（人教版）2021年新高二物理暑假讲义-第一讲 曲线运动

【暑假辅导班】2021年新高二物理暑假精品课程(人教版)

第一讲曲线运动

【基础知识梳理】

曲线运动

1.曲线运动的位移

(1)描述曲线运动时要用到位移和速度两个物理量。

(2)曲线运动的位移的方向不断变化，需要采用平面直角坐标系,用位移在坐标轴方向的分矢量来代表

它。

2.曲线运动的速度

(1)质点做曲线运动时，速度方向是时刻改变的。质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。

(2)曲线运动是变速运动

①速度是矢量，它既有大小，又有方向。不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变,就表

示速度发生了变化，也就具有了加速度。

②在曲线运动中，速度的方向是不断变化的，所以曲线运动是变速运动。

(3)速度是矢量，可以用它在相互垂直的两个方向的分矢量来表示，这两个分矢量叫做分速度。

3.运动描述的实例

(1)蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为力，玻璃管向右匀速移动的速度设为也。

从蜡块开始运动的时刻计时，在时刻h蜡块的位置户可以用它的x、y两个坐标表示，x=©,y=也。

(2)蜡块的速度：v=.而+库,方向满足tan。三。

(3)蜡块的运动轨迹：)，=中方是一条过原点的直线。

4.物体做曲线运动的条件

(1)动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时,物体做曲线运动。

(2)运动学角度：当物体的加速度方向与它的速度方向不在同一直线上时,物体做曲线运动。

5.运动的合成与分解

(1)合运动和分运动：一个物体同时参与几个运动时，那么物体的实际运动就是合运动,这几种运动就

是分运动。

(2)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成;已知合运动求分运动，叫运动的分解。

(3)运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则(或三角

虺定则)；合运动和分运动可以相互替代，具有等效性。

平抛运动

1.抛体运动

(1)定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动。

(2)性质：由于做抛体运动的物体只受重力，故抛体运动是匀变速运动。

2.平抛运动

(1)定义：初速度沿水平方向的抛体运动。

(2)特点：①初速度沿水平方向:②只受重力作用。

(3)性质：由于做平抛运动的物体只受重力作用，且初速度与合外力(重力)方向不共线，故平抛运动是匀

变速曲线运动。可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。

(4)平抛运动的速度(如图甲所示)

①水平方向：%=羽。

②竖直方向：力=包。

大小：v川W+#=+g2产

③合速度，

方向：tand=£=&》e是v与水平方向的夹角)

(5)平抛运动的位移(如图乙所示)

①水平方向：X^VQto

②竖直方向：产

大小：5=杼：/+k

③合位移＜

方向：tana=§=膘"(a是s与水平方向的夹角)

(6)平抛运动的轨迹：由X=1W，y=\gt2,得了=泰，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。

3.斜抛运动

(1)定义：如果物体被抛出时的速度vo不沿水平方向，而是沿斜上方或斜工方，且只受重力的作用,这

样的抛体运动称为斜抛运动。

(2)性质

由于做斜抛运动的物体只受重力，且初速度与合外力不共线，故斜抛运动是匀变速曲线运动。斜抛运

动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。

(3)规律(以斜上抛运动为例，如图丙所示，其中。为vo与水平方向的夹角)

水平方向：VOx=^VoCOS0,X=§Vo/COS0o

竖直方向：VQy~Mvosin^,y=翱vofsin。一/2。

圆周运动

1.线速度

(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值，丫=辞。

(2)意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢。

(3)方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切,与半径垂直。

(4)匀速圆周运动

①定义：沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。

②性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动,匀速是指速率不变。

2.角速度

(1)定义：物体做圆周运动转过的色度与所用时间的比值，。=詈。

(2)角速度是宏量。

(3)意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。

(4)单位

①角的单位：弧长与半径的比值表示角的大小,称为弧度，符号：rado

②角速度的单位：弧度每秒，符号是rad/s或ra&sl

3.周期和转速

(1)周期7：做圆周运动的物体转过一周所用的蛔，单位：秒⑸。

(2)转速〃：单位时间内转过的圈数，单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)。

(3)周期和转速的关系：7=3”单位是r/s)。

(4)周期和角速度的关系：T磊

4.线速度与角速度的关系

(1)在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。

(2)公式：v=coro

5.描述圆周运动的物理量及其关系汇总

国际单位制各物理量

物理量定义联系

单位(符号)在图中示意

米每秒

线速度

(m/s)都是描述

弧度每秒圆周运动

角速度

山一后(rad/s)快慢的物

理量,

周期T=—秒(S)

nv=cur=

1o竿=2芥/厂

频率/一亍赫兹(Hz)

