西工大、西交大自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型-2

控制系统的结构图(blockdiagram)是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形，表示了系统中各变量间的因果关系以及对各变量所进行的运算。通过对系统结构图进行等效变换（equivalenttransform）后，可求出系统的传递函数。控制系统的结构图是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。控制系统的结构图概述2-3控制系统的结构图与信号流图

1信号线：信号线是带有箭头的直线。箭头表示信号的流向。在直线上可写出信号的时间函数或是其拉氏变换。一系统结构图的组成2引出点（或测量点）：引出点表示把一路信号分两路或多路引出的位置。从同一位置引出的信号彼此间在数值和性质方面完全相同。

3比较点（或综合点）：

比较点表示对两个以上的信号进行加减运算，“＋”号表示相加，“－”号表示相减。通常情况下，“＋”号可省略不写。

4方框（或环节）：方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。显然，方框的输出量等于方框的输入变量与传递函数的乘积，即：例：已知速度控制系统如下图所示，试绘制速度控制系统的结构图。SM负载TG功率放大器速度控制系统二绘制控制系统结构图解：系统由比较电路、放大器、电动机、减速器、测速发电机等组成。SM负载TG功率放大器速度控制系统速度控制系统方块图如下输出量

比较元件

放大元件

执行元件

被控对象

测量元件输入量解：系统由比较电路、放大器、电动机、减速器、测速发电机等组成。

首先考虑负载效应分别列写速度控制系统的各元部件的运动方程，并在零初始条件下，进行拉氏变换，求得传递函数，并用方框来表示：(1)运算放大器1：(2)运算放大器2：(3)功率放大器：(4)直流电动机：(5)齿轮系：(6)测速发电机：按信号的流向把各方框图连接起来：由此得到速度控制系统的结构图。例题毕。绘制系统结构图的一般步骤1考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数；2用方框图表示上述方程；3根据各元部件的信号流向，依次用信号线将各方框连接起来，就得到了系统的结构图。系统结构图的特点

1系统结构图实质上是系统方块图与数学方程两者的结合2系统结构图补充了原理图所缺少的定量描述3系统结构图避免了纯数学的抽象运算4由系统结构图，可以更方便的求得系统的传递函数等效变换实际上对应于运动方程中消去中间变量的过程。所谓的“等效”是指输入量与输出量间的数学关系不变。等效简化也就是找出合并方框、简化方框图的规则。方框图简化的一般思路是：移动引出点或比较点，使方框间连接成为三种基本连接的一种，再按一定法则进行方框运算、合并。在简化的过程中应坚持“等效原则”，保持变换前后变量间关系保持等效。三结构图的等效变换和化简1串联方框的等效简化若前一方框的输出为后一方框的输入，则这两个方框为串联连接。若两个方框，有相同的输入量，输出量等于两个方框的代数和，则两方框为并联连接。2并联方框的等效简化若两个方框如下图所示形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”则表示相减，为负反馈。3反馈连接方框的等效简化称为闭环传递函数，是反馈连接方框的等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接。3反馈连接方框的等效简化引出点的前移：若要将引出点由方框后移至方框的前面，为保持信号的等效，要在移动后的信号线上加入一个引出点所越过的方框。4引出点的移动引出点的后移：若要将引出点由方框前面移至方框的后面，为保持信号的等效，要在移动后的信号线上加入一个引出点所越过的方框的倒数。4引出点的移动比较点的前移：若要将比较点由方框后移至方框的前面，为保持信号的等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越过的方框的倒数。5比较点的移动比较点的后移：若要将比较点由方框前移至方框的后面，为保持信号的等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越过的方框。5比较点的移动相邻的比较点可以互换或合并。（相邻是指两个比较点间没有引出点、方框等，直接由信号线连接）5比较点的移动例引出点的移动

