第二种资料-高中数学考点

高中数学考点荟萃

——献给2010年高

三（理科）考生

黄冈中学吴校红

一.集合与简易逻辑论的时候不要遗忘

1.注意区分集合中了A的情况

元素的形式.如：如：｛x|yIgx—函数的定义｝A｛x|ax22x10｝,如果

域；｛y|yIgx）一函数的AR，求a的取值域；值.（答：a0）

｛（x,y）|yIgx｝—函数图④

象上的点集.CU（AB）CUACUB,

2.集合的性质：①CU（AB）CUACUB；任何一个集合A是它（AB）

CA（BC）；本身的子集，记为（AB）CA（BC）.AA.

⑤

②空集是任何集ABAABB

ABCUBCUA合的子集，记为A.ACUBCUABR

③空集是任何非.⑥AB元素的个

空集合的真子集；注数：意:条件为AB,在讨c（a

高中数学（理科）基础知识归类第1页（共48页））

⑦含n个元素的集合的子集个数为2；真子集（非空子集）个数为21；非空真

子集个数为22.

3.鼠集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数

n

n

n

f（x）4x2（p2）x2pp1

22

在区间［1,1］上至少存在一个实数c,使f（c）0,求实数P的取值范围.（答：

（3,））

32

4.原命题:pq；逆命题:qp；否命题：pq；逆否命题：qp；互为

逆否的两

个命题是等价的.如：“sinsin”是“"的条

件.（答：充分非必要条件）

5.若pq且qp,则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）.

6.注意命题pq的否定与它的否命题的区别：命题pq的否定是pq；否

命题是pq.

命题"p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.如：“若a

和b都是偶数，则ab是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数，则ab是奇数”

否定是“若a和b都是偶数，则ab是奇

高中数学（理科）基础知识归类第2页（共48页）

数”.

7.常见结论的否定形式

高中数学（理科）基础知识归类第3页（共48页）

4页（共48页）

二.函数

1.①映射f：AB是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象

且A中不

同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象（即象集B）.

②一一"映射

:AB：⑴"一对一''的对应；（2）A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.2.

函数f:AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知

函数图像与x轴

的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优

先的原则.

4.求定义域:使函数解析式有意义（如:分母0;偶次根式被

f开方数非负;对数真数0,底数0

且1;零指数募的底数0）;实际问题有意义；若f（x）定义域为[a,b],复合函数

f[g（x）]定义

域由ag（x）b解出；若f[g（x）]定义域为[a,b],则f（x）定义域相当于x[a,b]时

g（x）的值域.5.求值域常用方法：①配方法（二次函数类）；②逆求法（反函数法）；③

换元法（特别注意新元的范围）.

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑤不等式法⑥单

高中数学（理科）基础知识归类第5页（共48页）

调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来求值域；

⑧判别式法（慎用）：⑨导数法（一般适用于高次多项式函数）.

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法（已知所求函数的类型）；⑵代换（配

凑）法；

⑶方程的思想--对已知等式进行赋值，从而得到关于f（x）及另外一个函数的方

程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定

义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；

⑵若Rx)是偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点

(f(0)0)；⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(x)0或

l(f(x)0)；

f(x)f(x)

⑷复合函数的奇偶性特点是：“注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶

性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如f(x)0定义域关于

原点对称

高中数学(理科)基础知识归类第6页(共48页)

即可).

⑸奇函数在对称的单调区间⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图

像法和特值法(用于小题)等.⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒：

求单调区间时注意定义域)如：函数ylogx(的x单2调)递

2

12

增

间是.(答：(1,2))8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右

平移------“左加右

区

减”(注意是针对x而言)；

上下平移--“上加下减”(注意是针对f(x)而言).⑵翻折变换：f(x)|f(；

xf(x)f(|x|).

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(轴)的

对称点仍在图像上.

