数学同步测控：6数学归纳法与不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1.用数学归纳法证明“≥(n∈N＊）”时,由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是()A.B.C.D.解析：当n=k时,不等式为，当n=k+1时，不等式为,即为∴选C。答案：C2.用数学归纳法证明1+++…+〈n(n∈N＊，且n>1)时，第一步即证下述哪个不等式成立()A.1<2B.1+〈2C。1++〈2D。1+<2解析:∵n〉1，n∈N＊,∴第一步中n取2.∴左边=1++=1++.答案：C3。关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是（）A。n∈N*B。n≥4C解析:当n=1时，不等式为2〉1成立,当n=2时,不等式为22>22不成立.当n=4时,24>42不成立,排除A、B、C。选择D.答案：D4。用数学归纳法证明“1+++…+〈n（n∈N*，n>1）”时，由n=k（k〉1)不等式成立,推证n=k+1时，左边应增加的项数是（)A.2k—1B.2k-1C.2kD.2解析：当n=k时,不等式为1+++…+<k，当n=k+1时,不等式为1+++…+++…+<k+1,∵2k+1—1—(2k—1)=2k+1—2k=2k，∴共增加了2k项。答案:C5.对于不等式（n∈N＊），某学生的证明过程如下:（1）当n=1时，≤1+1，不等式成立。（2）假设n=k(k∈N*）时，不等式成立，即<k+1,则n=k+1时,<==（k+1)+1.所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C。归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:第一步正确，假设也正确.但从n=k到n=k+1的推理不正确。因为证明过程没有用上归纳假设。答案:D6.若不等式对大于1的一切自然数n都成立,则自然数m的最大值为（)A.12B.13C。14解析:令f（n)=++…+，取n=2,3，4,5等值发现f(n)是单调递减的。［f（n)]max〉，∴f(2)〉。∴m〈24×(+）=14.答案：B7。设n为正整数，f（n)=1+++…+，计算得f（2)=，f（4)〉2,f(8）〉,f(16）>3，f(32）〉，观察上述结果,可推测出一般结论(）A。f（2n)>B.f（n2)≥C.f（2n）≥D。以上都不对解析:f（2）=，f(4）=f（22）〉，f(8）=f(23）>，f(16)=f(24）〉,f(32）=f（25）>。所以猜想f(2n)≥.答案:C8。如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)（n+2)=n(n+1）(n+a)(n+b）对一切正整数n都成立，a、b的值应该等于()A.a=1,b=3B.a=—1,b=1C。a=1,b=2解析：令n=1，n=2得到关于a、b的方程组，解之即可。答案：D我综合，我发展9。观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72，…,则得出结论:__________。解析:观察得到从n开始连续加(2n—1)个自然数之和，右边为中间奇数的平方，∴结论为n+（n+1)+(n+2）+…+(3n-2)=（2n—1)2.答案：n+(n+1）+(n+2）+…+（3n—2）=（2n—1)210.在数列｛an｝中,a1=1，且Sn,Sn+1，2S1成等差数列,则S2，S3,S4分别为______,猜想Sn=_________.解析：∵Sn，Sn+1，2S1成等差数列，∴2Sn+1=Sn+2S1.又∵S1=a1=1，∴2S2=S1+2S1=3S1=3。∴S2==,2S3=S2+2S1=+2=.于是S3==.由此猜想Sn=。答案：,,11。用数学归纳法证明+…+,假设n=k时，不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是______________。解析:观察用k+1替换不等式中的n，即为+…+>—。答案：12.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n—1=3n（na-b）+c对一切n∈N＊都成立，那么a=_____________，b=_____________,c=_______________。解析：当n=1,n=2，n=3时得到三个等式,解方程组求得a、b、c.答案：13.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式(1+）(1+）…(1+）>成立.分析：注意由n=k到n=k+1时的变化部分及应用归纳假设后的变形技巧.证明:（1）当n=2时，左边=1+=，右边=,左边〉右边，不等式成立。(2）假设当n=k时，不等式成立，即(1+）（1+)…（1+）〉成立，则当n=k+1时,左边=(1+）(1+）…(1+）(1+)〉===右边。∴当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)，可知不等式对一切大于1的自然数n都成立.14.设数列｛an}满足a1=2，an+1=an+（n=1,2,3，…)。求证:an〉对一切正整数n成立。分析：本题中由n=k变到n=k+1时，并不能直接代入归纳假设。∵ak〉,而<，异向不等式不能直接相加,需用函数的单调性来完成.证法一：当n=1时，a1=2〉，不等式成立,假设n=k时,ak>成立.当n=k+1时，ak+12=ak2++2>2k+3+>2（k+1)+1。∴n=k+1时，ak+1〉成立.综上（1）（2)，可知an〉对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2>=，结论成立.假设n=k时结论成立，即ak〉。当n=k+1时,由函数f(x）=x+（x>1)的单调性和归纳假设有ak+1=ak+〉+。因此只需证+≥，而这等价于（+）2≥2k+3≥0显然成立。所以当n=k+1时，结论成立。因此,an>对一切正整数n均成立.我创新,我超越15。已知数列{bn}是等差数列,b1=1，b1+b2+…+b10=145(n∈N*)，(1）求数列｛bn｝的通项.(2)设数列｛an｝的通项an=loga（1+)（其中a>0且a≠1）,记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论。分析:本题为数列与数学归纳法的综合题,在比较Sn与logabn+1的大小时，可比较真数的大小，而Sn不能合并起来，可用归纳——猜想，再用数学归纳法解答。解:（1)设数列｛bn｝的公差为d，由题意，得10×1+×d=145,∴d=3,bn=3n—2.(2)由bn=3n-2，知Sn=loga(1+1）+loga（1+）+…+loga（1+）=loga[(1+1）（1+）…(1+)］，logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+)…（1+）与的大小.取n=1，有(1+1)〉,取n≥2,有（1+1)(1+)…(1+)>。下面用数学归纳法证明之:①当n=1时,已验证不等式成立。②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立，即(1+1）（1+）…(1+）〉，则当n=k+1时,（1+1）(1+)…（1+)［1+]>（1+)=·(3k+2）.∵［(3k+2）］3-(）3=〉0.∴·（3k+2)>=。因此（1+1)(1+)…（1+）［1+］>.这说明,当n=k+1时，不等式也成立。由①②，知对一切n∈N＊,不等式(1+1）（1+)…(1+)>都成立。再由对数的性质，可得当a>1时，Sn〉logabn+1；当0〈a<1时,Sn<logabn+1.16.设a∈R，f（x)=是奇函数，（1）求a的值；(2)如果g（n)=(n∈N*），试比较f（n)与g（n)的大小（n∈N＊).分析：本题为函数与数学归纳法相结合的题目,可归纳——猜想——证明.解:∵（1）f（x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.故a=1。（2）f(n）—g（n）=.只要比较2n与2n+1的大小。当n=1,2时,f（n）<g（n)；当n≥3时,2n>2n+1,f（n）>g（n).下面证明n≥3时，2n〉2n+1，即f(x）>g(x).①n=3时