河北省衡水中学高三第十五次模拟考试数学（文）试题

2017—2018学年度下学期高三年级十五模考试衡水中学数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），∴∁RA=（﹣∞，1]，故选：B．2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】∵，∴∴∴复数的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限故选：D3.若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴，故选：C．4.《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】甲、乙两人从和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有（种）等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有（种）∴所求概率为:故选：B5.已知椭圆的离心率为，则实数等于（）A.2B.2或C.2或6D.2或8【答案】D【解析】若焦点在轴时，，根据，即，焦点在轴时，，即，所以等于或8，故选D.6.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体。其直观图如下所示：其表面积S=2×π⋅12+2××2×1+π×2×1+(++2)×2−2×1=，故选：B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，下列程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，的值为多项式的系数，由2018，2017…直到1，由程序框图可知，输出框中“”处应该填入．故选C．8.已知，则下列选项中错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，当时，,即，∴，，成立，此时，∴故选：D9.已知等差数列的前项和为，“，是方程的两根”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，是方程的两根∴，∴+∴∴充分性具备；反之，不一定成立.∴“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件故选：A10.已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】直线y=k（x﹣1）经过双曲线的右焦点，∴△AF1B的周长为4a+2|AB|，∵，∴，即：，即，，解得∴双曲线离心率的取值范围是故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）==0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=ex，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能中抽取容量为20的样本，现将这160部智能随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是__________．【答案】002【解析】由系统抽样法知抽取的20的样本的编号可视为公差为8的等差数列，设首项为，又∴，∴∴第1组中用抽签的方法确定的号码是002故答案为：00214.已知，，如果与的夹角为直角，则__________．【答案】【解析】∵，，且与的夹角为直角，∴，解得：∴，∴故答案为：15.已知实数满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】作出不等式表示的平面区域（如图示：阴影部分）：其中，即表示可行域上的动点与定点连线的斜率，最大值为∴的最大值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16.在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积等于__________．【答案】【解析】条件即为，由余弦定理得，所以得，又为锐角，所以．又，所以，得，故．在中，由正弦定理得，所以．故的面积．答案：三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）点都在直线上可得，，利用递推关系可得：，再利用等比数列的通项公式即可得出．

（2）由，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．试题解析：（1）因为点,在直线上，所以，当时，，两式相减得，即，，又当时，，所以是首项，公比的等比数列，数列的通项公式为.证明：由（1）知，，则，．两式相减得.18.如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.（1）求证：；（2）若是线段上一点，，，三棱锥的体积为，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）由平面可知，又，∴平面，从而得证；（2）设，过点作于点，由（1）知平面，∴.，，解得，即可得到比值.试题解析：（1）∵平面，平面∴，在直三棱柱中易知平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）设，过点作于点，由（1）知平面，∴.∵，∴，，∴.∵平面，其垂足落在直线上，∴，∵，，，在中，，又，∴，在中，，∴.又三棱锥的体积为，∴，解得.∴，∴.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某印刷厂为了研究单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.①完成下表（计算结果精确到0.1）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.【答案】(1)①.答案见解析；②.答案见解析；(2)33360元.【解析】试题分析：（1）（i）计算对应的数值，填表即可；（ii）计算模型甲、模型乙的残差平方和，比较即可得出结论；（2）计算二次印刷时的成本，求出对应利润值即可．试题解析：（1）经计算，可得下表：②，，，故模型乙的拟合效果更好；（2）二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元）故印刷总成本为16640（元），印刷利润33360元20.已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】(1)；(2)答案见解析.【试题解析】（1）设所求椭圆方程为，由题意知，①设直线与椭圆的两个交点为，弦的中点为，由，两式相减得：，两边同除以，得，即.因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，所以，，所以，即，②由①②可得，所以所求椭圆的方程为.（2）设,的中点为，联立，消可得：，此时，即①又，，为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知,即整理可得：②由①②可得，，设到直线的距离为，则，当的面积取最大值1，此时∴直线方程为.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查利用点差法来解有关中点弦的问题，考查了根与系数关系，和类似二次函数求最值的方法.利用点差法时，首先设出两个交点的坐标，然后代入椭圆方程内，两式相减，化简成一部分是斜率，一部分是中点的式子，将已知代入即可.21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)单调递增区间为和，单调减区间为；(2)答案见解析.【解析】试题分析：求得函数f（x）的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间；（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“，恒成立”.即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．试题解析：（1）函数的定义域为，1）当时，由得，或，由得，故函数的单调递增区间为和，单调减区间为2）当时，，的单调增区间为（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“，恒成立”.即可转化为恒成立.令，则只需在恒成立即可，，当时，在时，，在时，的最小值为，由得，故当时，恒成立，当时，，在不能恒成立，当时，取，有，在不能恒成立，综上所述，即时，至少有一个，使成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系中，直线.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线的极坐标方程为，.（1）求曲线的参数方程；（2）求曲线上一点到直线的距离的最小值及此时点的坐标.【答案】(1)（为参数且）；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)把曲线的极坐标方程化为普通方程，进而转化为曲线的参数方程；(2)设，利用点到直线距离表示目标函数，结合正弦型函数的图象与性质求得最小值及此时点的坐标.试题解析：（1）曲线，可化为，由，得：，∵，∴从而曲线的直角坐标方程为