数学同步测控：参数方程中曲线欣赏-平摆线、圆的渐开线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基，我达标1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(）A。只有圆才有渐开线B。渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C。正方形也可以有渐开线D。对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线,渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2。给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有(）A.①③B。②④C.②③D。①③④解析:本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题．对于一个圆,只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案：C3。已知圆的渐开线的参数方程是（θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是___________，当参数θ＝时，对应的曲线上的点的坐标为_____________。解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2．求当θ=时对应的坐标只需把θ=代入曲线的参数方程，得x＝＋,y＝－，由此可得对应的坐标为（＋，－).答案：2（＋，－）4。已知一个圆的摆线方程是（θ为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.思路分析:首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程。解:首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线的参数方程是(θ为参数）.5。已知圆C的参数方程是(α为参数，α∈[0,2π））和直线l对应的普通方程是x—y—=0。(1）如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线是什么关系？(2）写出平移后圆的摆线方程.（3)求摆线和x轴的交点.思路分析:首先根据条件，可知圆的半径是6，平移后的圆心为O（0，0），根据圆心O到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系．再由圆的半径写出圆的摆线方程．求摆线和x轴的交点只需令y＝0，求出对应的参数θ，再代入求出x值。解：（1)圆C平移后圆心为O（0，0），它到直线x-y-6=0的距离为d=＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是（θ为参数)．(3）令y＝0,得6—6cosθ＝0cosθ=1，所以θ＝2kπ（k∈Z).代入x=6θ—6sinθ，得x=12kπ（k∈Z），即圆的摆线和x轴的交点为（12kπ，0）(k∈Z）。我综合，我发展6.已知一个圆的参数方程为(θ为参数，θ∈［0，2π））,那么圆的摆线方程中与参数θ＝对应的点A与点B（，2）之间的距离为（）A.—1B.C.D。解析:根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为（θ为参数）,把θ＝代入参数方程中可得即A（3（-1），3),∴｜AB｜＝。答案：C7。如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是（）A。3πB.4πC.5πD。6π解析：根据渐开线的定义，可知是半径为１的圆周长，长度为；继续旋转可得是半径为２的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为４的圆周长,长度为2π。所以，曲线AEFGH的长是5π。答案：C8。渐开线（θ为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到的曲线的焦点坐标为_____________.解析:根据圆的渐开线方程,可知基圆的半径r＝6，其方程为x2+y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到的曲线的方程为(x)2+y2＝36,整理可得＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c=，故焦点坐标为（6，0)和(-6，0）.答案：（6，0）和(-6，0)9.我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线（θ为参数）关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为____________。解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以,要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换即可。答案:（θ为参数）10。求摆线(０≤t≤2π)与直线y＝２的交点的直角坐标。思路分析:本题考查交点坐标的求法,可利用代入法求解．解:当y＝2时,有2（1-cost)＝2，∴cost＝０.又０≤t≤2π，∴t＝或t＝.当t＝时,x＝π－２；当t＝时，x＝3π+2.∴摆线与直线y＝２的交点为(，π—2），（，3π+2）。我创新，我超越11。星形线的参数方程一轴承的剖面如图所示,小圆表示滚球,半径为r,大圆表示轴瓦，半径为a＝4r。设想大圆固定,而小圆在大圆内无滑动地滚动．小圆上的一定点M在运动中的轨迹为一条曲线，称为星形线．试推导它的参数方程。思路分析：解实际应用题，一般先建立适当的坐标系，然后根据条件转化为数学问题。解：取大圆圆心为坐标原点，设小圆的定点M开始时位于点A处,x轴正方向为向量的方向。小圆滚动α角后，圆心在C点,与大圆切点为B,小圆上的定点M的位置如题图所示．因为是无滑动的滚动，所以＝。记θ＝∠AOB,由＝rα，＝aθ＝4rθ得rα＝4rθ。由此知α＝４θ。作CD平行于x轴，则∠BCD＝θ，得∠DCM＝∠BCM－∠BCD＝α－θ＝3θ。由此知CM与x轴正向形成的任意角为—3θ.由｜OC｜＝a－r＝3r，用向量的坐标表达式，得＝（3rcosθ，3rsinθ)，＝（rcos（—3θ）,rsin(—3θ））＝(rcos3θ，-rsin3θ）。因此有＝（3rcosθ＋rcos3θ，3rsinθ—rsin3θ)。用三角函数的三倍角公式cos3θ＝4cos3θ-3cosθ，