②证明图像C与C的对称性，即证C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C

上，反之亦然.③函数yf(x)与yf(x)的图像关于直线x0(y轴)对称；函

数yf(x)与函数

1

2

1

2

高中数学(理科)基础知识归类第7页(共48页)

yf(x)的图像关于直线y0(x轴)对称；

④若函数yf(x)对xRH+,f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)恒成立，则yf(x)

图像关

于直线xa对称；⑤若yf(x)对xR时,f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)

图像关于直线x对称；

ab2

y

f(x)Af(x)

2

确定)；

⑨函数yf(x)与yf(x)的图像关于原点成中心对称；函数

yf(x),ynf(mx)的图像关于点(,)对称；

m2

n2

1

⑩函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于直线yx对称；曲线C：f(x,y)0,关

于yxa,yxa

⑥函数的对称曲线C的方程yf(ax),yf(bx)的图为f(ya,xa)0(或像

关于直线x对f(ya,xa)0；

称(由axbx确定)；曲线C：f(x,y)0⑦函数yRxa)与关

于点(a,b)的对称曲

线C方程为：yf(bx)的图像关于

直线x对称；f(2ax,2b.y⑧函数9.函数的周期性：(1)

若yf(x)对xR时yf(x),yAf(x)的图像

关于直线y对称(由f(xa)f(xa)恒成立，则

1

2

ba2

1

2

ab2

A2

高中数学(理科)基础知识归类第8页(共48页)

的周期为2|a|；⑵若vf(x)是偶函数，其图像又关于直线xa对称，则f(x)

的周期为2|a|；

⑶若yf(x)奇函数，其图像又关于直线xa对称，则f(x)的周期为4|a|；

⑷若yf(x)关于点,(b,0)对称，则f(x)的(a,0)

周期为21ab|；

(5)yf(x)的图象关于直线xa,xb(ab)对称,则函数yf(x)的周期为21ab|;

(6)yRx)对xR时,f(xa)f(x)或f(xa)，则yf(x)的

f(x)

lf(x)

；(2)对,nR

数恒等式aN(a0,a1,N0)；(3)

(a

0a,

b1

logaN

loga(MN)logaMlogaN;loga

MN

logaMlogaN

log

logaN

a

In

logaM

；(4)

对数换底公式

logbNlogba

(a0,al,b0,b1)

;推.(

1

2

n

论以

:上

logablogbclogca1logala2Ioga2a3loganlan

M0,N0,a0,al,b0,bl,c0,cl,al,a2,a

周期为2|a|；

10对数:⑴

1

a

obg

a

n

b

n

且a,a,a均不等于1)

11.方程kf(x)有解kD(D为f(x)的值域)；af(x)恒成立a[f(x)],

af(x)恒成立a[f(x).

12.恒成立问题的处

最大值最小值

高中数学(理科)基础知识归类第9页(共48页)

理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；13.

处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题

用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.

二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)axbxc(a0)；②顶声式：

f(x)a(xh)k(a0)；③零点式：f(x)a(xx)(xx)(a0).15.一元二次方

程实根分布:先画图再研究0、轴与区间关

22

1

2系、区间端点函数值符号；

16.复合函数:⑴复合函数定义域求法:若f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]

的定义域可由

不等式ag(x)b解出；若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于

x[a,b]时，求

g(x)的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.对于反函数，应掌握以

下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数也是奇

函数；⑶定义域为非单元素集

高中数学(理科)基础知识归类第10页(共48页)

的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；

⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹yf(x)与

yf(x)互为

反函数，设f(x)的定义域为A,值域为B,则有比f(,f[f(x)]x(xA).

18.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问

题：

f(u)g(x)uh(x)0(或

f(a)0

0)(aub)(或f(b)0

111

的图像,a

是双曲线:①两渐近线分别直线x(由分母为零确定)和直线y(由分子、

分母中x的系数确定)；②对称中心是点(,)；③反函数为

ya

c

(

XX

c0

bd

d

de

ac

dcac

ybdx

exa

9

(

20.

y

bx

a函数：增区间

Ox,x)

为

（,）

，减区

间为［

0）,（0如：已知函数f（x）在区间（2,）上

axlx2

为增函数,则实数a的取值范围是（答：（，））.

12

f（a）0

f（b）0

）；

函

数

19.

三.数列1.由

Sn

求

高中数学（理科）基础知识归类第11页（共48页）

③若｛a｝、｛b｝是等差数列，则｛katb｝（k、t是

注意验证a是否包含

非零常数）是等差数在后面a的公式中，

列；

若不符合要

④等差数列的“间单独列出.如：数

隔相等的连续等长

列满足{a}

片断和序列''即，求a4,SSa

S,SS,SS,仍是4(n1)

).a(答：a34(n2)等差数列；

2.等差数列⑤等差数列{a},当{a}aad(d为常2n项数为数)

时,SSnd,；项2aaa(n2,nN*)

数为2n1时，

aanb(ad,bad)SAnBn(A,Ba)

SSaa(nN*),；

；3.等差数列的性质：S(2nl)a,且

①aa(nm)d,d；f(n)f(2n1).

