24.3.1　锐角三角函数（重点练）2021-2022学年九年级数学上册（华东师大版）

24.3.1锐角三角函数（重点练）一、单选题1．（2020·安徽九年级专题练习）如图，中，，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求出AC的长(用BC表示),然后根据正弦函数的定义求比值即可.【详解】解：在△ABC中,∠C=90,且c=2a,b==a,sinB===.故选D.【点睛】此题考查了三角函数的定义,在直角三角形中，角的正弦为对边比斜边.2．（2018·全国九年级单元测试），则锐角等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数余切cot60=可得答案.【详解】解:cotβ=,β为锐角,β=60.所以D选项是正确的.【点睛】本题主要考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.3．（2018·山东崂山·九年级期末）计算tan45°+cos60°的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.【详解】解:tan45+cos60=1+=.所以C选项是正确的.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.4．（2018·全国九年级单元测试）如果∠A是锐角，且sinA＝，那么cos(90°－∠A)等于()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据互为余角三角函数关系,解答即可．【详解】解：∵α为锐角,sinα＝,∴cos（90°α）=sinα=,故选A．【点睛】本题主要考查了互为余角的三角函数值,解决本题的关键是要熟记三角函数关系式.5．（2020·吉林长春·九年级）如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．mcosα B． C．msinα D．【答案】B【分析】根据余弦三角函数的定义,直接利用锐角三角函数关系得出cosα=,进而得出答案．【详解】解:由题意可得:cosα=,则AB=．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．6．（2020·山东临沂·九年级）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，此时恰好四边形AEHB为菱形，连接CH交FG于点M，则HM的长度为（）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】由旋转的性质得到AB=BE,根据菱形的性质得到AE=AB,推出△ABE是等边三角形,得到AB=6,AD=,根据三角函数的定义得到∠BAC=,求得AC⊥BE,推出C在对角线AH上,得到A,C,H共线,于是得到结论.【详解】解：如图连接AC交BE与O点，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF,AB=BE,四边形AEHB为菱形,AE=AB,AB=AE=BE,△ABE是等边三角形,AB=6,AD=,tan∠CAB=∠BAC=,AC⊥BE,C在对角线AH上,A,C,H共线,AO=OH=OC=BC=.∠COB=∠OBG=∠G=,四边形OBGM是矩形,OM=BG=BC=,HM=OHOM=故选A.【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质，矩形的性质及旋转的性质，需综合运用所学知识求解.7．（2019·重庆八中九年级月考）如图，地面上点A和点B之间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为=1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°．已知AM=8米，则BM大约为（）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.7【答案】B【分析】过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，利用坡比求出CG=8，所以EF=DE+DF=14，又∠B=40°，得BF===16.7，再求出BM=ABAM=AF+BFAM即可.【详解】如图，过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，∵AC=10，坡比为=1：0.75，∴CG=8，AG=6，∴EF=ED+DF=6+8=14，又∠B=40°，∴BF===16.7，又GM=AMAG=2，∴AF=AMFGGM=2，∴BM=ABAM=16.7+28=10.7，故选B.【点睛】此题主要考察坡比及正切函数的实际应用.8．（2019·浙江温州·中考模拟）如图，B是线段AP的中点，以AB为边构造菱形ABCD，连接PD．若tan∠BDP＝，AB＝13，则BD的长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】证明△CED∽△AEP，根据相似三角形对应边成比例得：=，设CE＝x，得AE＝2x，由三角函数得tan∠BDP＝tan∠ODE＝=，得OD＝x＝OB，由勾股定理列方程可得结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AP，AC⊥BD，CD＝AB，∴△CED∽△AEP，∴=，设CE＝x，∵B是AP的中点，∴AP＝2AB＝2CD，∴=，∴AE＝2x，∴AC＝3x，∴AO＝OC＝x，∴OE＝x﹣x＝x，∵AC⊥BD，∴∠DOE＝90°，tan∠BDP＝tan∠ODE＝=，∴OD＝x＝OB，Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2＝AO2+OB2，132＝x2+（x）2，x＝2，∴BD＝4．