2023届高中数学三角函数、解三角形专题练习(含答案解析)

2023届高中数学三角函数、解三角形专题练习

第1练任意角和弧度制、三角函数的概念

基础对点练

考点一角及其表示

1.已知4=｛第一-象限角｝,8=｛锐角｝,C=｛小于90。的角｝,那么4,B,C的关系是（）

A.B=ARCB.BUC=B

C.AQB=BD.A=B=C

答案C

解析对于A选项，4C。除了锐角，还包括其他角，比如一330。，故A选项错误；

对于B选项，锐角是小于90。的角，所以BUC=C,故B选项错误；

对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确；

对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，故D选项错误.

2.（2022•南京模拟）已知角a是第三象限角，则角卷是（）

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角

C.第一或第三象限角

D.第二或第四象限角

答案D

解析方法一取a=220。，则卜110。，此时角与为第二象限角；取a=580。，则＞290。，

此时角与为第四象限角.

方法二如图，

先将各象限分成两等份，再从x轴正半轴起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四,

则标有三的区域即为角微的终边所在的区域，

故角豹第二或第四象限角.

3.以下命题正确的是（）

A.与30。终边相同的角的集合为{电弋+A360。,kwz）

B.4={a|a=A480°,kGZ],3={那=k90。,I£Z},则AG5

C.若&-360。<0<》360。+180。伏£Z）,则a为第一或第二象限角

D.终边在x轴上的角可表示为七360。次£@

答案B

解析恸6>=30。+&-360。，2WZ）,单位要保持一致，A不正确；

在B中，当左=2〃，〃仁Z时，£二〃480。，〃£Z,

.*.AQB,•'.B正确；

又C中，口为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，...C不正确;

显然D不正确，比如180。写不成上360。伏（=Z）的形式.

考点二弧度制及其应用

4.（2022・十堰模拟）如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮

合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，点

8转过的角的弧度是（）

nn八27r「57r

A%nB.2C.~D.不

答案B

解析由题意可知，点B转过的角的弧度是总><2冗=全

5.已知某扇形的周长是8cm,面积为4cm2,则该扇形的圆心角的弧度数是（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

2,+/=8,

r=2,故a=j=

解析设扇形的半径为rem,所对弧长为/cm,则有1>=4解得

/=4,

2.

6.工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某同学想用布料制作一面如图所示的扇面.已

知扇面展开的中心角为120°,外圆半径为20cm,内圆半径为10cm.则制作这样一面扇面需

要的布料为（）

10071,

AA.飞-cm-B.100兀cm2

、400几

C.400兀cm?D.13-cm

答案B

解析扇形的圆心角为120°=y,

大扇形的面积为gx号乂2。2=警5,

小扇形的面积为：X^X102=10071

3♦

400兀100n

所以制作这样一面扇面需要的布料为100兀(cm2).

33

考点三三角函数的概念

7.若a为第三象限角，则（)

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

答案C

所以兀+2E<av苧+2E(k£Z),

解析因为a为第三象限角,

可得2兀+4而〈2。〈3兀+4而伏£Z）,

所以勿是第一、二象限角，

所以sin2a>0,cos2a不确定.

8.（2022•牡丹江模拟）使lg（sin夕ccs⑨+«-cos的意义的0为（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

解析依题意，sin/osa>0且一cos

由sinOcos得sin0与cos0同号，则。为第一、三象限角,

由一cosJ20,即cosJW0知。为第二、三象限角或。角终边在y轴或者x轴的负半轴上,

所以。为第三象限角.

9.设角0的终边经过点P（—3,4）,那么sin0+2cos®等于（）

In1c2m2

A.gB.-qC..gD.§

答案C

44—33

解析根据三角函数定义知sinJ=]----—；=三,cos0=./,==—7,

V（-3）2+425-7（-3）2+425

所以原式=]+2X（_1）=一,.

3

10.已知角a的终边经过点P（—4,m）,且sina=一则m=.

答案一3

3

解析已知角a的终边经过点P（—4,m）,且sina=—亍

:.sin«=_/=====-T,显然〃2<0,

V（-4）2+w25

解得利=-3.

—能力提升练

11.如图，在RtZXPBO中，NPBO=90。,以。为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点4,若AB

平分△P80的面积，且N40B=a,则（）

A.tana=a

B.tana=2a

C.sina=2cosa

D.2sina=cosa

答案B

解析设扇形的半径为r,

则扇形的面积为夕M.

