2020-2021北京初中数学期末汇编：二次函数综合题

2020-2021北京初中数学期末汇编：二次函数综合题

解答题(共7小题)

1.已知二次函数产-x2+bx+c和一次函数y^mx+n的图象都经过点A(-3,0),且二次函数产-x2+bx+c的图

象经过点8(0,3),一次函数的图象经过点C(0,-1).

(1)分别求〃?、"和b、c的值；

(2)点P是二次函数)=-N+Zzr+c的图象上一动点，且点尸在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横

坐标

x的函数表达式，并求S的最大值.

2.(2020秋•顺义区期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2mx+m2

(1)求抛物线的顶点坐标(用含，"的式子表示)；

(2)过点4(0,1)作y轴的垂线/，点8在直线/上且横坐标是2/n+l.

①若比的值等于1时，求抛物线与线段AB的交点个数；

②若抛物线与线段4B只有一个公共点时，直接写出〃?的取值范围.

3.(2020秋•北京期末)在平面直角坐标系xO)，中，抛物线＞=2^+m+”经过点a(0,-2),B(3,4).

(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；

(2)线段。8绕点。旋转180。得到线段OC,点。是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,8之间的部分为

图象W(包含A,B两点).结合函数图象，

①若直线CQ与图象W有公共点，求SACMD的最大值；

②若直线CD与图象W没有公共点，直接写出点。纵坐标t的取值范围.

5-

4~

3-

2-

1-

--------------------

-5-4-3-2-1012345*

-1

-3

-4

-5

4.(2020秋•丰台区期末)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线y=ar2+%x(“#))过点(%0).

(1)用含。的代数式表示历

(2)已知点A(0,a),将点A绕原点O顺时针旋转90。得到点B,再将点B向右平移2个单位长度得到点C,

求点C的坐标(用含。的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求“的取值范围.

5.(2020秋•石景山区期末)对于平面直角坐标系中第一象限内的点P(x,y)和图形W,给出如下定义：

过点尸作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M,N,若图形卬中的任意一点。(a,8)满足且后，则称四边

形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点.例：已知A(l,2),B(3,1),则点P(5,

4)为线段A8的一个覆盖的特征点.

(1)已知点C(2,3),

①在Pi(1,3),P2(3,3),P3(4,4)中，是△ABC的覆盖特征点的为；

②若在一次函数〉=加计5(，/0)的图象上存在△A8C的覆盖的特征点，求〃?的取值范围.

(2)以点。(2,4)为圆心，半径为1作圆，在抛物线丫=以2-5ar+4(在0)上存在。。的覆盖的特征点，直

接写出a的取值范围__________.

6.(2020春•海淀区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3m),P(0,2m),Q(0,m)(〃苗))，将

点A绕点尸顺时针旋转90。，得到点将点。绕点。顺时针旋转90。，得到点N,连接MN,称线段MN为点

A的伴随线段.

(1)如图1,若〃7=1,则点ALN的坐标分别为,；

(2)已知二次函数的图象经过点8(-1,力，C(1,Z),D(0,r+1),将此图象在8,C之间的部分与线段8c

所组成的封闭图形记作图形G(包含B,C两点).

①当f=2时，是否存在〃?，使得点用在图形G内部(包括边界)？若存在，求出”的值；若不存在，请说明理

由；

②若存在点A,使得其伴随线段MN上的所有点都在图形G内(包括边界)，请直接写出f的取值范围.

7.阅读材料：若抛物线L的顶点A在抛物线L2上，抛物线乙2的顶点8也在抛物线心上（点A与点5不重合）,

我们称这样的两条抛物线L、心互为“友好”抛物线，如图L

解决问题：如图2,已知抛物线心：y=2%2-8x+4与），轴交于点C

（1）若点。与点C关于抛物线心的对称轴对称，求点。的坐标；

（2）求出以点。为顶点的小的“友好”抛物线小的解析式；

（3）直接写出心与〃中y同时随x增大而增大的自变量x的取值范围.

2020-2021北京初中数学期末汇编：二次函数综合题

参考答案与试题解析

解答题(共7小题)

1.已知二次函数y=-N+fev+c和一次函数y=»jx+〃的图象都经过点A(-3,0),且二次函数y=-炉+云的图

象经过点3(0,3),一次函数丫=加叶〃的图象经过点C(0,-1).

(1)分别求机、”和b、c的值；

(2)点P是二次函数丫=-/+fec+c的图象上一动点，且点尸在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点尸的横

坐标

x的函数表达式，并求S的最大值.

【分析】(1)把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；

(2)分两种情况：①当点尸在y轴左侧时，过点P作PO〃y轴交AC于点。，②当点P在)'轴右侧时，过点P

作尸。〃y轴交AC的延长线于点Q,分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形B4C的面积，

配方可得答案.

