人教版高中数学必修5-33《简单的线性规划（第1课时）》教学设计

3.3.2简单的线性规划问题（第1课时）

（名师：陈庚生）

【核心素养】

通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理

的能力.

【学习目标】

理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题.

【学习重点】

简单的二元线性规划问题.

【学习难点】

准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1阅读教材Pl—P4,思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是

什么?利用线性规划解决一些简单问题.

2.预习自测

1.不等式组1表示的平面区域是

[jr-y+2<0.

A

【知识点：简单的线性规划;

解：B

y<—x+2,

2.不等式组所景

y>0.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：D

x-y>0

3.若满足条件b+y-240的整点（x,y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都

y>a

是整数的点，则整数。的值为（）

A.—3B.-2C.-1D.0

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：C

（二）课堂设计

1.知识回顾

在平面直角坐标系中，直线/:Ax+8），+C=0将平面分成两部分，平面内的点分

为三类：

（1）直线上的点（x,y）的坐标满足：Ax+8y+C=0；

（2）直线一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足：Ax+By+C>0；

（3）直线另一侧的平面区域内的点（为y）的坐标满足：Ax+By+CvO.

即二元一次不等式Ar+By+C>0或4:+By+C<0在平面直角坐标系中表

示直线Av+By+C=0的某一侧所有点组成的平面区域，直线By+C=0叫

做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界

直线）.由几个不等式组成的不等式蛆所表示的平面区域，是各个不等式所表示

的平面区域的公共部分.

2.问题探究

问题探究一线性规划的含义

观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品

使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，

该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个8配件，按每天工作8小时

计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？

x+2y<8,

4x<16,

«4yW12,

x>0,

y>0.

想一想：在前一节二元一次不等式（组）与平面区域的学习中，如何将上述不等

式组表示成平面区域？

探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生

产安排利润最大？

想一想：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z,则如何表示它

们的关系？

上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最

大值是多少？

将2=变形为y=,这时直线斜率为,在y轴上

的截距为.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.

由于直线的斜率是确定的，说明截距平面内的点的坐标唯一确定.又因

3

71

为斜率为—士，因此当截距L2最大时，z取.因此，问题转化为当直

33

线）,=—2x+J_z与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P,

33

使直线经过P时截距之最大.

3

由图可以看出，当直线y=-gx+gz经过直线x=4与直线x+2y-8=0的

交点M（4,2）时，截距三最大，最大值为廿.此时2%+3y=14.所以，每天生产

33

甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.

想一想：什么是线性规划？

在上述问题中，我们将由变量”,y组成的不等式（组）成为线性约束条件；将

要求最值的函数，如z=2X+3y,称为

一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值，统称

为.

满足线性约束条件的解叫做,由可行解组成的集合叫

做，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做.

如上述问题中可行解（4,2）为最优解.

问题探究二不等式组表示的平面区域

%-y+5>0,

例1画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：

x<3.

（1）指出x,y的取值范围：（2）平面区域内有多少个整点？

解：在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐•数出；若数

目较大，则可分工="逐条分段统计.

解：（1）不等式x—y+520表示直线x—y+5=0上及右下方的点的集合.x

+代0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合3表示直线x=3上及左方

的点的集合.

x-y+5>0,

所以，不等式组x+yNO,表示的平面区域如图所示.

x<3.

结合图中可行域得>£[—3,8].

(2)由图形及不等式组知""笠5二

—2<x<3,且xGZ.

当x=3时，-3WyW8,有12个整点；

当x=2时，-2WyW7,有10个整点；

当x=l时，-1WyW6,有8个整点；

当x=0时，0WyW5,有6个整点；

当”=—1时，lWyW4,有4个整点；

当工=一2时，2Wy&3,有2个整点；

・•・平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).

变式迁移1：在平面直角坐标系中，有两个区域M、N,M是由三个不等式>20,

yWx和yW2—x确定的；N是随，变化的区域，它由不等式l(OWfWl)

所确定.设M、N的公共部分的面积为yw，则>«=.

y>0,

解：作出由不等式组组成的平面区域M,即AAOE表示的平面区域，

y<2—x.

当f=0时，/O)=-X1X1=-!-,当才=1时，/)=_1XIX1=L

2222

当0<7<1时，如图所不，所求面积为y(f)=SA4OE—S/\O8C—S/\FOE

=-X2Xl-i/2-l[2-(r+1)]2="?+/+-,

2222

即yw=—P+f+；，此时yu)=；，

综上可知人。=一尸+，+].