在Rt&BO中，尸8=rtana,aPBO的面积为nana,

由题意得展义rtana=2X]cM,Atana=2a.

12.已知角a是第二象限角，且卜。即=-cos1则角呼（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

解析因为角a是第二象限角，所以90。+々・360。<0<180。+0360。"£2),

所以45。+雨80。与<90。+%」80。(代Z),

当k是偶数时，设&=2〃(〃WZ),则45°+〃・360°q<90°+〃,360°(〃£Z),

此畸为第一象限角；

当人是奇数时，设2=2〃+l(〃£Z],则2250+小360°与v270°+〃.360°(〃£Z),

此时翱第三象限角，

综上所述，宗为第一象限角或第三象限角，

因为cosyl=-COST,所以cos^WO,所以多为第三象限角.

13.如图，在平面直角坐标系X。)，中，钝角a的终边与单位圆交于点B,且点B的纵坐标为

若将点B沿单位圆逆时针旋转方到大点A,则点A的坐标为.

将点8沿单位圆逆时针旋转f到达4点，

则点A的坐标为(cos(a+，)，sin(a+初，

BPA(—sina,cosa),

所以A(T，一粉

14.(2022・舒城模拟)矩形ABCD中，48=4,AO=3,将该矩形按照如图所示的位置放置在

直线AP上，然后不滑动的转动，当它转动一周时(4-A。叫做一次操作，则经过5次这样的

操作，顶点4经过的路线长等于.

Li-

ABAIP

答案30兀

解析由题意可知一次操作完成，顶点A经过的路线分别是以48为半径的（圆弧，AC为半

径的（圆弧，AD为半径的;圆弧，

所以完成一次操作A经过的路线长为（X2兀X4+（X2兀><5+（x2兀X3=6兀；

所以经过5次这样的操作，顶点A经过的路线长等于67rx5=30兀

第2练同角三角函数基本关系式及诱导公式

基础对点练

考点一同角三角函数基本关系式的应用

2

I.（2022•吕梁模拟）已知sina=亍sin2a<0,则cosa等于（）

A.毛—B.一卷—C.§D.—J

答案B

解析由二倍角公式得sin2a=2sinacosa,

因为sin2a<0等价于2sinacosa<0,又sina=7,

所以cosa<0,

2.如果sinx+cosx=g,且0<欢兀，那么tanx的值是（）

443

A.—§B.一1或一/

343

C.

答案A

解析将所给等式两边平方，得sinxcos尸一念12

V0<r<7t,

sinx>0,cosx<0,

49

(sinx—cosx)2=1—2sinxcos”=药

,.7

..sinx—cosx=§，

4

•nX--3

SI5,COSX=—7,

.-.tanx=-1

3.（2021・新高考全国I）若tan，=—2,则叫茶噜等于（）

6226

--c--

A.-5B.-55D.5

答案C

解析方法一因为tan夕=—2,所以角。的终边在第二或第四象限,

sin^(1+sinIff)sin仇sin6+cos0?

所以

sinC+cos®sin^4-cos0

=sin9(sinJ+cos0)

422

=sin2^+sin^cosT=y

.r-、ii,八sin仇1+sin20）sinasinJ+cos6)?

方法二（弦化切法）因为tan夕=-2,所以smo+ssJ

sin6+cos6

siM8+sin伏os8

=sin夕(sinJ+cos3)=

sirPO+cos2。

_tan)五+lan8_4-2_2

=l+tan26>=T+4=5-

方法三(正弦化余弦法)因为tan—2,所以sin0——2cos9.

sin口1+sin23sin贸sin6+cos6Q2

"sin^4-cos0sinO+cos9

八八।八sin2^+sinOQQS0

=疝笫油®+cos6)=/常叶。*，

4cos2®-2cos2。4—22

=4cos26»+cos2^=4+1=5'

考点二诱导公式的应用

4.（2022・贵阳模拟）已知sin（7t+A）=g,贝I]COS0+A）等于（）

2^/2八2\/2_11

A.-B.-—C.—TDq

答案D

解析由sin（兀+A）=§得一sin4=g,

即sinA=一

所以cos^+=—sinA=1.

5.（2022•南昌模拟）已知cosesin（兀+a）＜0,那么角,是（）

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角

C.第一或第三象限角

D.第一或第四象限角

答案c

解析•.,cosa・sin(7t+a)<0,

-cosa-sina<0.

cosa-sina>0,

因此角a是第一或第三象限角.

a）=3，那么cos停一a

6.已知sinl

2)

A.弓-B.-2C，2D.