an

Sl(n1)

an*

SnSnl(n2,nN)

1

nn

n

n

5

Inn

3

n11

m2mm3m2m

nn

n1

n

nnn1

S

偶奇

奇

s

an

nnIn1

偶

an1

2

dd

nln

2

1

2

偶奇中n

S

2nIn

奇

S

偶

n1

amanmn

nm

Ananbn

②

（反

之不一定成立）；特别地，当mn2P时，有aa2a；

mn1kamanalak

m

n

P

Bn

⑥首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问

高中数学（理科）基础知识归类第12页（共48页）

题，转化为解不等式；④

a0a0

mn1kaaaa（反之（或）.

00aa

也可用SAnBn的二不一定成

）;次函数关系来分析.立

SSqSSqS.⑤⑦若am,an（mn）,

等比数列中则a0；若

，则S,SS,SS,（注：Sm,Snmn（

各项均不为0）S（mn）；

仍是等比数列.若SS（mn）,则

⑥等比数歹!J{a}当项Sm+n=0；S3m=3（S2m—

数为2n时，q；项数S）；.

n

m

n

1

k

nIn1

2

n

mn

mnmnnm

nm

mn

m2mm3m2m

nm

mn

mn

n

S

偶

m

SmnSmSnmnd

S

奇

4.等比数列

｛an｝

anlan

2

n

为2n1时，

S

奇

al

偶

q

s

n1

n

6.①如果数列｛a｝是

.等差数列,则数列5.等比数列的性质｛A｝（A总有意义）是①a

叫,；等比数列；如果数列

｛a｝是等比数列，｛b｝是等比数②若｛a｝、

则数列列，则｛ka｝、｛ab｝等也

是等差｛alaao

是等比数列；

数列；③

②若｛a｝既是等差na(q1)na(q1)

S

q(qi)(q0,

q(q0)aanlanl(n2,nN*)analq

an

an

nm

nm

q

nn

nn

nnn

an

11

n

n

al(lq)lq

n

alanqlq

al

n

al

iqiq

高中数学(理科)基础知识归类第13页(共48页)

则｛a｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差

数列，且新数列的公差

是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公

共项,那么由他们的

公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项；④三

个数成等差的设法：ad,a,ad；四个数成等差的设法：a3d,ad,ad,a3d；

n

三个数成等比的设法：，a,aq；四个

aq

数成等比的错误设

,aq,法:,aq(为什

a

a

3

q

3

q

么？)

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑵已知S(即aaaf(n))求a用作差法：

(1)S,n

a.SS,n(2

n

1

2

n

n

1

n

nn1

)

(3)己矢口aaaf(n)求a用作商法:

f(l),(n1)

a.,(n2)

1

2

n

n

f(n)

f(n1)

⑷若aaf(n)求a用迭加法.⑸已知a

f(n),求a用迭乘

n1

n

n

n1

an

n

法.

⑹已知数列递推

高中数学(理科)基础知识归类第14页(共48页)

式求a,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如

b,akab,aka

akaanb(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的

等比数列后，

再求a.②形如

的递推数列都a

n

;

12

3

3

3n[

2

33

n(n1)

2

]

2

*

135nn

n

nnInn1

项公式

n(n1)!

ln(nl)lk

1

;常见裂；

1

1

n

nllnk

nn1

ln(nk)

1

(

In

1

)

Knl)(n2)

*

]

n(nl)(n1)

2n(n1)

In!

l(n1)!

2

常见放缩公式

n

1

2an1

n

kan1b

可以用“取倒数法”

求通项.

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；

③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：123nn(n1)；

12

123n

2222

16

n(nl)(2n1)

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数

列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算

“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常

高中数学(理科)基础知识归类第15页(共48页)

选用“统一法”统一至U“最后”解决.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储

蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利

未为r,则n期后本利和为：

n

分n期还清.如果每期利

率为(按复利)，r

那么每期等额还款x元应满足：

P(1r)x(lr)

n

n1

x(lr)

n2

x(lr)x

(等比数列问题).四.三角函数

1.终边与终边相同r)2k(kZ)；终

Sp(lr)p(l2r)p(lnr)p(n

边与终边共线

(等差数列问

k(kZ)；终边

题)；②复利问

与终边关于x轴

题：按揭贷款的分期

对称k(kZ)；

等额还款(复利)模

终边与终边关于y

型：若贷款(向银行

轴对称

借款)p元，采用分期

2k(kZ)；

等

终边与终边关于原

额还款方式，从

点对称

借款日算起，一期

2k(kZ)；

(如一年)后为第一

终边与终边关

次还款日，如此下去，

于角终边对称

n(n1)

