的最小值为（）A。B.25C.5解析：∵(3x+y）2≤(）2≤[（)2+（)2]·［(x）2+（y）2］=（3x2+2y2),∴3x2+2y2≥×25=.答案：A4。已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+，则的最小值为（)A.3B。1C.D。解析:∵(）［（3—a)+(3-b）+（3-c)]≥a+b+c=3,而(3-a)+（3-b）+(3—c）=9-(a+b+c)=6，∴≥。答案：D5。a12+a22+…+a102=6，x12+x22+…+x102=24，则a1x1+a2x2+…+a10x10的最大值为(）A。6B.12C.24解析:∵（a12+a22+…+a102)（x12+x22+…+x102）≥（a1x1+a2x2+…+a10x10）2,∴a1x1+a2x2+…+a10x10≤=12.答案：B6。已知x+2y+3z=6,则x2+2y2+3z2的最小值为（）A.6B.36C解析：∵（x+2y+3z)2=（)2≤[12+（)2+()2］·[x2+(）2+(）2］=6（x2+2y2+3z2）,∴x2+2y2+3z2≥6.答案:A7.已知a+b+c+d=，则的最小值为(）A.B.2C.1解析：∵(12+12)（a2+b2)≥（a+b）2，∴.同理,,，∴（a+b)+(b+c）+(c+d)+(d+a）=×2（a+b+c+d)=2,∴最小值为2。答案：B8。已知+2+3=9,则x+y+z的最小值为(）A。3B.1C。解析:∵（）2≤（12+22+32）［(2x+1）+(2y+3)+(3z+4）］=14(2x+2y+3z+8）=28(x+y+z+4）,∴x+y+z+4≥。∴x+y+≥-4=—.答案：C我综合，我发展9.（a+b+c）(++)的最小值为______________（a、b、c∈R+).解析:(a+b+c)(++）≥（)2=9.答案:910.a、b、c、d∈R+，则(+++)（+++）的最小值为_______________.解析:利用柯西不等式，原式≥(1+1+1+1）2=16.答案：1611。若a+b+c+d=1,且a、b、c、d∈R+，则的最小值为__________。解析:∵[（1+a）+(1+b)+(1+c)+(1+d)]（+++)≥a+b+c+d=1，∴++≥。答案：12。已知x1，x2,…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=n，求证:≥n。证明：∵(x1+x2+…+xn)（)≥（1+1+…+1)2=n2,又∵x1+x2+…+xn=n,∴++…+≥n。13。已知2x2+y2+5z2=3,求S=x+2y+3z的最大值。解:S2=(x+2y+3z）2=［（x）+2·y+]2≤［（)2+22+（）2］［(x）2+y2+(z)2]=(+4+)(2x2+y2+5z2)=(2x2+y2+5z2)=×3=,∴S≤.∴S的最大值为。我创新，我超越14。求三个实数x、y、z，使得它们同时满足下列等式:2x+3y+z=13，①4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82.②分析：可先观察两等式之间的联系，再进一步变形.解:①+②,得4x2+9y2+z2+18y+4z=95，即（2x)2+(3y+3）2+（z+2）2=108。由①得2x+(3y+3)+（z+2）=18,∴182=［（2x)+(3y+3)+(z+2)］2≤(12+12+12)［(2x)2+（3y+3)2+(z+2）2］=108×3.当且仅当2x=3y+3=z+2=6时取“=”.∴x=3,y=1,z=4.15。已知正数x、y、z满足x+y+z=xyz且不等式