二27r尸〃

__a>转每

转速r

秒(r/s)

注意：由丫=/■。知，i—定时，v0c3v一定时，。一定时，丫8「。

向心加速度

1.速度的变化量

速度的变化量是指物体速度的增量，也叫速度变化。

速度的变化量是矢量,有大小，也有方向。其运算规律遵循平行四边形定则(或三角形定则)。

2.对圆周运动中加速度的认识

圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动。必定有加速度。

光滑桌面上的小球由于

地球绕太阳做(近似

实例细线的牵弓I.绕桌面上

的)匀速圆周运动

的图钉做匀速圆周运动

地球受太阳的引力,小球受重力、支持力、

受力

方向指向画太阳•即拉力三个力，合力总是

分析

地球轨迹的画圆心指向匝1圆心

加速度由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力

分析方向相同•指向豳圆心

3.向心加速度

(1)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

(2)方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。向心加速度的方向时

刻在改变。

(3)大小：/=耳£。根据V=可得小=。2人

(4)作用效果：向心加速度只改变速度的左回，不改变速度的大小。

(5)物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量,线速度方向变化的快慢体现了向心加

速度的大小。

向心力

L向心力

(1)定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向性圆心的合力，这个合力叫做

向心力。

(2)方向：始终沿着半径指向圆心,与线速度方向垂直。

v2

(3)表达式：①居=〃rp②吊=侬立。

(4)向心力是根据力的作用效果来命名的,凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。

2.变速圆周运动和一般的曲线运动

(1)变速圆周运动：变速圆周运动所受合外力产生两个方面的效果，如图所示.

①跟圆周相切的分力居：此分力产生切向加速度为,此加速度描述线速度大小变化的快慢。

②指向圆心的分力吊：此分力产生向心加速度，,此加速度只改变速度的方向。

(2)-■般的曲线运动的处理方法

①一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。

②一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看做一小段圆弧。这样，在分析

质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。

生活中的圆周运动

1.铁路的弯道

(1)运动特点：火车在弯道上的运动可看做圆周运动，因而具有向心加速度,由于其质量巨大，需要很置

人的向心力。

(2)轨道设计：转弯处外轨略高(选填“高”或"低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力人的方向是

斜向弯道内侧,它与重力的合力指向圆心。若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由支

持力和重力的合力来提供。

2.拱形桥

汽车过凸形桥汽车过凹形桥

竖直八

方向1

受力

分析mgmg

2

向心力Fn=|081FN-mg=m彳

对桥22

=l09l/??g-in—

的压力

续表

汽车过凸形桥汽车过凹形桥

汽车对桥的压力皿h汽车对桥的压力

王汽车的重力，而且汽圜大于汽车的重力,

结论

车速度越大，对桥的压而且汽车速度越大，

力⑫越小对桥的压力囤越大

3.航天器中的失重现象

(1)向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，侬二氐=，♦，

所以故宇航员处于失重状态。

(2)完全失重状态：当口=49时，座舱对宇航员的支持力尺=0,宇航员处于完全失重状态。

4.离心运动

(1)定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐逝远离圆心的运动。

(2)原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需的向心力。

(3)应用：洗衣机的脱水筒,制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等。

(4)危害：汽车转弯时，若最大静摩擦力不足以提供所需的向心力,汽车会做离心运动而造成事故。高

速转动的砂轮、飞轮，若超过最大转速，会做离心运动致使破裂，造成事故。

【模型考点剖析】

一、小船渡河模型

1.模型构建

(1)将船实际的运动看成船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。

“静水

&外水cosB

(2)如图所示，v水表示水流速度，vm水表示船在静水中的速度，将船的速度丫静水沿平行于河岸和垂直

于河岸方向正交分解，则v加一vm木cosJ为船实际上沿水流方向的运动速度，忆=vm，ksin。为船在垂直于河

岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。

2.科学推理

(1)渡河时间最短问题

渡河时间仅由va水垂直于河岸的分量以决定，即为河宽)，与v水无关。要使渡河时间最短，应

使船在垂直河岸方向的速度最大，如图所示，当sin9=l,即v热垂直于河岸时，渡河所用时间最短，最短

时间为，=包，与丫水无关。1一二

(2)渡河位移最小问题」-

当时，渡河的最小位移即河的宽度小如图所示，为了使渡河位移等于河宽d,这时船头应指

向河的上游，并与河岸成一定的角度仇使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时-----；------r6»=0,即

cos0^—,渡河时间M'、2*]

【解题技巧】

小船渡河问题要注意三点

(1)研究小船渡河时间时一常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解.