问题探究三线性规划的解决方法

活动一：求z=or+by型最值问题

x-4y<-3

例1、设z=2x+y,式中变量满足条件，3x+5y<25,求z的最值.

x>\

思路导析：解线性规划问题关键是准确的做出可行域，准确地理解z的几何意义.

对于目标函数为z=ar+勿，型时，要把目标函数等价转化成），=-+形式，

bb

这时Z可以看成是直线），=-色工+』2在），轴上截距的！倍，当b〉0时，截距越

bbb

大Z的值越大，截距越小Z的值越小；当力<0时,截距越大，的值越小，截距越

小z的值越大.

解：作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示

把z=2x+y变形为y=-2x+z,得到斜率为-2,

在y轴上的截距为z,随z变化的一组平行直线，由图可以看出，

当直线y=-2x+z经过可行域上的点A时，截距z最大；经过点B时，截距z最

小.

解方程组]:一丫+3二°八点坐标（5,2）

3x+5y-25=0

X—1

解方程组"八得B点坐标（1,1）

x-4y+3=0

所以Zg=2x5+2=12,Zmin=2xl+l=3.

规律总结：由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地做出可行域,

并且准确的理解z的几何意义，本题目标函数在y轴上的截距的最大值与z的最

大值是相对应的.

变式练习1、求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的小y满足约束条件

5x+3y<15,

,y<x+\,

x-5y>3.

解析：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线力+5)0在经过不等

式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(-2,-1)的直线所对应的f最小，

以经过点(2,口)的直线所对应的，最大.所以Zmm=3x(-2)+5x(-l)=-ll,

88

9

35

Z=X-+X1-7=

8814

活动二求z=ot-勿，型最值问题

例2、求z=3%-2y的最大值与最小值，使式中的用y满足约束条件

4x-5y+21>0

,x-3y+7V0.

2x+y-l<0

思路导析：确定目标函数z=3x-2y去最大值和最小值的几何意义.z的值随目标

函数直线在y轴上的截距的增大而减小.

解析：做出不等式组所表示的可行域，

y

如图所示阴影部分把目标函数z=3x-2y变形为y=3x-』z,得到斜率为3,

222

在y轴上的截距为-gz,随z变化的一组平行直线，令=平移直线时，

z的值随直线在y轴上的截距-；z的增大而减小.

由图可知，当直线经过可行域上的点B时，-，z最大，此时z最小；经过C点

2

时-，z最小，此时z最大.

2

解方程组[1-5)-21=0得8点坐标(_4/)，所Zmm=3x(-4)-2xl=-14.

[x-3y+7=0

解方程组【：一"+7"1点坐，所以Zm”=3x2-2x3=0.

[2x+y-l=0max

规律总结：上面解法是解线性规划问题的标准格式，关键是找准可行域，确定目

标函数z=3x-2y的最大值和最小值的几何意义.本题中的目标函数随目标函数

线在y轴上截距的增大而减小.因为目标函数值一般都在可行域的顶点上取的，

所以有时可求出各顶点坐标代入目标函数检验即可.但要注意线性目标函数的最

大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有可能有无数多

个.

y<2x

变式练习2、已知实数x、y满足求目标函数z=x-2y的最小值.

x<3

解析：画出满足不等式组的可行域如图,

目标函数化为：y=g%-z，画直线y=及其平行线,

当此直线经过点A时，一z的值最大，z的值最小，

A点坐标为(3,6),所以z的最小值为：3-2X6=-9

3.课堂总结

【知识梳理】

图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤

⑴作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中

过原点的那一条直线；

(2)平移一将I平行移动，以确定最优解的对应点的位置；

(3)求值一解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.

【重难点突破】

对线性目标函数的求法，分Z=+型与Z=4X-外型两类分别阐述，深刻理

解线性规划的含义.

⑴利用线性规划解题时，应严格分清直线的倾斜角度，根据线性目标函数的斜

率与约束条件中直线的斜率的大小，正确画出图形，利用图形求解.

(2)解线性规划问题的一般步骤是：第一，由线性约束条件画出可行域；第二，

令目标函数中的z为()得直线/o,平移出第三，求出最优解；第四，把最优解

代入目标函数，求出z的最值作答.

4.随堂检测

1.目标函数Z=-2x+3y,将其看成直线方程时，Z的意义是（）

A.该直线的纵截距B.该直线的纵截距的3倍

C.该直线的横截距D.该直线的横截距的3倍

【知识点：简单的线性规划】

解：B

”1，

2.设变量与y满足约束条件卜+y20,贝ijz=2%+y的最大值为（）

x-y-2<0,

A.-1B.1C.7D.8

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：C

什了<1,

3.若变量x,y满足约束条件上之1,则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）

y>0.