答案D

解析因为si

所以

=—sin=-2-

考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

7.已知sin（7i+e）=一由cosa|孙，则。等于（）

兀「瓦一兀一冗

A.—7B.TC.7D.T

o303

答案D

解析由sin（兀+J）=一于cos仇

得一sin0=一由cos

则tan夕=小，

又IM与所以6=全

._a,1r兀r..cos(—a—7t)sin(2n4-a)tan(27t—a)

8.(2022•厂元模拟)已知cosa=?且一个衣。，则---------------------

答案一2位

解析:cosa=§,且—^<a<0,

Asina=-^l-(1)2=-2s

3，

.cos(-a-7t)sin(2兀+a)tan(27r-a)

sM(竽-,850+a)

—cosasina(—tana)sina

■:'=tana=

—cosa(—sina)cosa

=-2y/2.

9.下列化简正确的是.（填序号）

①tan（7t+l）=tan1；

sin(-ot)

®tan(360o-tt)-COS61

蟾£瑞=小；

④若8£停兀）,1—2sin(兀+8)sin(当一0

=sin<9—cos0.

答案①②④

解析对于①，lan(7i+l)=tan1,故①正确；

sin(—a)—sina一

对于②'tan(360°-a)=-tana=COSa,故②正确1t;

对于:吁二。-卜加-—3。,故③错误；

cos(7t+a)—cosa

对于④，1—2sin(7t+O)sin(竽一。)

=、1—2sin牝osG=、(sin，-cos0产

=|sin6-cos0\.

•••0唔,J,

Asin^>0,cos火0,

2sin(re<7)sin^^—=sin0cos。，故④正确.

10.(2022•郴州模拟)设段)=asingr+a)+反OS(TU+份+7,a,£,a,6均为实数，若携2021)

=6,则12022)=.

答案8

解析由公2021)=6,有

fil021)=dsin(2021兀+a)+反os(20217r+0+7

=asin(n+a)+/>cos(n+尸)+7

=­asina-bcos£+7=6.

即asina+^cosp=1.

022)=asin(2022兀+〃)+/>cos(2022n4-/7)+7=«sina+/>cos4+7=8.

—能力提升练

2

11.已知夕是第一象限角，若sin8—2cos。=一则sin9+cos。的值为（

I1_7-3

A.gB.C.gD.j

答案C

2

解析Vsin0—2cos0=一予

/.sinJ=2cos0-g,

；・(2cos6-,〉+cos20=],

21八

25=0

即(cos夕一,)(5cosJ+§=0.

又・・・e为第一象限角,

._3

..cosn0=0

Asin。=1，

7

Asin〃+cos。=亍

12.若〃是第四象限角，sin停+a)=—*则sin——a)等于(

)

A.gB.-g

1212

L1313

答案C

解析a是第四象限角，则保+2也＜。＜2兀+2E(kwZ),

:.2Ev,+av与+2E(kwZ),

且sin俘+，=一卷,

••卷+Q是第四象限角,

则

因此，sin

1+sin(7t—a)T—sin(2;t+a)

13.已知Q为第四象限角，化简:1+sin(兀+a)^\j1—sin(-a)

答案导

1+sin(兀-a)।/]-sin(2兀+a)

解析依题意知a为第四象限角,

1+sin(7r+a)\1—sin(—a)

1+sin-/1—sina

1—sina\1+sina

_____:(1+sina)?

■(1—sina)(l+sina)

卜{(l-sina?

A/(1+sina)(l—sina)

|I+sina|।|1-sina|

|cosa\|cosa\

1+sina+1-sina2

cosa

14.已知sinacos。是函数,/0)=212+"“十号的两个零点，则〃(0)=

答案if

解析由题意知sin〃+cos0=一去sin生os0=g.

又(sin夕+cos0)2=1+2sin8cos仇

所以才=1+彳，

即m2—2w—4=0,

解得ni=\±\[5.

当机=1+小时，J=m2-4w=2-2-x/5<0,不符合题意，舍去；

当〃?=1一小时，4=m2—4机=2+2书>0,符合题意，

所以m=1—45.

所以2fl0)=m=1一小.