(2)分析小船速度时t可画出小船的速度分解图进行分析.

(3)研窕小船渡河位移时一要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图.

二、绳联物体模型

1.建立“关联物体''模型

物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示。

由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。

2.分解细绳末端速度

(1)分解依据：物体的实际运动就是合运动。

(2)分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大

小相同列方程求解。

(3)分解结果：把甲、乙两图的速度分解，如图丙、丁所示。

丙T

【解题技巧】

“关联物体”速度的分解

(1)小船的实际运动为合运动，此运动产生两个效果，一是使绳子沿自身方向向上收缩，二是使与船

接触的绳有沿与绳垂直方向向下摆动的趋势。

(2)关联物体速度的分析思路

三、火车转弯模型

1.模型构建

(1)火车车轮的特点：火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个

接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图所示。

(2)圆周平面的特点：弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹

在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。

2.模型分析

(1)向心力来源分析：火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力

和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小尸=〃吆tan。。

(2)规定速度分析：若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则机gtan6=〃r卷，可承死=

NgRtan6(R为弯道半径，。为轨道所在平面与水平面的夹角，w为转弯处的规定速度)

(3)轨道压力分析

向心力由重力和弹力的合力

=")一提供,火车对内外轨无挤压

>q-*|外轨道对火车轮有侧压力

<功fI内轨道对火车轮有侧压力

四、汽车过拱形桥模型

1.模型构建

如图所示，汽车分别经过凸形桥和凹形桥，设汽车质量为闭桥面圆弧半径为r,汽车经过桥面最高或

最低点的速度为V。

2.模型分析

汽车过凸形桥汽车过凹形桥

FN

受力X

分析

V2V2

ing—F^=m-

以向心力方向为正方向

v2v2

Fz=mg一行

v2

牛顿第三定律F压=FN=mg-"7尸压=八="^+，町

v增大,尸H减小；当y增大到

讨论V增大，尸质增大

时，Fni=0

［注意1汽车在凸形桥的最高点处于失重状态，在凹形桥的最低点处于超重状态。

【真题分项演练】

一、运动的合成与分解

1、（2018•北京卷）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤

道上方200m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于

地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力"，该"力'’与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从

赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该"力''水平向西，则小球（）

A.到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零

B.到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零

C.落地点在抛出点东侧

D.落地点在抛出点西侧

【答案】D

【解析】AB、上升过程水平方向向西加速，在最高点竖宜方向上速度为零，水平方向上有向西的水平速

度，且有竖直向下的加速度，故AB错；

CD、下降过程向西减速，按照对称性落至地面时水平速度为0,整个过程都在向西运动，所以落点在抛

出点的西侧，故C错，D正确；

故选D

2、（2015全国2）由于卫星的发射场不在.赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同

步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上.空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。

已知同步卫星的环绕速度约为3.1x10%,某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55xl03/s,此时卫星的高

度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30。，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向

和大小约为（）

A.西偏北方向，1.9xl03m/sB.东偏南方向，1.9xl03m/s

C.西偏北方向，2.7xl（）3m/sD.东偏南方向，2.7xl03m/s

【答案】B

【解析】根据运动矢量性的特点，如图所示，结合余弦定理可得:

Av=+v[-2V]V2.COS30=1.9X]0%/S

3、（2013江苏）.如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B,分别落在地面上的M、N点，两球运动的

最大高度相同。空气阻力不计，则（）

A.B的加速度比A的大

B.B的飞行时间比A的长

C.B在最高点的速度比A在最高点的大

D.B在落地时的速度比A在落地时的大

A

【答案】CD

【解析】由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向

1,

做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度；设上升的最大高度为h,在下落过程，由/z=—gd,可

知卜落时间Z=J"，根据运动的对称性可知，两球上升时间和卜落时间相等，故两小球的运动时间相等;

Vg

由x=可知匕H<%；由片=2g/i,可知落地时，竖直方向的速度匕4=%,再由丫="：+',

可知B在落地时的速度比A在落地时的大，所以正确选项为C、Do

4、（2014•四川卷）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河，去程时船

头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时间的比值为火,船在静水中的速度

大小相同，则小船在静水中的速度大小为（）

kvykvv

\1玄一1\jl~lryjl—k17^-1

【答案】B

【解析】设河岸宽为d,船速为“，则根据渡河时间关系得W解得〃=咨三，所以B选项

u\]u—\ryjl—lc

正确.