2

高中数学(理科)基础知识归类第16页(共48页)

22k(kZ)

2.弧长公式：1||r；终视为锐角)

扇形面积公式：

6.角的变换：已知角

1弧度(lrad)Slr||r；

与特殊角、已知角与

-57.3.目标角、已知角3.三角函数符号与其倍角或半角、(“正号”)规律记

忆两角与其和差角等口诀：“一全二正弦，变换.三切四余弦”.如：

()；注意：2()()

；2()()tanl5cot752

;

tan75cot152

;2

4.三角函数同角关

()系中(八块图)：注意

“1”“正、余弦三兄妹

1sinxcosxsinxcosx、sinxcosx”的；关系.7.重要结论：如

asinxbcosxx)其6足*cosx)12sinxcosx等.中tan)；重要公式

5.对于诱导公式，可

；cos

用“奇变偶不变，符

;号看象限”概括;

1

1

2

扇形

（注意：公式中始.

22

2

2

22

sincossin

cos

2

b

a

sin

2

1cos2

2

2

1cos2

2

高中数学（理科）基础知识归类第17页（共48页）

tan

2

sin1cos

1cossin

|cos

2

sin

2

万能公式：

；sin2

2tan

2

角函数问题勿忘三

②处理三角形内的三

k

2

高中数学(理科)基础知识归类第18页(共48页)

.③五.平面向量tancot

1.设a(x,y),b(x,y).abABsinAsinB

④锐角ABC(l)a；//bxyxy0中,,(2)AB

sinAcosB,cosAcosB,abab0xxyy0.

2.平面向量基本定abc,类比得钝角

理：如果e和e是同一ABC结论.

平面⑤

tanAtanBtanCtanAtanBtanC

线的向量，那么对该

平面与b在a的方向上的

度、仰角、俯角、方投影的乘积；a在b的

方向上的投

影位角等.

ab

.|a|cos|b|

sin

A2

cos

BC2

,cos

A2

sin

BC2

A2

BC2

1122

1221

2

1212

222

12

2

12

2

1122

1122

1212

1

212

2

高中数学（理科）基础知识归类第19页（共48页）

4.三点A、B、C共线

AB与AC共线；与AB共线的单位向量

AB|AB|

a（xl,yl）

b(x2,y2)

，则，则

abxlx2yly2

⑵若

|AB|

a(x,y)

5.平面向量数量积性质：设

a(x,y),b(x,y),

则

ab

；cos

|a||b|

1

1

2

2

注意：

a,b为锐角ab0,a,b

不同向；a,b为直角

ab0；a,b为钝角

ab0,a,b不反向.

6.同向或有ab

0|ab||a||b||a||b||ab|

8.熟记平移公式和定比分点公式.①当点P在线段PP上时，0；当点P在线

段PP(或PP)

延长线上时，1或10.②分点坐标公

式：若PPPP；且P(x,y,)P(x,y)P(x,y)；

2

22

aaaxy

1

2

1

2

2

1

1

2

111222

ab

反向或有

0

则

xlx2x1

(1)

yyiy2i

lab||a||b||a||b||ab|

中点坐标公式：

xlx2x2

(1)

yiy2

yIII|b2

1

2

不共线.

.|a|b|a||ba|

7.平面向量数量积③P,P,P三点共线的坐标表示：⑴若存在实数、使得

ab

高中数学(理科)基础知识归类第20页(共48页)

且1.

9.三角形中向量性

质：①ABAC过BC边的中点：

()()；

OPOP1OP2

AB

AC

AB

AC

|AB|

|AC|

|AB|

|AC|

10.P(x,y)P(x,y),

xxh

有(PPa)；

yyk

SBOCOASAOCOBSAOBOC0

按a(h,k)平移

yfi(x)ykf(xh)

按a(h,k)平移

六.不等式②

1.掌握课本

上的几PG(PAPBPC)GAGBGC0G

个不等式性质，注意为ABC的重心；

使用条件，另外需要③

特别注意：

PAPBPBPCPAPCP为

ab0,ba,则①若ABC的垂心；④

.即不等式两边同|BC|PA|CA|PB|AB|PC0P

为号时，不等式两边取ABC的⑥。为ABC内一点，

2.掌握几类不等式

则

13

1

la

b

AB

AC

|AB|

|AC|

1

1

2

2

1

AOB

2

ABBA

ABC

高中数学(理科)基础知识归类第21页(共48页)