第3练两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

基础对点练

考点一公式的直接应用

1.（2022・内江模拟）已知a喏，n）,sina=1,贝Utan（a+；）等于（

A$B.7C.-7jD.-7

答案A

解析Vsina=1,A

:.cosa=-yj1—sin2a=

/、tana+tanT.

…*---------------

1-tanatan

2.（2022♦银川模拟）已知a£（0,2sin2a-1=cos2a,贝ijcosa等于（）

A5B*C坐D.1

答案D

解析2sin2a—1=cos2a,

.\4sinacosa=1+cos2a=2cos2a,

・•・ae（0,9，

cos«>0,

2sina=cosa.又sin2a+cos2a=1,

,2^5

..cosa—5.

3.函数尸sinR+g—cos（2x+3的最小正周期和最大值分别为（）

A.n,1B.it,y[2

C.2n,y[2D.兀,小

答案D

S1'1r正

sn

解析依题意，y=2*2x+]cos2x—1coslx—2'sin2xy=-\/3sin2xt

则①=2,T=金

当2x=2E+永MZ）,

MPx=kn+孤£Z）时，

sin2x—1,Jmax=V^»

所以原函数的最小正周期和最大值分别为m<3.

考点二公式的逆用与变形用

4.sin54°sin660+cos126°sin24。等于（）

答案C

解析sin54°sin66°4-cos126°sin24°

=sin54°cos240-cos54°sin24°=sin(54°-24°)=sin30。=；.

5.下列各式的值等于坐的是(

)

--兀

A.2sin67.5°cos67.5°B.ZCOS-JJ—1

2tan22.5°

C.l-2sin215°Dl-tan222.5°

答案C

解析2sin67.5°cos67.5°=sin125°=¥-.故A不符合:

2cos2v5—1=cos一乎，故B不符合；

1ZoZ

A

1-2sin215°=cos30°=^-,故C符合；

2(an22.5°i.人

1-加222.5。=345。=1,故D不符合.

6.计算,产鲁一;、

的结果为（）

lan（「a）sin七+a

A.1B.2C.-1D.-2

答案B

2cos2。一1

解析

7.(2022•琅郡模拟)tan80°+tan400—小tan80°tan400=.

答案—小

解析根据两角和的正切公式，

可得tan120°=tan(80°+40°)

tanR0°4-tan40O_厂

=l-tan40°tan80o=一中，

所以tan40°+tan80°

=一小(1-tan40°tan80°)

=一书+小tan400tan800,

所以tan80°+tan40。一小tan80°tan40。=一小.

考点三角的变换

8.已知cos（a—g+sin则sin（a+卷）的值是（）

2小一2事「4n4

A.---B.-C.§D.—j

答案D

+si…芈

解析由

可得半

a+sina—

5，

即|sin4s

5，

所以小sin（a+季,sin(a+1)=74

5'

所以sin(a+V)=—sin(a+§=—亍

9.已知a£(0,5),蚱停兀)，若sin(a+/0=-cos£=一卷，则sina的值为(

)

答案D

解析因为Q£(0,D，n}t

所以a+蚱&当)，

3

又sin(a+0)=—予

则a+££。，为，cos(a+^)=—1,

,,5

又cospo-]3,

12

所以sin4=F，

所以sina=sin[(a+/?)—.]=sin(a+H)coscos(«+/?)sinp

=-5X(-B)-(-5)X13=B

—能力提升练

11.（2021•全国甲卷）若a£（0,另，tan2a=）鼠；；,则tana等于（

A喈B坐C雪D芈

答案A

e~人sin2a2sinacosa

解析方法一因为tan2a=-----z-

cos2a1—2sin2a

cosa

且tan2a=

2-sina

诉I、/2sinacosacosa

'1-2sin2«2—sina1

解得sina=；.

因为a£(0,号，

VT3sinaVT3

所以cosa=4，tana=—=15.

2sina

cosa2sinacosa2sinacosa

方法二因为tan2a=

1-tan2asin2acos2a-sin2a1-2sin2a,

1-cos2a

cosa

且tan2a=~.,

2—sina

2sinacosacosa

所以

I-2sin2a2-sino"

解得sina=；.因为a£(071

sinayjl5

所以cosa=2£^―,tana==.

cosa]5

34

12.已知a,£为锐角,tan々=不cos(a+£)=一§,则2a+£的值为()

答案B

34

na---

解析Va,4为锐角,45

/.sin«=ycosa=q,sin(a+/?)=g,

cos(2a+夕)=cosacos(a+0—sinasin(a+丑)

又2a+昨(0,y),

:.2。+夕=兀

13.(2022・杭州模拟)在△ABC中，“lan4+lanB+tan>0”是“△ABC为锐角三角形”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

tanA+tanB

解析tanC=tan(n—A—B)=—tan(A4-B)=

tanAtanB_1

故13114+匕113+忸11。=1311412115皿11。，13114加15,1311。最多只有一个为负,

若tanA+tan8+tanCO,贝UtanXtanBtanOO,

故tanA>0,tanAO,tanOO,A,B,C均为锐角，故△ABC为锐角三角形.

