53模拟试卷初中数学九年级下册07专项素养综合全练(七)

专项素养综合全练(七)相似、解直角三角形中的难点模型类型一射影模型1.(2022福建漳州期末)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,AD=3,CD=4,则BD的长为(M9227004)()A.942.(2023安徽合肥包河期中)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,有下列条件:①∠A=∠BCD;②∠A+∠BCD=∠ADC;③BDCD=BCAC;④BC2=BDA.0个B.1个C.2个D.3个3.(2022四川广元中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.若AD=4,BD=9,则☉O的半径为.

类型二胡不归模型专题解读如图,动点P在定直线上,求形如“PA+kPB”(0<k<1)型的最值(最小值)问题(A、B为定点,B在定直线MN上),构造射线BQ,使得sin∠QBN=k,作PC⊥BQ于C,可得PC=kPB,将问题转化为求PA+PC的最小值.4.(2023安徽合肥一模)如图,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC,AB=2,点E为BD上一动点,连接AE,则AE+12A.1B.2C.5.(2023山东济宁任城期末)如图,△ABC中,AB=AC=15,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+55A.35B.6C.53D.106.(2023天津和平期末)如图,▱ABCD中∠A=60°,AB=6,AD=2,P为边CD上一动点,则3PD+2PB的最小值为.(M9228004)

类型三“12345”模型7.(2022山西大同三模)已知锐角α与β满足tanα=12,tanβ=13,求α+β的度数.小明经过思考后,画出如图所示的网格并把α和β画在网格中,连接AD得到△ABD,且AB=AD,A.数形结合思想B.分类思想C.统计思想D.方程思想8.【一题多解】如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=35,且∠ECF=45°,则CF的长为()A.210B.3C.59.【新考向·阅读理解试题】(2023四川凉山州中考)阅读材料:如图①,四边形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,记∠BAE为α、∠FAD为β,若tanα=12,则tanβ=1证明:设BE=k,∵tanα=12,∴AB=2k,易证△AEB≌△EFC(AAS),∴EC=2k,CF=k,∴FD=k,AD=3k,∴tanβ=DFAD=k3k=同理,当α+β=45°时,若tanα=13,则tanβ=1根据上述材料,完成下列问题:如图②,直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.直线AB绕点A顺时针旋转45°后与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥(1)求反比例函数的解析式;(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值;(3)求直线AE的解析式.类型四阿氏圆模型专题解读如图,动点P在定圆上,求形如“PA+kPB”(0<k<1)型的最值(最小值)问题(A、B为定点,定圆O的半径r满足r=kOB),可在OB上取一点C,使得OCOP=OPOB=k,此时10.(2022河南南阳西峡期末)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点E,F分别是边AB,AC的中点,点P是以A为圆心,以AE长为半径的圆弧上的动点,则12PB+PC的最小值为11.如图,四边形ABCD为边长为4的正方形,☉B的半径为2,P是☉B上一动点,则PD+12PC的最小值为

答案全解全析A∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,∴△BDA∽△ADC,∴BDAD模型归纳如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,那么有:①CD2=AD·BD;②AC2=AB·AD;③BC2=AB·BD.2.D①∵∠A=∠BCD,∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°,故①符合题意;②条件不足,无法判定△ABC是直角三角形,故②不符合题意;③∵BD∶CD=BC∶AC,∠ADC=∠CDB=90°,∴Rt△ADC∽Rt△CDB,∴∠ACD=∠B,∵∠B+∠BCD=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACB=90°,故③符合题意;④∵BC2=BD·BA,∴BCBA=BDBC,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD,3.13解析如图,连接CD,∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,∵AD=4,BD=9,∴AB=AD+BD=4+9=13,∵∠ACB=∠ADC=90°,∠A=∠A,∴△ACB∽△ADC,∴ACAD=ABAC,∴AC2=AD·AB=4×13=52,∴AC=213,4.C如图,过E作EM⊥BC于M,过A作AH⊥BC于H,交BD于E'.∵△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC,∴∠EBM=30°,∴EM=12BE,∴AE+12BE=AE+EM,当AE+12BE最小时,AE+EM最小,此时E与E'重合,M与H重合,则AE+12BE的最小值为AH的长度,在Rt△ABH中,AH=AB5.B如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∵tanA=BEAE=2,∴设AE=a,BE=2a,则有152=a2+4a2,∴a2=45,∴a=35(舍负),∴BE=2a=65,∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=65,∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴△BHD∽△BEA,∴DHBD=AEAB=55,∴DH=55BD,∴CD+56.63解析如图,过点P作PH⊥AD,交AD的延长线于H,过点B作BN⊥AH于N,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A=∠CDH=60°.∵HP⊥AD,∴∠DPH=30°,∴DH=12DP,HP=3DH=32DP,∵3PD+2PB=232PD+PB=2(HP+PB),∴当点H,点P,点B共线时,HP+PB有最小值,即3PD+2PB有最小值,且最小值为2BN的值.∵7.A本题结合正切的定义,利用几何网格图进行分析,属于数形结合思想.故选A.模型归纳α和β是两个锐角,α+β=45°、tanα=12、tanβ=13中,8.A解法一(利用“半角”模型):如图,延长FD到G,使DG=BE,连接CG,EF.四边形ABCD为正方形,在△BCE与△DCG中,CB=CD,∠CBE=∠CDG,BE=DG,∴△BCE≌△DCG(SAS),∴CG=CE,∠DCG=∠BCE,∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠BCE+∠DCF=45°,在△GCF与△ECF中,GC=EC,∠GCF=∠ECF,CF=CF,∴△GCF≌△ECF(SAS),∴GF=EF,∵CE=35,CB=6,解法二(利用“12345”模型):∵CE=35,CB=6,∴BE=CE2-BC2=(35)2-62=3,∴tan∠BCE=BEBC=369.解析(1)设A(t,3t-9),则OM=t,AM=3t-9,∵OA=5,∴t2+(3t-9)2=52,解得t=4或t=1.4,∴A(4,3)或A(1.4,-4.8)(不合题意,舍去),把A(4,3)代入y=mx,得3=m4,∴反比例函数的解析式为y=12x(2)在y=3x-9中,令y=0,得0=3x-9,解得x=3,∴B(3,0),∴OB=3.由(1)知A(4,3),∴OM=4,AM=3,∴BM=OM-OB=4-3=1,∴tan∠BAM=BMAM∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,∴∠MAN=90°,∵∠BAE=45°,∴∠BAM+∠NAE=45°.由当α+β=45°时,若tanα=13,则tanβ=1tan∠NAE=12(3)由(2)知tan∠NAE=12∵A(4,3),∴AN=4,ON=3,∴NE4=1∴OE=ON-NE=3-2=1,∴E(0,1),设直线AE的解析式为y=kx+b,把A(4,3),E(0,1)代入,得4∴直线AE的解析式为y=1210.17解析如图,在AB上截取AQ=1,连接AP,PQ,CQ,∵点E,F分别是边