A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：B画出可行域如下图阴影部分所示.

画出直线2x+y=0,并向可行域方向移动，当直线经过点（1,0）时，z取最小值.当

直线经过点（2,0）时，Z取最大值.故Zmax=2x2+0=4,Zmin=2xl+0=2.

X>0,

4.若x,y满足约束条件，x+2yN3,则z=x—y的最大值是.

2x-Fy<3.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：0

x>0,

作出约束条件卜+2），之3,表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线z=x-y

2x+y<3.

z=x—），取得最大值0.

/x>0,

5.若羽y满足约束条件x+2y>3,则入一〉的取值范围是

\2x+><3,

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：［-3,0］记Z=x—则产X—Z,所以z为直线y=x—z在y轴上的截距的相

反数，画出不等式组表示的可行域如图中△A8C区域所示.结合图形可知，当

直线经过点8（1,1）时，x—y取得最大值0,当直线经过点C（0,3）时，y取得最

小值一3.

（三）课后作业

基础型自主突破

j<1»

1.若变量乂y满足约束条件<升》之0,则z=x—2y的最大值为（）

x—y—2<0.

A.4B.3C.2D.1

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

答案：B如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数z=、-2y经过x+y=O

与工一y-2=0的交点A(l,—1)时，取到最大值3.

2升”12,

2x+9y>36,,..,_,,口

2.变量小y满足下列条件esc,则n使z=3x+2y最小t的a，7）是（）

2x4-3>,=24,

x>0,yNO.

A.(4.5,3)B.(3,6)C.(9,2)D.(6,4)

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

x+y<5,

3.如图中阴影部分的点满足不等式组<2升yW6,在这些点中，使目标函数z=

x>0,y>0.

6x+8)，取得最大值的点的坐标是.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

答案：(0,5)

x-y—2<0,

4.设变量x,y满足约束条件,3x+y—620,则z=-2x+y的最小值为()

y<3.

A.-7B.-6C.-1D.2

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：A.可行域如图，平移直线y=2x至过点(5,3)时，z取得最小值一7.

5.若点(犬,y)位于曲线y=R与y=2所围成的封闭区域，则2x—y的最小值是()

A.-6B.-2C.0D.2

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：A

设z=2x—y,可行域如图阴影部分所示，当直线y=2x—z过点A时-，截距一z

最大，即z最小，所以最优解为(-2,2),Zmin=2x(—2)—2=—6.

6.若实数x,y满足叶〉20,则z=3"的值域是.

x<0.

【知识点：简单的线性规划，指数函数；数学思想：数形结合，转化与化归】

解：fl,9]

令£=x+2y,则丁=—作出可行域，平移直线丁=一；-

y

3

-3-2/-10K12'、、、4x

%-y+l=0-1卜

x+y=0

由图象知当直线经过。点时，r最小，当经过点0(0,1)时，，最大,

所以03出2,所以1心9,即2=3/2〉的值域是[1,9].

能力型师生共研

3「厂2«0,

7.设x,y满足约束条件<x—yNO,若目标函数z=ax+by(”>0,b>0)的最大值

x>Qy>0.

为4,则。+力的值为()

3«-y-2=0

C.4D.0

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解析：选C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z=or+

by(a>0,比>0)过点A(L1)时取最大值,所以a+b=4.

4x~y—\0<0,

8.设实数x,y满足条件“L2y+8N0,若目标函数z=ox+勿m>0,力>0)的最大

x>0>yNO.

值为12,则3+；的最小值为()

ab

A."7D.4

6-I

【知识点：简单的线性规划，基本不等式；数学思想：数形结合】

解：A由可行域可得，当x=4,>=6时，目标函数z=ox+by取得最大值，J

..…nnab..23,23、，ab、上+2+色2上+2=".

4〃+6b—12,BP—i—=1...—i—=(—i—),(-H—)=

32abab326ab66

3A^5>H_6>0,

9.若x,y满足条件,2x+3厂15<0,当且仅当x=y=3时，z=ox-y取得最小值,

y>0.

则实数a的取值范围是.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

73

解：画出可行域，如图，直线力-5y+6=0与2x—3y—15=0父于点

M(3,3),由目标函数z=ar—y,得y=or—z,纵截距为一z,当z最小时，一z

最大.欲使纵截距一z最大，则—2v〃v3.