若△ABC为锐角三角形，则tanA>0,tanB>0,tanC>0,

故tanA+tan8+tanOO.

综上所述，"tanA+tan«+tanOO"是"△ABC为锐角三角形”的充要条件.

14.已知数列｛m｝满足％=cos,I：；；[）。'｛恁｝的前〃项的和记为S〃，贝

答案3

A7J4-r->(______sin1______

瞬忻•cin-z.xo

cos〃ocos(〃-1)

sin[废一(〃-1)°]

cosn°cos(n—1)°

sin〃0cos(〃-1)。一cos废sin(〃-1)。

cosn°cos(72—1)0

=tann°—tan(n—1)°

=­tan(〃-1)°+tann°,

***Sn=(~tan0°4-tanl°)+(—tanl°+tan2°)

+(—tan2°+tan3°)4---1-[—tan(n—l)°+tann0]=tann09

.S6o=tan60。=小

**S3o—tan30。—4一''

3

第4练简单的三角恒等变换

基础对点练

考点一三角函数式的化简

1.已知角。是第二象限角，则吊1—sin2a+l2+2cos2a等于()

A.sina+cosaB.sina_3cosa

C.3cosa—sinaD.sina—cosa

答案B

解析W-sin2a+*\/2+2cos2a

="\Jsin2a_2sinacosa+cos2a+A/2+2(2cos2a-1)

=q(sina-cosa)2+、4cos2a

=|sina—cosa|+2|cosa|,

因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0,

所以原式=5访a—cosa—2cosa=sina—3cosa.

2.(2。22・信阳模拟春+备等于()

A.-2B.2C.-4D.4

答案C

小1_S1

解析cos10。+sin550。—cosIO°-sin10°

于sin10°-cos10°2sin(10°-30°)

sinIO°cos10°^sin200

=—4.

设((兀),yl+sina1-cos世

3.a£0,/?e0,则（

11—sina1+cos)

A.a4-^=2B.a+p=n

C.a-p=^D.p-a=^

答案D

解析由罟器1-cos成

1+cosp'

得(1+sina)(l+cos£)

=(1—cos/0(l-sina),

化简得sina+cosp=0,

:.sina=-cos£=-sin《―@=sin[-]

V0</?<7r,

又0<a与

考点二三角函数式的求值

4.已知a£（0,九），sina+2cosa=2,则ta吟等于（）

A2B1c亚D1

答案B

解析因为a£（0,兀），则^£（0,f

所以sin^>0,

因为sina+2cosa=2sin卷cos,+2-4si吟=2,

所以sin^cos?=2sin与，因为sin/0,

,,.aaa1

故2SHI/=COS],可得tan5=5.

5.已知sinJ-cos0=g，贝U8$2（。一等于（

）

ZR2MD范

八A1684u,4

答案B

解析由sin0—cos两边平方得，

sin2^—2sinJcos^+COS2^=T,

33

所以2sin氏os6=不即sin2。=不

1+cos(20-3

所以COS2^—^)=

2

l+sin2<97

=-2-=*

6.若awg兀)，且3cos2a=sinj—a),贝Usin2a的值为(

1cle17rl7

A--i8B诵C,D.&

答案C

解析由3cos2a=sin(；—a),

可得3(cos2fz—sin2a)=2(cosa-sina),

又由0£(去兀)，可知cosa—sinGWO,

于是3(cosa+sina)=1,

117

所以l+2sinacosa=m，故sin2a=一而

7.已知cos(a+Q=d，cos(a一份=亨则tanatan£的值为

答案|

解析因为cos(a+6)=\,

所以cosacos^—sinasin0=，.①

因为cos(a—/0=|,

所以cosacos/?+sinasin夕=5,②

①+②得cosacos

②—①得sinasin«=万

“2八sinasin1

所以tanata"=cosacos/T

3-

考点三三角函数公式的综合应用

8.已知函数段）=sinxsin（x+§—则於）的值不可能是（

A.B.gC.0D.2

答案D

解析\,fl.x)=sinx-sin(x+^—

=2s*n2x-1~2s*nxcosx~4

11—cos2xty[3,1

=2'-2-+4s,n^~4

•瓜”)右[—2*

9.如图，点A为单位圆上一点，404=$点A沿单位圆逆时针方向旋转角a到点小一点5),

则cosa等于()

4+3小

B.

