数学同步测控：参数方程的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基，我达标1.已知动圆x2+y2-2axcosθ—2bysinθ=0（a、b是正常数，且a≠b，θ为参数，θ∈［0，2π）），则圆心的轨迹是（）A．直线B．圆C．抛物线的一部分D．椭圆解析：把圆的方程化为标准方程：(x—acosθ)2+(y—bsinθ）2=a2cos2θ+b2sin2θ，其圆心坐标为（acosθ，bsinθ），于是动圆圆心的轨迹方程为消去参数θ,可得＝1，轨迹为椭圆．答案：D2。直线（t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则AB的中点坐标为（)A．(3,-3）B．（—,3)C．（,-3）D．（3，-)解析：(1+t）2+（-3+t)2=16，得t2—8t+12=0.∴t1+t2=8,=4,中点为即答案：D3。过点（1，1),倾斜角为135°的直线截椭圆所得的弦长为（）A。B。C。D。解析：由题意，可设直线的参数方程为代入椭圆方程中，整理得到5t2+6t＋1＝0，｜t1-t2|=，故所求弦长为|t1—t2|=．答案：B4.抛物线x2-2y-2mx+m2＋２＝6m的顶点的轨迹方程是_______________．解析：抛物线方程可化为(x-m）2=2(y+3m-1），设其顶点坐标为（x，y），则满足消去参数m，可得y=—3x+1，即3x+y－１＝0．答案：3x+y－１＝05.求椭圆的内接矩形的最大面积．思路分析：恰当选择参变量,把椭圆内接矩形面积用参数表示出来，再利用函数的性质求解．解法一：椭圆的参数方程为（参数t∈［0，2π）），设第一象限内椭圆上一点M(x，y），由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S=4xy=4×5cost×4sint=40sin2t．当t=时，面积S取得最大值40．此时x=5cos=，y=4sin=2．因此,矩形在第一象限的顶点为（,2）时，内接矩形的面积最大为40．解法二：设点M（x，y）是椭圆上第一象限内的点,则=1，且x＞０，y＞０，即１＝（)2+（)2≥2××，∴xy≤10，当且仅当时取等号．由椭圆的对称性知内接矩形的面积为S=4xy≤40，也就是内接矩形的面积的最大值为40．6.求椭圆上的点到直线3x+4y－64＝０的最大、最小距离．思路分析:利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式,这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．解：将椭圆普通方程化为参数方程（０≤θ<2π)，则椭圆上任一点P的坐标可设为P(5cosθ，9sinθ),于是点到直线3x+4y－６４＝０的距离为，其中tanφ=,∴dmax=，此时sin（θ+φ)＝－１;dmin＝５，此时sin(θ+φ）＝１．7.如图，已知点P是圆x2+y2＝16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么?思路分析：由于点M为线段PA的中点，点A的坐标已知，点P在已知圆上,故而点P的坐标可以用参数θ表示，所以点M的坐标也就可以表示了，由此便可以求出线段PA的中点M的轨迹方程,进而知道其轨迹．解:设点M的坐标为（x，y）．由于圆的参数方程为（参数θ∈［0，2π）），故可设点P的坐标为（4cosθ，4sinθ)．由线段中点的坐标公式,得点M的轨迹参数方程为(参数θ∈［0,2π）).∴线段PA的中点的轨迹是以点（６，０)为圆心、２为半径的圆．我综合,我发展8.已知A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．思路分析：△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．解：由题意知A（6,0）、B（0，3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为（6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数θ得到+(y-1）2＝1。9.过点P(,0）作倾斜角为α的直线与曲线x2+12y2=1交于点M、N，求｜PM｜·｜PN｜的最大值及相应的α的值．思路分析：设出直线的参数方程，把|PM|·｜PN|表示成α的函数．解：设直线为(t为参数)，代入曲线x2+12y2=1中,整理得（1+11sin2α）t2+(cosα）t+=0，于是|PM｜·|PN|=｜t1t2|=．所以当sin2α=0，即α=0时,｜PM|·|PN｜的最大值为，此时α=0．10。已知点P(x,y）是圆x2+y2=2y上的动点，（1）求2x+y的取值范围；（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．思路分析：因为所求问题中涉及到圆x2+y2=2y上动点P的坐标x与y的关系，而二者的关系可用参数θ表示出来，故可设出圆的参数方程，从而把（1)求2x+y取值范围的问题转化为求关于θ的函数的值域问题;对于(2)x+y+a≥0恒成立a≥—(x+y）恒成立a≥max{—（x+y)｝.解：（1）x2+y2=2y化为标准方程为x2+（y—1)2=1.设圆的参数方程为（参数θ∈[0,2π））,则2x+y=2cosθ+sinθ+1=sin（θ+φ）+1,其中tanφ=2．∵－1≤sin(θ+φ)≤1，∴—+1≤sin(θ+φ)+1≤+1．∴2x+y的取值范围为［—+1,+1]．(2）x+y+a≥0恒成立a≥—（x+y)恒成立a≥max{-（x+y)}．而—（x+y)=-（cosθ+sinθ)-1=-sin（θ+）-1，∵－1≤sin（θ+)≤1,∴--1≤-sin(θ+）—1≤—1，即—(x+y）的最大值为—1．由a≥—(x+y）恒成立，可知a≥—1．11.已知点A（１，２），过点（５，－２）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C，试探讨△ABC的形状．思路分析:直线与圆锥曲线的相交问题常常设出交点坐标，利用整体代入法解决问题．解：由抛物线的参数方程,可设B(t2，2t),C（s2，2s），s≠t，s≠１，t≠1，则直线BC的斜率为,方程为y—2t=(x—t2)．因直线BC过点(5，－2），代入上式，并整理得到(s+1）（t＋１）＝－４．因为kAB·kAC=·==—1,所以AB⊥AC，从而△ABC是直角三角形．12.直线l：y=2x+b与椭圆交于A、B两点，当b变化时，求线段AB中点M的轨迹．解：设AB中点M(x0，y0),直线l的方程为(tanθ＝２，t为参数）．代入椭圆方程,有＝１，可得(2cos2θ+3sin2θ）t2+2(2x0cosθ+3y0sinθ）t+2+3—6=0。设A、B对应的参数值分别为t1、t2，则有t1+t2＝０。又∵t1+t2=∴2x0cosθ+3y0sinθ＝０．又∵tanθ＝２，∴２x0＋６y0＝０,即x+3y＝０．∴M点的轨迹是直线x+3y＝０在椭圆＝１内部的一条线段．13。已知椭圆方程为，椭圆长轴的左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．解:设椭圆的参数方程为(θ为参数，且0≤θ〈2π），则P点坐标为（acosθ，bsinθ），由题意知cosθ≠1,sinθ≠0．∵=，=，∴==，==．∴A1Q的方程为y=，①A2Q的方程为y=(x—a）。②①×②得y2=．化简整理得＝１即为所求的轨迹方程．我创新，我超越14。当s和t取遍所有实数时，(s+5-3｜cost｜）2+(s-2|sint|）2所能达到的最小值是多少？思路分析：观察所求式的结构，可以把它看作点（s＋５，s）与点（3|cost|,2｜sint｜）的距离的平方，而这两个点的轨迹都可以用参数方