5、（2015广东）如果所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以

帆板为参照物（）

北

，帆船噌东

帆板

A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v

B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v

C.帆船朝南偏东45。方向航行，速度大小为、历V

D.帆船朝北偏东45。方向航行，速度大小为&v

【答案】D

【解析】此题考查相对速度以及不同参考系中速度转换，以帆板为参考素，求此参考系中帆船的速度，就

是求解帆船参对帆板的速度v.对板=丫肌-V板；通过矢量合成与分解，求得帆船相对帆板的速度朝北偏东

45°,大小为近v,选项A正确。

二、抛体运动

1、（2020江苏）如图所示，小球A、B分别从2/和/的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位

移分别为/和21。忽略空气阻力，则（）

匚

A.A和B的位移大小相等

B.A的运动时间是B的2倍

C.A的初速度是B的工

2

D.A末速度比B的大

【答案】AD

【解析】A.位移为初位置到末位置的有向线段，如图所示可得以=J-+（2/）2=75/

%=J『+（2/y=75/

A和B的位移大小相等，A正确；

B.平抛运动运动的时间由高度决定，即以气\~=比

则A的运动时间是B的五倍，B错误；

=甄，LB=，=而

C.平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则4A=,

2%

则A的初速度是B的电,C错误;

D.小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA=2^，vyB=国

所以可得以=业史，%=2屈=」幽即%>%，D正确。故选AD。

2、（2019全国2）如图（a）,在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度

和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向

的速度，其M图像如图（b）所示，八和12是他落在倾斜雪道上的时刻。贝1（）

图（b）

A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小

B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大

C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大

D.竖直方向速度大小为0时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大

【答案】BD

【解析】A.由修图与x轴所围的面积代表物体的位移，观察图像可知第二次面枳大于等手第一次面积,

所以第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，A错；

B.两次都落在斜面上故合位移方向相同，由于第二次竖直方向下落距离大，故第二次水平方向位移大，

B对；

C.由于17斜率代表两次人在竖直方向的加速度大小，观察图像可知，第一次大、第二次小，故C错误

D.观察图像当物体的速度为vl时，比较两者的斜率大小从而确定该时刻二者的加速度大小；.结合

牛二定律由G/.二j%m可知，启勺3故D正确

3、(2018•北京卷)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤

道上方200m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于

地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力"，该"力'’与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从

赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球()

A.到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零

B.到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零

C.落地点在抛出点东侧

D.落地点在抛出点西侧

【答案】D

【解析】AB、上升过程水平方向向西加速，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向上有向西的水平速

度，且有竖直向下的加速度，故AB错；

CD、下降过程向西减速，按照对称性落至地面时水平速度为0,整个过程都在向西运动，所以落点在抛

出点的西侧，故C错，D正确；

故选D

V

4、(2018•全国3)在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v和2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在

该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的()

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】A

【解析】设甲球落至斜面时的速率为vl,乙落至斜面时的速率为v2,由平抛运动规律x=vt(1),y=|gl2

(2),设斜面倾角为0,由几何关系，tanO=y/x(3),联立1、2、3式可求得小球由抛出点到落至斜面的

时间为，=3--------(4),又,=gJ.(5),联立4、5式得；0=2%tan。(6),设小球落在斜面

上时得和速度大小为V合：（7）；代入后得％=+2/tar?6=%tan）（9+1；所

以小球落在斜面上速度大小的比等于其初速度的比故A正确：

5、（2017全国1）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。

速度较大的球越过球网，速度度较小的球没有越过球网；其原因是（）

A.速度度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B,速度度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C.速度度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D,速度度较大的球在下降相同时间间隔内下降的距离较大

【答案】C

【解析】速度度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少，所以下落的高度小，就容易越过网。

6、（2015四川）.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空

气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小（）

A.一样大B.水平抛的最大C.斜向上抛的最大D.斜向下抛的最大

【答案】A

【解析】三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，三球从同一位置落至同一水平地面时，设其下落高

度为h,并设小球的质量为m,根据动能定理有mgh=J加-或，解得小球的末速度大小为v=》£+2gh,

与小球的质量无关，即三球的末速度大小相等，故选项A正确。

7、（2015浙江）如图所示为足球球门，球门宽为3一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起,