A"1010

产4小3+4仍

匚1010

答案A

解析由题意得cos(a+$=—点

10.若121】。，1211£是方程/—6%+7=0的两个根，则tan(a+/?)等于()

A.-1B.1C.-2D.2

答案A

解析由于tana,tan夕是方程x2—6x+7=0的两个根,

所以tana+tan尸=6,tanatan0=7,

tana+tan/6

所以tan(a+^)=1.

1—tanatan0—6

—能力提升练

11.已知sina=—点a金［当，2冗］,若2,则tan(a+为等于()

13nl3八65

ATBTc.方D.方

答案c

解析Vsin«=-5,［当，2g］，

.3

..cos

..sin(a+£)

乂.cos/?-2,

sin(a+份=2cos［(a+£)—a］.

展开并整理，得,cos(a+£)=Sin［a+/?),

，tan(a+Q)=

12.（2022・武汉模拟）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两

点4（1,。），8（2,b）,且cos2a=j则|〃一”等于（）

答案B

解析由O,A,8二点共线，从而得到

因为cos2«=2cos2a—1=2-

（禺2-®，

解得〃=/即同=孚,

所以|。一"=|。一%|=坐.

13.曲线y=7（x）=ln%—1在x=l处的切线的倾斜角为a,则sin（2a+?等于（）

A.,B.—|C.|D.—|

答案B

,、9

解析:/(x)=lnx一7

I2

"㈤二+商

•••y=y(x)在x=l处的切线的倾斜角为。，

f(0=3,

tana=3,0<a专

又sin2a+cos2a=1,

加徨._匹—迎

解传sina—|Q,cosQ一二了，

:.sin(2a+§=cos2a=cos2a—sin2a=

14.(2022•黄冈模拟)若|^=2022,则一1~+tan2a=

1—tanacos2a

答案2022

e1+tana

解析因为丁二-=2022,

I-tana

1,-cos2a+sin2a2tana

所以--h+tan2a=—;-------;-----------------

cos2acos2a—sin2a1—tan2a

1+tan%।2tan〃

1-tan2a1-tan2a

=牛粤塔=户』2022.

1—tan-a1—tana

第5练三角函数的图象与性质

基础对点练

考点一三角函数的定义域和值域

1.函数y=、2cos2x+l的定义域是()

A.|x|2htWxW2E+5攵eZ：

kGZ

口.卜卜兀一：WxWE+：,&£Z

答案D

解析要使原函数有意义，则2cos2x+120,

即cos2r2一：,

所以2E—WW2XW2ATT+半，keZ,

解得E-]WxWE+：,kGZ.

所以原函数的定义域为x版一与kGZ

2.已知函数4v）=cos2_r—4sinx,则函数y（x）的最大值是（）

A.4B.3C.5D.V17

答案B

解析J（x）=cos2r—4sinx=1—2sin2x—4sinx,

从而当sinx=-1时，贝x）有最大值，

・7/Cv）的最大值是3.

3.（2022.青岛模拟）函数贝x）=2sinxcosx—2小cos21+小在停，引上的值域为

答案（一1,2]

解析函数几0=2sinxcosx-2，2os%+，5

i-1+cos2x,r-

=sin2x_2A/3X------------+小

=sin2%—，5cos2x

=2sin（2x-

由停刊

故可得〃-罗俘，?）'

则sin3_§w（—],

所以兀0的值域为（-1,2].

考点二三角函数的周期性与对称性

4.下列函数中，周期为九的奇函数为（）

A.y=sinxcosxB.y=sin2x

C.y=tan2xD.y=sin2,v+cos2x

答案A

解析B项尸siMx为偶函数，C项尸tan2x的周期为1D项y=5皿21+8521为非奇非偶

函数,故B,C,D都不正确，只有A项y=sinxcosx=gsin2x既是奇函数，且周期为兀故选

A.