故选D．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．9．（2019·河北丰南·）如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点P作PA⊥x轴于A，利用求出OA，再根据勾股定理求出PA即可得到点P的坐标.【详解】过点P作PA⊥x轴于A，∵，∴，∴=4，∵点在第二象限，∴点P的坐标是（3,4）故选：B.【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点.10．（2019·内蒙古赤峰·中考模拟）如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E在边BC上,CE=3,F是CD延长线上一点,DF=4,连接DE、BF,若∠DEB=2∠F,则菱形ABCD的面积为()A．16 B．24 C．32 D．36【答案】C【分析】如图作∠BED的平分线EG交AD于G，GE的延长线交DC的延长线于H，作EK⊥CD于K，连接BD．设AB=x，CH=y．由△FBD∽△EHC，推出,即，由EC∥DG，，推出DG=DE=14，在Rt△ECK中，由∠ECK=60°，EC=6，可得CK=3，，在Rt△DEK中，求出DK即可解决问题．【详解】如图,作∠BED的平分线EG交AD于G,GE的延长线交DC的延长线于H,作EK⊥CD于K,连接BD.设AB=x,CH=y.∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴AB=AD=BD=BC=CD=x,△ABD,△BCD都是等边三角形.∵∠BED=2∠F,∠HEC=∠BEG=∠DEG,∴∠F=∠HEC.∵∠FDB=∠ECH=120°,∴△FBD∽△EHC,∴=,∴=.∵EC∥DG,∴∠DGE=∠BEG=∠DEG,∴DG=DE,∴===.∵CE=3,∴DG=7.在Rt△ECK中,∵∠ECK=60°,CE=3,sin∠ECK=,cos∠ECK=,∴EK=CE·sin60°=,CK=CE·cos60°=.∵在Rt△DKE中,由勾股定理得DK2+EK2=DE2,∴DK===,∴CD=CK+DK=+=8,∴S菱形ABCD=2S△BCD=2×CD2=32.【点睛】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．11．（2020·全国九年级期末）如图，中，，，，过点作于，过点作于，过点作于，这样继续作下去，线段（为正整数）等于（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形的正弦定理、余弦定理的公式可以求得、、、D3D4……，然后归纳这个数列的规律，可以得到的长度.【详解】，，；，，；，，；，，；根据规律可知，.【点睛】本题综合考查三角形的正弦定理公式和数列的规律.12．（2021·全国九年级专题练习）如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，由BD平分∠ABC证得四边形ABCD是菱形，利用DE⊥BD得到OC∥ED求出AC，根据▱ABCD面积为24求出BD，再由勾股定理求出BC，设CF＝x，则BF＝5+x，利用BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2求出x得到DF，即可求出答案.【详解】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵DE⊥BD，∴OC∥ED，∵DE＝6，∴OC＝，∴AC=6，∵ABCD的面积为24，∴，∴BD＝8，∴＝＝5，设CF＝x，则BF＝5+x，由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，解得x＝，∴DF＝，∴sin∠DCE＝．故选：A．【点睛】此题考查菱形的判定及性质，勾股定理，三角函数，是一道较难的四边形综合题.13．（2021·山东招远·九年级期末）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作，垂足为D则根据旋转性质可知，在中，所以故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．二、填空题14．（2021·广西兴宾·来宾城南初级中学九年级月考）将放置在的正方形网格中，顶点、、在格点上．则的值为______．【答案】【分析】直接连接，进而得出，再利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：如图所示：连接，，，，，，．故答案为：．．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．15．（2012·江苏锡山·中考模拟）在△ABC中∠C=90°，tanA=，则cosB=______【答案】0.5【解析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．解答：解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，设a=x，b=3x，则c=2x，∴cosB=a/c=0.5．故答案为0.5．16．（2019·全国）如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是___________．【答案】试题解析：连接BC，