将足球顶入球门的左下方死角（图中P点）。球员顶球点的高度为限足球做平抛运动（足球可看做质点,

忽略空气阻力）则（）

A足球位移大小x=+

B足球初速度的大小％=

I（r2\

C足球末速度的大小v="超----+52+4gh

丫2吠4）

D足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan6=3

2s

【答案】B

【解析】：根据几何知识可得足球的位移为X=J/?+s2+与，A错误；足球做平抛运动，在水平方向上

?=vot,在竖直方向上/=gg/，联立解得％=小得.（彳+$2）,故B对:

根据运动的合成可得足球末速度的大小口=旧了而'，结合/l=gg*，％=J/.g+s2）,联立解得

V=J卷（「■+/）+2g〃，故C错；足球初速度的方向与球门线的夹角等于足球平抛运动过程水平方向的

位移与球门线的夹角，故根据几何关系可知tan0=—,D错误；

8、（2013江苏）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B,分别落在地面上的M、N点，两球运动的

最大高度相同。空气阻力不计，则（）

A.B的加速度比A的大

B.B的飞行时间比A的长

C.B在最高点的速度比A在最高点的大

D.B在落地时的速度比A在落地时的大

【答案】CD

【解析】由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知水平方向做匀速直线运动，竖直方向做

1o

竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度；设上升的最大高度为h,在下落过程，由力=万/2,可知

[2h

下落时间，={1，根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，故两小球的运动时间相等；

由X=可知匕.4＜匕屋由*=2g〃，可知落地时，竖直方向的速度匕认=匕，8，再由丫=J.+彳，

可知B在落地时的速度比A在落地时的大，所以正确选项为C、Do

9、（2012•新课标理综）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中.

画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空

气阻力，则

A..a的飞行时间比b的长

B..b和c的飞行时间相同

C..a的水平速度比b的小

D..b的初速度比c的大

【答案】BD

【解析】根据平抛运动规律，a的飞行时间比b的短，a的水平速度比b的大，b和c的飞行时间相同，b

的初速度比c的大，选项AC错误BD正确。

10、(2020北京)无人机在距离水平地面高度〃处，以速度%水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力,

重力加速度为g。

(1)求包裹释放点到落地点的水平距离x;

(2)求包裹落地时的速度大小v；

(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为＞轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包

裹运动的轨迹方程。

【答案】(1)%栏;⑵jT+2g〃;(3)丫=亲/

yS。

1,

【解析】(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则=产

解得f=

水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为x==

(2)包裹落地时,竖直方向速度为匕=gf=

落地时速度为v=《V；+彳=旧+2gh

(3)包裹做平抛运动，分解位移x=%r，y=gg产

两式消去时间得包裹的轨迹方程为了=会g厂2

三、抛体运动的综合问题

1、（2020全国2）.如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽

度为3〃，其左边缘a点比右边缘b点高0.5人若摩托车经过a点时的动能为Ei,它会落到坑内c点。c•与“

的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为Ei,该摩托车恰能越过坑到达b点。争等于（）

Ei

【答案】B

【解析】有题意可知当在a点动能为Ei时，有E,=1/«v,2

根据平抛运动规律有=h=匕：

1,

当在a点时动能为Ei时，有E,=—mv-

2

根据平抛运动规律有：3//=v2t2

22

联立以上各式可解得；冬=18故选3。

耳

2、（2014全国2）如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为根

的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环

对轻杆拉力的大小为（）

A.Mg—5mgB.Mg+mgC.Mg+5mgD.Mg+10〃7g

【答案】C

【解析】小环在最低点时，对整体有7—(仞+，”)g=方，其中7为轻杆对大环的拉力；小环由最高处运动

到最低处由动能定理得，“gZRn/mv2-0,联立以上二式解得T=Mg+5mg,由牛顿第三定律知，大环对轻

杆拉力的大小为7T=T=Mg+5加g,C正确.

3、(2015重庆)同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如题8图所示的实验装置。图中水平放

置的底板上竖直地固定有M板和N板。M板上部有一半径为R的;圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，。

为最低点，。点处的切线水平，距底板高为H.N板上固定有三个圆环.将质量为阳的小球从P处静止释放,

小球运动至0飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距。水平距离为L处。不考虑空气阻力，重力

加速度为g.求：

(1)距Q水平距离为g的圆环中心到底板的高度；

(2)小球运动到。点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向；

(3)摩擦力对小球做的功.