【解答】解：(1)♦.,二次函数y=-r+^x+c和一次函数的图象都经过点A(-3,0),一次函数产小+〃

的图象经过点C(0,-1),

.f-3m+n=0

ln=-l

，1

.1m-万，

n=-l

•••二次函数y=-N+bx+c和一次函数y=/nx+〃的图象都经过点A(-3,0),二次函数y=-/+bx+c的图象经过

点、B(0,3),

•f-9-3b+c=0

"lc=3

.•.片2

1c=3

(2)由(1)知一次函数与二次函数的解析式分别为：1与>=-/-您+3,

3

①当点P在y轴左侧时，过点P作PD//y轴交AC于点。，则SA/MC=£XP£>X|-3|=-|PZ),

②当点P在y轴右侧时，过点P作PD//y轴交AC的延长线于点D,

贝IS△小c=LxP£>xk+3-x\=^-PD,

22

•••点P在抛物线上，设P（x,-N-2X+3）,则£>（x,」-1）,

3

PD=-x2-2x+3弓戈+1=-I?x+4,

△阳。=旦「。='（/金》-4）=卫（x+5）2+1^2，

2232624

即当x=3■时，SAMC最大=&.

624

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关

键，

2.（2020秋•顺义区期末）在平面直角坐标系xO），中，已知抛物线y=/-23+小（论0）.

（1）求抛物线的顶点坐标（用含，*的式子表示）；

（2）过点A（0,1）作y轴的垂线/，点8在直线/上且横坐标是2〃?+l.

①若根的值等于1时，求抛物线与线段AB的交点个数；

②若抛物线与线段A8只有一个公共点时，直接写出m的取值范围.

【分析】（1）将抛物线的解析式配方成顶点式，可以写出它的顶点坐标；

（2）①画出函数图像，利用图像法解决问题.

②求出抛物线经过A,B时，，"的值，利用图像法可得结论.

【解答】解：(1)y=xi-2mx+m2=(x-m)2,

:.顶点坐标为(m,0).

(2)①由题意，抛物线的解析式为y=(x-1)2,A(0,1),B(3,1),

观察图像可知，抛物线与线段A8的交点个数为2个.

②由①可知，机=1时，抛物线与线段AB有两个交点，

当抛物线经过B(2粗+1,1)时，1=(/n+1)2,

解得m=0或-2(舍弃)，

观察图像可知满足条件的m的值为0<m<l.

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会

寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型.

3.(2020秋•北京期末)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线>=2%2+加%+〃经过点”(0,-2),B(3,4).

(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；

(2)线段OB绕点O旋转180。得到线段OC,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,B之间的部分为

图象卬(包含A,B两点).结合函数图象，

①若直线C。与图象W有公共点，求SACMD的最大值；

②若直线CQ与图象W没有公共点，直接写出点D纵坐标t的取值范围.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

12345x

【分析】(1)利用待定系数法可得结论.

(2)①当点。落在直线BC上时，△口?〃的面积最大.

②利用图象法法，可得结论.

【解答】(1)•.5=2^+见+”经过点A(0,-2),B(3,4).

代入，得:n=-2

18+3m+n=4

1-Jn=-2

lm=-4

抛物线的表达式是y=2r2-4x-2,

顶点坐标是M(1,-4).

(2)①由题意可知C(-3,-4)

二次函数y=2x2-4x-2的最小值是-4,

连接8C,直线8C的解析式是

y3

当x=l时，丫

y3

当点。在BC上时，（1,-1）,

3

•.•直线CC与图象卬有公共点，

...点。在线段0M上运动，

当点D与。，重合时，△OCM的面积最大,

...SMMO的最大值是』X

233

②由题意，直线BC交对称轴x=l于（1,2），C（-3,-4）.

3

若直线8与图象W没有公共点，则直线与线段没有交点,

所以点D纵坐标t的取值范围是-4或f>l.

3

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，

属于中考常压轴题.

4.（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系尤。），中，抛物线丫=〃小+法（”#））过点（%0）.

（1）用含。的代数式表示历

（2）已知点A（0,«）,将点A绕原点O顺时针旋转90。得到点8,再将点8向右平移2个单位长度得到点C,

求点C的坐标（用含。的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围.

【分析】(1)将(4,0)代入即可得答案,

(2)y轴上的点绕原点。顺时针旋转90。到x轴，向右平移则横坐标加2即可求出B的坐标,

(3)根据图形列出不等式可得a的范围；

【解答】解：(1)•••抛物线>=以2+法过点(4,0),

：.0=164+44

:.b=-4a.

(2)•.•点A(0,a)绕原点。顺时针旋转90。得到点B,

.,.点B的坐标为(a,0),

•.•点B向右平移2个单位长度得到点C,

.♦.点C的坐标为(a+2,0).

(3)(i)当a>0时，

抛物线y=a/-4ar开口向上，与x轴交于两点(0,0),(4,0).

若线段AC与抛物线有公共点(如答图1),只需满足：;，解得：a>2；

la+2>4

(ii)当aVO时,

抛物线)，=G2-4or开口向下，与x轴交于两点(0,0),(4,0),

若线段AC与抛物线有公共点(如答图2),只需满足：二，解得：aS-2；

.a+2<0

【点评】本题考查二次函数解析式，点的旋转、平移与坐标以及线段与抛物线的交点，数形结合，画出图形便可

以分析得到答案.