(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法，尤其注意

用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法.3.掌握重

要不等式,(1)均值不等式：若，

则a,b0

(当

ab(

ab2

)

2

；(4)若

ba

ab0,m0

，则

bmam

(真

分数的性质);

4.含绝对值不等式：

同号或有a,b

1a

b|

IIb

Ia|

|b

I

;a,b异号或有0

lab||a||b||a||b||ab|

5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：AB0AB.且仅当ab

时

取等号)使用条注意：若两个正数作件：“一正二定三相差比较有困

等“常用的方法难，可以通过它们为：拆、凑、平方等；的平方差来比较大

小；⑵综合法：由因(2)a,b,cR,

abcabbeca(当导果；⑶分析法：执且仅当abc时，取等果索因.基

本步骤：号）；（3）公式注意变要证…

需证…，只需证…；（），形如：

ab2

2

11ab

222

a

2

b2

2

ab2

2

高中数学（理科）基础知识归类第22页（共48页）

⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目

的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，

|a|n.②将分子或分母放大（或缩小）

③利用基本不等式，

如：.④利

化难为易，化繁为简，

常用的换元有三角换元

代数换元.如：知

，可设xya

yl,xcaos；y知xa

可设xrcos,yrsin（0r1）；知1,

2

2

2

2

2

x

2

y

2

a

2

b

2

可设xacos,ybsin；已知1,可设

x

2

y

2

a

2

b

2

.b

⑺最值法，如：

用常用结论：1

af(x),则af(x)恒成；立.af(x),则af(x)2恒成立.

七.直线和圆的方程

(程度大)；31.直线的倾斜角的()(程度范围是［0,)；小)；2.直线的

倾斜角与⑹换元法：换元的斜率的变化关系目的就是减少不等

ktan()(如右图)：式中变量，以使问题3.直线方程五种形

x

n(n1)

2

saecy,

最大值

11

最小值

Ik

min

kl(kl)kk

2

(kl)kkIk

11111

k

2

k

2

12kIk1

2

高中数学(理科)基础知识归类第23页(共48页)

式：⑴点斜式：已知直线过点(x,y)斜率为k,则直线

方程为yyk(xx),它不包括垂直于x轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y轴

上的截距为b

和斜率k,则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线.⑶两点式：已

知直线经过

P(x,y)、P(x,y)两点,则直线方程为

，它不包括

00

1

1

1

2

2

2

垂直于坐标

轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成AxByCO（A,B不

同时为0）的形式.提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于

斜率不存在的直线，还有截距式呢？）

⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率

为1或直线过垂直于坐标轴的直

原点；直线两线.

⑷截距式：已知直截距互为相反数直线在x轴和y轴上的线的斜率为1或直

线截距为a,b,则直线方过原点；直线两截距程为1,它不包括绝对值相等

yyi

Xxl

y2yi

x2xlx

ya

b

高中数学（理科）基础知识归类第24页（共48页）

直线的斜率为1或直线过原点.⑶截距不是距离，截距相等时不要忘了过

原点的特殊情形.

4.直线l:AxByC0与直线l:AxByC0的位置关系：⑴平行

AB0（斜率A）且BCBC0（在y轴上截距）；⑵相交A重合B0；

（3）A且ABABOBCBC0.

5.直线系方程：①过两直线1：

,1：AxByC0

AxByC0.交点的直线系方程可设

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

为

AlxBlyCl(A2xB2yC2)0

;②与直线l:AxByC0平行的直线系方程可设为

AxBym0(mc)；③与直线l:AxByC0垂直的直线系方程可设为

BxAyn0.

6.到角和夹角公式：⑴1至Ul的角是指直线B

1绕着交点按逆时针方向转到和直线1重合所转的角，(0,)且8

tan(kk1)；

1

2

1

2

k2kl

1klk2

12

1

(2)1与1的夹角是指不大于直角的角

且，(0,]

1

2

2

1112

tan|

k2kllklk2

|(klk21)

222

7点

到直线

AxByC0的距离公式

P(x0,y0)

高中数学(理科)基础知识归类第25页(共48页)

d

两条平行线AxByC0与AxByC

0的距离是d.