A2A1A3C例综合点的移动错！无用！A1A2ab例作用分解四、自动控制系统的传递函数及其求取

任何一个自动控制系统，经过结构图的等效变换，可化为如下所示的典型形式：R(s)R(s)图中：R(s)--------控制信号（参考输入）

C(s)---------被控信号（输出）

ε(s)---------偏差信号

F(s)----------扰动信号

B(s)----------反馈信号（一）开环传递函数1、定义当反馈线断开，并使F(s)=0，系统工作在开环状态，将反馈信号B(s)的拉氏变换与偏差信号ε(s)拉氏变换之比定义为系统的开环传递函数。R(s)2、开环传递函数的求取若令：为前向通路传递函数，则：可见：系统开环传递函数Gk(s)等于前向通路传递函数G(s)=G1(s)G2(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积。C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)（二）闭环传递函数

1、定义：系统输出量C(s)的拉氏变换与系统输入量

R(s)的拉氏变换之比定义为系统的闭环传递函数。

系统的闭环传递函数分为对控制量的闭环传递函数和对扰动量的闭环传递函数。

对控制量的闭环传递函数记为：

对扰动量的闭环传递函数记为：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)2、对控制量r(t)的闭环传递函数的求取令f(t)=0对单位反馈系统，H(s)=1有：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)3、对扰动量f(t)的闭环传递函数фf(t)的求取

此时令r(t)=0，为了求取方便，可将系统结构图变形，画为：G2(s)H(s)-1G1(s)F(s)R(s)=0C(s)单位反馈系统H(s)=1,有4、系统的输出量当系统同时存在控制量（参考输入）r(t)和扰动量f(t)时，应用叠加原理，得：其中Cr(s)=ф(s)R(s)为系统单独在r(t)作用下的输出；

Cf(s)=фf(s)F(s)为系统单独在f(t)作用下的输出。C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)例：已知系统结构图如图所示，试求系统的传递函

数和。解：可应用线性叠加原理，首先令，则系统方框图可表示为：

化简内回路：得到：

-1再令，则系统方框图可表示为：

再令，则系统方框图可表示为：可将方框和方框间的比较点后移至方框和方框间：再化简内回路

可将方框后的比较点后移至主通道上：再化简内回路得到：最后可得系统的传递函数：例题毕。可与原结构图相比较（三）系统的偏（误）差传递函数

1、定义

系统偏差量的拉氏变换ζ(s)与系统输入信号的拉氏变换R(s)(或F(s))之比，定义为系统的偏（误）差传递函数。

根据输入信号的不同，也应把系统偏差传递函数分为对控制量（参考输入)的偏差传递函数，记为：和对被扰动量的偏差传递函数，记为：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)2、对控制信号（参考输入）r(t)的偏差传递函数的求取

为求取方便，可将系统典型结构图变形为如下形式：

H(s)G2(s)H(s)R(s)ε(s)F(s)C(s)此时令f(t)=0注意：上式只适用于单位反馈系统。单位反馈时，3、对扰动信号f(t)的偏差传递函数此时令r(t)=0单位反馈时，H(s)=1,可得C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)4、系统的偏差量根据叠加原理，有：其中：为在r(t)单独作用下的偏差；为在f(t)单独作用下的偏差。（四）系统的闭环特征方程式闭环传递函数分母都相同，均为D(s)=1+G(s)H(s)，称为系统的闭环特征多项式；方程式D(s)=0称为系统的闭环特征方程式，其根称为系统的闭环特征根，即为闭环传递函数的极点。本章要求1学会列写常见元件（电路、电机、机械等）的数学模型；2学会列写一般自动控制系统的数学模型；

3牢固掌握传递函数的概念；

4熟练掌握自动控制系统结构图的简化，并会求取自动控制系统的各种传递函数；

*5了解自动控制系统的信号流图；并会用Mason公式求取系统的传递函数本章小结线性定常系统/元件数学模型微分方程传递函数结构图建立小偏差法线性化求解定义建立零极点分布与响应特性模型之间的联系结构图化简例1：对弹簧-阻尼器系统的建模问题

取A,B两点分别进行受力分析。对A点有对B点有将上两式拉氏变换例1：对弹簧-阻尼器系统的建模问题

已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数。附：matlab应用（一）1、matlab中传递