5.已知函数段）=2sin（s+孤＞0）的最小正周期为4兀，则该函数的图象（）

A.关于点律0）对称

B.关于点管，0州称

C.关于直线对称

D.关于直线x=号对称

答案B

解析因为函数段）=2sin（Q）x+g（①＞0）的最小正周期是4兀，即7=^=4加，所以公=今

即初=2sin佞吟）

令5+专=^+反伏金工），解得x=g^+2E（A£Z）.

故次＞）图象的对称轴为直线工=争+2履伏£Z）,

令5+方=灼1伏£Z）,解得尸一^+2E（&£Z）.

故段）图象的对称中心为点（一全+2E,O^eZ）,对比选项可知B正确.

6.若函数/）=3COSQX+3）,对有小+胃）=詹一J则/住）等于（）

A.-3B.3C.±3D.0

答案C

解析因为小旬=焉一J所以函数图象关于直线4=割称，因比有蜀+。=也伏£@,

所

以/

考点三三角函数的单调性

7.函数N=匕鼠彳一习的单调递增区间为（）

A.（E—E+当）（k£Z）

B（E+5,E+引（A£Z）

C（E—去E+引（%WZ）

D.（E+：,E+胡仅£Z）

答案A

解析函数y=ian（x—；）,

令桁号＜x—3E+，，k®Z,

即尿-：＜xvE+,,kRZ,

所以函数的单调递增区间为（E—去E+,）（k£Z）.

8.（2021・新高考全国I）下列区间中，函数Ar）=7sin（x—§的单调递增区间是（）

A.（o,mB.e，兀）

C.（7r,野口.仔，2兀）

答案A

解析方法一（常规求法）令—]+2bcWx—3，+2H,k《Z,

得一1+2/WxW专+2E,kWZ.

取2=0,则一

因为（0,0[-f，fl.

所以区间（o,9是函数外）的单调递增区间.

方法二（判断单调性法）当0<x<^时，一/《一专专

所以外）在（0,习上单调递增，故A正确；

当声g时,

所以府）在e，兀）上不单调，故B不正确；

、|，3兀Q5兀it4TC

当兀<xvy时，不4一不可，

所以人乃在（兀，芝）上单调递减，故C不正确；

^-2<x<2it时，-y<x-

所以加）在（苧，2兀）上不单调，故D不正确.

管

倍

苧

汉

冗

兀

但

特

殊值法

因为

一

\一27-1

方法三/!2623

所以区间《，兀）不是函数yu）的单调递增区间，排除B；

Hi7兀4兀3兀

因为兀『亍

但了闺=,q!!兀=>了（学=7sin^=—T<6

所以区间（冗，竽）不是函数«r）的单调递增区间，排除C；

因为当窄年<2兀，

但/（^）=7sin晋=一7sin居>一7,

/管）=7sin多=-7,

所以区间悠2兀）不是函数人x）的单调递增区间，排除D.

9.（2022•邢台模拟）函数危尸sin（s:+：）（G>0）在区间（0,§上单调递增，在区间律号上单

调递减，则口的最小值为（）

答案A

解析因为段）在区间（o,§上单调递增，在区间（小号上单调递减，

所以『（9=⑥11（酎+9=1，

7［兀兀3

QCO+1=2E+5，kGZ,<u=64+3kWZ,

1/«1

rry

T=~

2cy3

3

所以①的最小值为本

10.函数危）=2sin住一2x）+1,若x£R,则/）的单调递增区间为；若旧0,兀］,

则4彳）的单调递增区间为.

答案［今+也，*+司，k®Z［*，方］

解析危）=2sin停一2r）+1

=-2sin（2L§+1,

3

令5+2EW2r—呼+2E,&WZ,

解得■^兀kQZ,

，当x£R时，4r）的单调递增区间为［声+E,以+kr］,kGZ、

=［谈，谈），

・••当x£［0,用时，4X）的单调递增区间为［占，告］.

—能力提升练

11.（2022•宜宾模拟）已知函数/）=sin（sr+§（①>0）在区间（0,兀）内恰好有3个零点，则①

的取值范围是（）

58ri8A

y3Lry

［鸿）

答案c

解析因为工£（0,兀），所以⑺+1金停.07t+$.因为贝x）=sin（sx+§（①>0）在区间（0.兀）

内恰好有3个零点，结合函数图象可得，”兀+^£（3兀，4兀],解得“eg,y],所以@的取

号*由日住in

值氾围是（j,y.

y

12.设函数段）=2cos2