1

2

8.设三角形人8€：三顶点人仪,丫),：6仪》),(3(*»),则重心*xxyyyG(,)；33

1

1

2

2

3

3

f(y,x)0；⑥直线

yx：f(y,x)0；⑦直线xa：f(2ax,y)0.10.⑴圆的标准方程：

(xa)(yb).r⑵圆的一般方程：

2

2

xyDxEyF0(DE4F0)

2222

123123

9.有关对称的一些结论

⑴点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线yx的对称点分别是

(a,b),(a,b),(a,b),(b,a).⑵曲线f(x,y)0关于下列点和直线对称的曲线

方程为：①点(a,b)：f(2ax,2by)0；②x轴：f(x,y)0；③y轴：

Kx,y)0；④原点：f(x,y)0；⑤直线yx：

.特别提醒：只有当DE4F0时，方程xyDxEyF0才表示圆心

为(，)泮径

2

22

2

D2

E2

为

的圆（二

元二次方程

AxBxyCyDxEyF0表示圆AC0,且B0,DE4AF0）.

⑶圆的参数方程：xarcos

(为参数)，

ybrsin

2

2

22

其中圆心为(a,b),半径为r.圆的参数方程主要应用是

高中数学(理科)基础知识归类第26页(共48页)

三角换元：xxyyr；

过圆(xa)(yb)rxyrxrcos,yrsin；

xytxrcos,yrsin(0r一点P(x,y)切线方.程为⑷以A(x,y)、

B(x,y)为(xa)(xa)(yb)(yb)r.直径的圆的方程13.过圆外一点作圆的

切线，一定有两条,(xx)(xx)(yy)(yy)0；

11.点和圆的位置关如果只求出了一条，系的判断通常用几那么另外一条就是何

法(计算圆心到直与x轴垂直的直线.线距离).点P(x,y)及14.直线与圆的位置圆的

方程关系，通常转化为圆(xa)(yb)r.①心距与半径的关

系,(xa)(yb)r点P在或者利用垂径定理，圆外；构造直角三角形解

②(xa)(yb)r决弦长问题.①点P在圆②(xa)(yb)r点P在

dr相切③圆上.dr相交12.圆上一点的切线15.圆与圆的位置关方程：

点P(x,y)在圆系，经常转化为两圆xyr上,则过点P的的圆心距与两圆的切线

方程为：20022222222200112220012120022222200222002220000222

高中数学(理科)基础知识归类第27页(共48页)

半径之间的关系.设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r,R：dRr两

圆相离；dRr两圆相外切；|Rr|dRr两圆相交；d|Rr|

两圆相为

1

径、半弦长、弦心距构成

直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)

作出可行域，写出目标

函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.

(xyDxEyF)(xyDxEyF)0

八.圆锥曲线方程

.1时为两圆相交1.椭圆焦半径公式：弦所在直线方程.设P(x,y)为椭圆

17.解决直线与圆的xyl(ab0)上任一点，关系问题时，要充分ab

焦点为F(c,0),F(c,0),

发挥圆的平面几何

则

性质的作用(如半

2

2

1

1

1

2

22

222

2222

111222

00

22

22

12

高中数学(理科)基础知识归类第28页(共48页)

PF1aexO,PF2aexO

(“左

点，则|PF|x

P2

ba

加右减”)；

2.双曲线焦半径：设

为双曲线P(x,y)

xyl(a0,b0)上任一ab

2

2

2

2

4.共渐近线y

2

2

的

双曲线标准方程为

xy

(为参

ab

2

2

数，0).

点,焦点为5.两个常见的曲线F(c,0),F(c,0),系方程：⑴过曲线则：⑴当P

点在右

f(x,y)0,f(x,y)0的交点

支上

的曲线系方程是

时,|PF|aex,|PF|aex；

f(x,y)f(x,y)0(为参

⑵当P点在左支上数).⑵共焦点的有时,|PF|aex,

心圆锥曲线系方程

|PF|aex；(e为离心xy

1,其中akbk

率).另：双曲线

kmax{a,b}.当xy

l(a0,b0)的渐近ab

kmin{a,b}时,裘示椭xy

线方程为ab0.