5.(2020秋•石景山区期末)对于平面直角坐标系xO.y中第一象限内的点P(x,y)和图形W,给出如下定义：

过点尸作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N,若图形W中的任意一点。(a,6)满足且/y,则称四边

形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点.例：已知A(l,2),B(3,1),则点尸(5,

4)为线段AB的一个覆盖的特征点.

(1)已知点C(2,3),

①在Pi(I,3),P2(3,3),P3(4,4)中，是△ABC的覆盖特征点的为生，尸3;

②若在一次函数y=mx+5(,/0)的图象上存在△A8C的覆盖的特征点，求加的取值范围.

(2)以点。(2,4)为圆心，半径为1作圆，在抛物线y=〃x2-5ar+4(存0)上存在0。的覆盖的特征点，直

接写出a的取值范围〃>0或？.

【分析】(1)①画出图形，根据点P为这个覆盖的一个特征点的定义判断即可.

②分两种情形：m>0,机<0分别求解即可.

（2）观察图象可知，当。>0时，抛物线上存在。。的覆盖的特征点，当〃<0时，抛物线经过（0,4）,对称轴

x=5,当抛物线经过（2,5）或（3,5）时，抛物线满足条件，求出“的值，可得结论.

2

观察图象可知,生，P3是AABC的覆盖特征点.

故答案为：P],尸3.

当机V0时，由题意得：当应3且龙3时，点P（x,y）为△ABC的覆盖的特征点（图中的阴影部分）.

又•.,点尸在一次函数y=/nr+5（m/0）的图象上，

当直线y=〃?x+5（机加）过点K（3,3）时，解得：皿=工，

3

・•・结合函数图象可知V<m<0，

综上所述："且m?^0.

(2)如图3中,

观察图象可知，当。＞0时，抛物线上存在OQ的覆盖的特征点，

当时，抛物线经过(0,4),对称轴x=$,当抛物线经过(2,5)或(3,5)时，抛物线满足条件，

2

：.5=4a-10a+4,

解得q=-1,

6

观察图象可知，当把时，抛物线上存在。。的覆盖的特征点，

6

综上所述，满足条件的。的取值范围为：。＞0或

6

故答案为：。＞0或

6

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，点P为这个覆盖的一个特征点的定义等知识，解题

的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题.

6.(2020春♦海淀区校级期末)在平面直角坐标系X。)，中，已知点A(0,3m),P(0,2m),Q(0,而(w/0),将

点A绕点P顺时针旋转90。，得到点“，将点。绕点Q顺时针旋转90。，得到点M连接MN,称线段MN为点

A的伴随线段.

(1)如图1,若,"=1,则点M,N的坐标分别为(1,2),(7,1)；

(2)己知二次函数的图象经过点8(-1,/),C(1,/),D(0,r+1),将此图象在B,C之间的部分与线段BC

所组成的封闭图形记作图形G(包含8,C两点).

①当，=2时・，是否存在〃?，使得点M在图形G内部(包括边界)？若存在，求出机的值；若不存在，请说明理

由；

②若存在点A,使得其伴随线段MN上的所有点都在图形G内(包括边界)，请直接写出r的取值范围.

图1备用图

【分析】(1)由旋转的特征在平面直角坐标系中画出图形，得到点M、N的坐标:

(2)由(1)得点M在直线y=2x上运动，可求出经过三点8、C、。的抛物线的解析式为＞=-x2+t+\,再由y

=2%和y=-/+f+l联立方程组，解方程组求出符合题意的根的值；

(3)在同一平面直角坐标系中，字母机、f表示相同的单位长度，点A/(祖，2m)即M(f,2r),由点M(f,2f)

在直线y=-r+f+l的图象上求出，的一个特殊值，再结合函数图象确定/的取值范围.

【解答】解：(1)根据题中条件，A(0,3m),P(0,2zn),Q(0,m),

由旋转得M(m,2m),N(-m,m),

.•.当m=l时,M(1,2),N(-1,1),如图1.

故答案为：M(1,2),N(-1,1).

(2)存在.

过B(-1,/)、C(1,D(0,/+1)三点的抛物线的对称轴为y轴，顶点为。(0,什1),

设该抛物线为y=kx1+t+\,则k+t+\=t,

解得k--1,

.•.y=-N+.+i,

当t=2时，y=~/+3；

如图2,点M（相，2m）在经过原点的直线上运动，

设该直线为则ma=2m,

解得〃=2,

**•y=2.xi

由（y=-x2+3,得卜=1或卜=-3（不符合题意，舍去）,

y=2xIy=2ly=_6

・••点M与点C重合，即M（l,2）,

**•m=t.

.•.点N在直线BC上运动.

由M（r,2力在直线y=-N+f+1上，

得2t—-P+f+1,

解得或弋二^Ill（不符合题意，舍去）

T2x2

如图3,当0＜也近二时，线段MN上的所有点都在图形G内部（包括边界）;

如图4,当机＜0时，则此时点M在直线BC的下方,不符合题意，舍去.

综上所述，0〈心匠1,

2

故答案为：0〈心得1.