35

x+y—3>0,

10.线性目标函数z=3x+2y,在线性约束条件<2L)，40,下取得最大值时的最

y<a.

优解只有一个，则实数。的取值范围是

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：［2,4-oo)

x+y-3>0,

作出线性约束条件<2Ly«0,所表示的可行域如图所示，因为取得最大值

y<a.

时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行,

根据图形及直线斜率可得实数。的取值范围是［2,+8).

探究型多维突破

11.在直角坐标系xOy中，已知点A（l,1）,BQ,3）,C（3,2）,点。（x,），）在△ABC

三边围成的区域（含边界）上.

⑴若底+说+寿=0,求|赤|;

（2）设分=:九存+几赤（加，w€R）,用x,y表示加一外并求加一力的最大值.

【知识点：简单的线性规划，平面向量；数学思想：数形结合，转化与化归，方

程思想】

解：（1）法一：

因为我+感+定=0,又或+彷+/=(Lx,l-y)+(2-x,3一刃+

~,f6~3x=0,人,fx=2,

(3-x,2-y)=(6-3x,6-3仍，所以<解得.

l6-3y=0n,3=2,

即分=(2,2),故|降=2/.

法二：

因为总+协+宓=0,

则（游-昨）+（苏一游）+（宓-赤）=0,

所以办=1（方+宓+走=（2,2）,

所以彷=2近

Q）

因为丽=加而+〃而，

所以(x,y)=(m+2〃，2川+〃),

x=m-\-2n

所以＜t

y=2m+几

两式相减得，m—n=y—x.

令y—x=r,由图知，当直线)，=x+f过点3(2,3)时，f取得最大值1,故相

一〃的最大值为1.

12.已知实数x,y满足则|2x+y—4|+|6—x—3y|的最大值是.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：15

因为f+)2Wl,所以2x+y-4V0,

6—x—3y>0,所以|2x+y—4|+|6—x—3y|=4—2%—y+6—x—3y=10—3x—4y.

令z=10—3x—4y,

如图，设OA与直线一3x—4)，=0垂直，所以直线OA的方程为)，=gx.

4

联立尸针得4一3,—3),

一+/”55

34

所以当z=10-3x-4y过点A时，z取最大值，zmax=10-3X(-1)-4x(--)

=15.

自助餐

'x+/C5

1.己知不等式组<x-y>l,则目标函数z=2y-x的最大值是()

y>0

A.1B.-1C.-5D.4

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：A

Jv<x»

2.若变量x,y满足约束条件什)，<1,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和

n,则m-n等于()

A.5B.6C.7D.8

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：B

x—y>—3,

x+2y<12,

3.若变量羽y满足约束条件<2升”12,则z=3x+4)，的最大值是()

x>0,

”0.

A.12B.26C.28D.33

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：C作出可行域如图五边形OABCO边界及其内部，作直线/o：3x+4y=0,

平移直线/()经可行域内点B时，z取最大值.

,x+2y=\2_

由《「f得8(4,4).

2x+y=12.

于是Zmax=3x4+4x4=28,故选C项.

x>0,

4.已知O为坐标原点，点M的坐标为(一2,1),在平面区域<上取一点

y>0.

N,则使取得最小值时，点N的坐标是()

A.(0,0)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,0)

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：B.作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，当MNA.y轴时，|MN]

取到最小值，即M最1）.

5.已知平面区域如图所示，z=〃tx+M〃2>0）在平面区域内取得最大值的最优解有

无数多个，则用的值为（）

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：B当直线,nr+），=z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解.

3卫

..._5_7._7_7

•k，AC=------=———»・・—m=———,0即n加=—.

5-1202020

产，

6.实数居y满足卜（〃6>1）,若目标函数z=x+），取得最大值4,则实数。的值

x—y<0.

为（）

3

A.4B.3C.2D.-

2

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：C作出可行域,

由题意可知可行域为AABC内部及边界，y=—x+z,则z的几何意义为直线在y

轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4,

此时A点坐标为(〃，。)，代入得4=〃+。=/，所以。=2.

x-y+1>0,

7.若X,>满足约束条件«在厂340,则z=3x—y的最小值为.

-3>0.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：一1画出可行域，如图所示，将直线y=3x—z移至点A(0,l)处直线在y

轴上截距最大，Zmin=3x()—1=—1.

5x+2y-18<0,

8.设变量1,y满足・2LyN0,若直线依一y+2=0经过该可行域，则2的最

x+y—3>0.

大值为.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：1

x+y-3>0,

9.线性目标函数z=3x+2y,在线性约束条件卜尸》40,下取得最大值时的最优