圆；当

3.抛物线焦半径公min{a,b}kmax{a,b}时,式：设P(x,y)为抛物线表示双曲线.

y2px(p0)上任意一6.直线与圆锥曲线点,F为焦点，则相交的弦长公式

|PF|x；y2px(p0)AB

或

上任意一点,F为焦ABxx|l

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

22

22

22

22

22

2222

00

2

P

2

2

12

高中数学（理科）基础知识归类第29页（共48页）

0;)

]yy9.|抛物线y2px(p0)

(弦端点A(x,y),B(x,y,)的焦点弦(过焦点的

ykxcb弦)为AB,A(x,y)、由方程消去

F(x,y)0

B(x,y),则有如下结

y得至U

论：

axbxc0,0,k为斜

(1)|AB|xxp；(2)

率).这里体现了解

,yyp；(3)xx

几中“设而不求”的

.思想；

7.椭圆、双曲线的通10.椭圆axbyl(ab0)径(最短弦)为，焦左焦点弦

|AB|2ae(xx),

AOB,

2

12

1122

11

22

2

12

P

2

2

12

4

12

112

|AF||BF|p

22

22

2ba

2

12

准距为p，抛物线

b

2

右焦

1

2

的通径为2p,焦准距|AB|2ae(xx

11.对于y2px(pO抛)

为p；双曲线物线上的点的坐标

y

xy可设为(,y),以简化l(a0,b0)的焦点2pab

到渐近线的距离为b；计算.

8.中心在原点，坐标12.圆锥曲线中点弦轴为对称轴的椭圆,问题：遇到中点弦问

双曲线方程可设为题常用“韦达定理”

或“点差法”求解.AxBy1(对于椭圆

2

2

2

点

).

弦

20

22

22

高中数学(理科)基础知识归类第30页(共48页)

在椭圆a

0x22yb221中，条件确定其待定系以P(x,y)为中点的数，代回所列的方程

弦所在直线斜率即可.bx；在双曲线kay⑶代入法(相关xy1中，以

P(x,y)为点法或转移法).ab⑷定义法：如果中点的弦所

bx能够确定动点的轨在直线斜率ka；y迹满足某已知曲线在抛物线

y2px(p0)中，的定义,则可由曲线以P(x,y)为中点的弦的定义直接写出方所在

直线的斜率程..k⑸交轨法(参数13.求轨迹方程的常法)：当动点P(x,y)坐标

用方法：之间的关系不易直⑴直接法：直接接找到,也没有相关通过建立X、

y之间的动点可用时,可考虑关系，构成F(x,y)0,是将x、y均用一求轨迹

的最基本的中间变量(参数)表方法.示，得参数方程，再

⑵待定系数法：消去参数得普通方可先根据条件设所程.求曲线的方程，再由14.

解析几何与向量020202222002020200py0

高中数学(理科)基础知识归类第31页(共48页)

综合的有关结论：⑴给出直线的方向向量u(l,k)或u(m,n).等于已

知直线的斜率k或；

nm

三点共线.

(6)给出OP

A,B,C

OA1

OB

(2)给出OAOB与AB

相交，等于已知OAOB过AB的中点；

⑶给出PMPN0,等于已知P是MN的中点；⑷给出

APAQ(BPBQ｝等于已知P,Q与AB的中点三点共线；

⑸给出以下情形等于已知MP是AMB

的平分线.之一：①AB//AC；

②存在实数，使⑼在平行四边形

ABAC；③若存在实ABCD中，给出

(ABAD)(ABAD)0,等数，，

且1；使于已知ABCD是菱形.

(10)在平行四边形OCOAOB,等于已知

MA

MB

|MA|

|MB|

等于已知P是AB的定比分点，为定比，即APPB

⑺给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角，给出

MAMBm0,等于已知AMB是钝角或反向共线，给出

MAMBm0,等于已知AMB是锐角或同向共线.

⑻给出()MP,

高中数学(理科)基础知识归类第32页(共48页)

中，给出|AB|A|D,等于已AB知ABCD是矩形.

(11)在ABC中，给出OAOBOC,等于已知O是ABC的外心(三角形的外

心是外接圆

的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点).

⑫在ABC中，给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形

的重心是三角形

三条中线的交点).

⑬在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA,等于已知O是ABC的

垂心(三角形的垂心

ABCD

2

2

2

是三角形三条

).A高的交点D

(14)在ABC中，给出

OPOA()(R)

ABAC

|AB||AC|

等于已知AP通过ABC的的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的

交点）.

（16）在ABC中，给出

AD（ABAC）,等于已知

12

是ABC中BC边的中线.

九.直线、平面、简单几何体

1.从一点0出发的三条射线OA、OB、0C.

AD

高中数学（理科）基础知识归类第33页（共48页）

若AOBAOC,则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；2.