£2

【答案】方向竖直

2HR

向下；

1,L1,

【解析】：(1)由平抛运动规律可知L=同理：万=%，h=Qgt：

,H„H3H

h=—H-----=

求得：4，则距离地面的高度为：44,

v=-=LF1,-mg-m-FN-mg+""

(2)t2H，对抛出点分析，由牛二定律：’R,解得：’2HR.

〃织+辿

由牛三定律得：FN与压力等大反向，所以大小也为2HR

2

mgR+Wf=-mv-0Wf=^^-mgR

(3)对PQ两点之间的运动由动能定理得：2，求得：4H

4、（2015四川）.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空

气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小（）

A.一样大B.水平抛的最大C.斜向上抛的最大D.斜向下抛的最大

【答案】A

【解析】：三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，三球从同一位置落至同一水平地面时，设其下落

高度为〃，并设小球的质量为机，根据动能定理有：g就，解得小球的末速度大小为：丫=

历砺，与小球的质量无关，即三球的末速度大小相等，故选项A正确。

5、（2015海南）如图，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧浦和抛物线儿组成，圆弧半径0a水

平，万点为抛物线顶点。已知/i=2m,,s=血〃？。取重力加速度大小g=10加/$2。

（1）一小环套在轨道上从〃点由静止滑下，当其在6c段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧

轨道的半径；

（2）若环从6点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。

【答案】（1）0.25m（2）2mls

【解析】（1）一小环套在从段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到6点时的速度，使

得小环套做平抛运动的轨迹与轨道从重合，故有s=①，%=：g/②，

从ab滑落过程中，根据动能定理可得加gR=上/n守③，联立三式可得/?=二=0.25加

24〃

（2）下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得，〃=④

因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于（1）问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角

2

相等，设为。，则根据平抛运动规律可知sin6=⑤，

根据运动的合成与分解可得sin0=&⑥

联立①②④⑤⑥可得煤平=普=2m/s

四、圆周运动的应用

1.（2020全国1）.如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10m,该同学和秋千踏板的总质量

约为50kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8m/s,此时每根绳子平

均承受的拉力约为（）

A.200NB.400NC.600ND.800N

【答案】B

2

【解析】对人在最低点进行受力分析，根据牛二定律，可得T=410N

r

即每根绳子拉力约为410N,故选B。

2.（2020北京）.在无风的环境，某人在高处释放静止的篮球，篮球竖直下落；如果先让篮球以一定的角速

度绕过球心的水平轴转动（如图）再释放，则篮球在向下掉落的过程中偏离竖直方向做曲线运动。其原因

是，转动的篮球在运动过程中除受重力外，还受到空气施加的阻力力和偏转力人。这两个力与篮球速度v的

关系大致为：力=攵,，方向与篮球运动方向相反；f2=k2v,方向与篮球运动方向垂直。下列说法正确

的是（）

A.卜、右是与篮球转动角速度无关的常量

B.篮球可回到原高度且角速度与释放时的角速度相同

C.人站得足够高，落地前篮球有可能向上运动

D.释放条件合适，篮球有可能在空中持续一段水平直线运动

【答案】C

【解析】A.篮球未转动时，篮球竖直下落，没有受到偏转力力的作用，而篮球转动时，将受到偏转力人的

作用，所以偏转力力=&u中的网与篮球转动角速度有关，故A错误；

B.空气阻力一直对篮球做负功，篮球的机械能将减小，篮球的角速度也将减小，所以篮球没有足够的能量

回到原高度，故B错误：

C.篮球下落过程中，其受力情况如下图所示

人=①

篮球下落过程中，由受力分析可知，随着速度不断增大，篮球受到力和力的合力沿竖直方向的分力可能比

重力大，可使篮球竖直方向的分速度减小为零或变成竖直向上，所以篮球可能向上运动，故c正确；

D.如果篮球的速度变成水平方向，则空气阻力的作用会使篮球速度减小，则篮球受到的偏转力人将变小，

不能保持人与重力持续等大反向，所以不可能在空中持续一段水平直线运动，故D错误。

故选Co

3.（2019江苏）6.如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动.座舱的质量为〃?，运动半

径为R,角速度大小为e重力加速度为g,则座舱（）

2nR

A.运动周期为丁

B.线速度的大小为

C.受摩天轮作用力的大小始终为mg

D.所受合力的大小始终为加—R

【答案】BD

【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式0=」，解得：T=」，故A错误；由圆周运动的线速度

TCD

与角速度的关系可知，v^coR,故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是

变力，不可能始终为叫，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：『n