根据勾股定理，可求得AB=，BC=，AC=，

根据勾股定理的逆定理，可得∠ABC=90°，

∴sin∠BAD=．17．（2019·舒城育才学校九年级开学考试）某同学沿坡比为1：3的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米.【答案】45【分析】首先利用坡比得∠A的度数,再利用直角三角形的性质得出答案.【详解】解：如图∵坡比为1：3,tanA=1∴∠A=30o∵AB=90米,∴BH=45米.故答案为:45.【点睛】本题要考查三角函数及其应用.18．（2018·全国九年级单元测试）在中，，，，则________，________．【答案】,【分析】先由勾股定理求出AB,再利用锐角三角函数的定义求解.【详解】解:在Rt△ABC中,∠C=90,AC=2,BC=1,AB===.tanB===2,sinA===.故答案为:2,.【点睛】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.19．（2018·江苏连云港·九年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则cos∠A＝_____．【答案】【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据余弦的定义计算即可．【详解】由勾股定理得：AB10，则cos∠A=．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．20．（2018·黑龙江牡丹江·九年级）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为_____．【答案】或【分析】由AB=6，AD=8，可得tan∠CAD=tan∠EAC=,由∠MEP=∠EAC，可得tan∠MEP=tan∠EAC=,在RT△MPE中，可求得ME、MP的值，可求得AP的长.【详解】解：如图：由AB=6，AD=8，可得AC=,tan∠CAD=，由AM：MC=2：3，可得AM=,过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F,可得在RT△AME中，ME=tan∠MAEAM=,由∠MEP=∠EAC，可得在RT△MPE中，MP=MEtan∠MEP=3，AP=AMMP=4=,或AP=AM+MP=4+=，故答案：或.【点睛】本题主要考查三角函数与矩形的综合，灵活运用三角函数的知识可得到解答.21．（2018·阜阳市第十五中学九年级期中）(1)若cosα=，α为锐角，则sinα=_______；(2)若tanα=2，则=_______．【答案】．【分析】(1)根据sin2α+cos2α=1，可求出sinα的值．(2)化简可得，代入即可得出答案．【详解】(1)∵sin2α+cos2α=1，cosα=，∴sin2α=．又∵α为锐角，∴sinα=．(2)=．故答案为：、．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，注意掌握据sin2α+cos2α=1，tanα=．22．（2018·山东长清·九年级期末）中，，，，则____．【答案】6.5【分析】直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=，∴，∴AB=6.5．故答案为6.5．【点睛】锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键．23．（2020·江苏常熟·九年级）如图，中，，，点在上（），将沿翻折，得到，交于点．当时，的值为______．【答案】【分析】由折叠性质可知，，进而可得，从而求出，作AH⊥BC，垂足为H，由等腰三角形性质和勾股定理可求AH=DH=5，进而可得CD=DE=7，由三角函数定义即可求得答案．【详解】解：作AH⊥BC，垂足为H，在中，，，∴，，由折叠性质可知：，，又∵，∴，又∵，∴，∴AH=DH=5，∴CD=CHDH=125=7，BD=12+5=17，又∵DE=CD=7，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、等腰三角形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识，利用三角形外角的性质证明和构造直角三角形是解题的关键．24．（2020·合肥市第四十五中学九年级）如图，在矩形中，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为，若，则的长为______【答案】或【分析】第一种情况：点F在矩形内部，根据题意，且，得到h1=6，h2=2，根据折叠的性质得到，根据相似比得到，，即可求解AE；第二种情况，点F在BC下方，根据题意求得h1=12，h2=4，然后在中应用勾股定理求得BJ=，即，因此，根据含角直角三角形的边角关系或锐角三角函数即可求解EF，即AE．【详解】（1）点F在矩形内部根据题意，做于点H，于点J，如下图：由题意得，解得h1=6，h2=2∵将沿折叠，使得点落在点处又∵∴∴∴∴，EF=∴AE=（2）点F在矩形外部，即在BC下方，如图所示根据题意，做于点H，交BE于点I，交BC于点J，此时FH=h1，FJ=h2，如下图：由题意得，解得h1=12，h2=4，∵将沿折叠，使得点落在点处∴BF=AB=8∴在中，，∴∴又∵FH=12∴∴AE=故答案为或．【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，和三角函数，判断出是本题的关键．三、解答题25．（2020·山西）（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）3；（2）1【分析】（1）先计算各个部分，然后再进行加减运算；（2）先利用平方差和完全平方公式化简减号右边的式子，再与减号左边的式子进行化简即可．【详解】（1）原式；（2）原式＝1．【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的化简，特殊角的三角函数值．（1）掌握二次根式、负整数指数幂运算、绝对值、三角函数的知识点是解答本题的关键．（2）掌握分式化简的方法是解答本题的关键．26．（2021·四川锦江·九年级期末）（1）计算：﹣tan60°+（）﹣1﹣|1﹣2cos30°|．（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【答案】（1）3；（2）x1＝2+，x2＝2﹣．【分析】（1）先进行二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可求解；

（2）用配方法解答即可．【详解】解：（1）﹣tan60°+（）﹣1﹣|1﹣2cos30°|＝2﹣+2﹣|1﹣2×|＝2﹣+2+（1﹣）＝3；（2）x2﹣4x﹣1＝0，移项，得x2﹣4x＝1，配方，得x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，解得x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．【点睛】（1）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等知识点的运算．

（2）本题考查了解一元二次方程配方法，熟悉配方法的步骤是解题的关键．27．（2020·甘肃甘州·大成中学九年级月考）计算：（1）2cos230°﹣2sin60°•cos45°；（2）【答案】（1）；（2）12．【分析】将三角函数特殊值代入即可求解．将三角函数特殊值代入，化简求解．【详解】解：（1）原式＝2×（）2﹣2××＝；（2）原式＝﹣＝﹣＝﹣（+1）＝1﹣2．【点睛】本题考查三角函数特殊值代入化简求值，属于经典题．28．（2021·全国）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．【答案】（1）（2，4）（2）（3）（0,4）【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．【详解】解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．点D的坐标为；(2)如图所示：根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．故(3)如图所示：过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),故点F的坐标为(0,4)．【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．29．（2020·首都师范大学附属中学九年级月考）如图，在△ABC中，D为AB中点，过点D作DF//BC交AC于点E，且DE=EF，连接AF，CF，CD．（1）求证：四边形ADCF