立平斜三角余弦公式：（图略）AB和平面所成的角是,AC在平面于容易发

现两

1

1

2

3

1

2

3条异面直线间的关系；

4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的

关键.

5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射

影公式SSeos

其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6.空间距离的求法:

⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂

线，然后再进行

射

斜

高中数学（理科）基础知识归类第34页（共48页）

计算.⑵求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解.

⑶求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作.因此，确定已知

面的垂面是关键；

二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.7.用向量方

法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设

a、b分别为异面直线a、b的方向向量，则两异面直线所

成的角arccos.（2）

lab||a||b|

线1的方向向量,是平面的

法向量，则斜线1与平面所成的角

arcsin.⑶求二面

n

|1n||l||n|

角（法一）在b1,其方向如图（略），则二面角1的平面角

.（ac法二c）设o

a1

ab|ab

，是二面角

1的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二

面角1的平面

角arccos.（4）

nl

n2

nn

11

2

|n||n|

2

求线面角：设1是斜

求点面距离：设是平面的法向量，在内取一点B,则A到

n

高中数学（理科）基础知识归类第35页（共48页）

的距离

川

d|AB||cos||AB（即|n|在方向上投影的绝对值）.

8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则SeosS.

9.正四面体（设棱长为a）的性质：

①全面积S；②

体积V；③对棱间

侧

底

AB

n

2

3

12

的距离d

1

2

;④相邻

面所成二面角arccos；

3

质：(直角四面体一三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体0ABC

中,OA,OB,OC两两垂直，令OAa,OBb,OCc,则⑴底面三角形ABC为锐角

三角形；⑵直角顶点0在底面的射影H为三角形ABC的垂心；(3)SSS；

(4)SSSS；(5)

;⑹外接球

2

BOC

BHC

ABC

2

AOB

2

BOC

2

COA

2

ABC

1111

OH

2

a

2

b

2

c

2

⑤外接球半径R⑥cos1或

2

22

高中数学(理科)基础知识归类第36页(共48页)

;若

长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成

的角分别为，，，则有sinsinsin或coscoscos2.12.

正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；13.球的体积公式VR,

表面积公式

sinsinsin2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

式

Ann(n1)(nm1)

m

n!m!(nm)!

(mn,m,nN*)

，当mn时为全排列An!.

2.组合数公式：

nn

An(n1)(nml)mlCnn(mn)m!m(m1)(m2)3

21

On

nn

m

,CC1.

3.组合数性质：

；ccc.cc

4.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特

掌握球面上两殊位置优先；②捆绑S4R；

点A、B间的距离求法（相邻问题）；法：③插空法（不相邻⑴计算线段

AB的问题）；④间接扣除长；⑵计算球心角法；（对有限制条件AOB的弧度数;

⑶用的问题，先从总体考弧长公式计算劣弧AB虑，再把不符合条件的长.的

所有情况去掉）十.排列组合和概率⑤多排问题单排法;1.排列数公⑥相同元素分

组可

mn

nmn

rn

rIn

rn1

43

3

2

高中数学（理科）基础知识归类第37页（共48页）

采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排，先分再排

（注意等分分组问题）；⑧涂色问题（先分步考虑至某一步时再分

类）.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别

忘除以n!.

5.常用性质：

；即nn!（n1）!n!

nAAA；CCCC（1rn）；6.二项式定理：⑴掌握二项展

开式的通项：TCab（r0,l,2,...,n）；⑵注意第r+1项

nn

11

nn

rr1

rn

rIn1

r1

m

nr

r

二项式系数与第r+1项系数的区别.7.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两

端等距离的二项式系数相等；⑵若n为偶数，中间一项（第1项）的二项

n2

式系数最大；若n为奇数，中间两项（第1和1项）的二

n12

n12

项式系数最大.

(3)CCCC2；CCCC2.8.二项式定

理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法

求展开式

的某些项的系数的和如f(x)(axb)展开

On

In

2n

nn

n

On

2n

In

3n

nIn

高中数学(理科)基础知识归类第38页(共48页)

式的各项系数和为B相互独立，那么事f(l),奇数项系数和为件A、B至少有

一个不[f(l)f(1)],偶数项发生的系数和为的概率是

(P6)AlP(AB)；[f(l)f(1)].如果事件A与B相互9.等可能事件的

概独立，那么事件A与B率公式：⑴P(A)；⑵至少有互斥事件有一个发

个发生的概率生的概率公式为：是1P(AB)1P(A)P(B).P(AB)