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文档简介
浙江省杭州十四中2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量为平面的法向量,点在内,点在外,则点到平面的距离为()A. B.C. D.2.抛物线的焦点为,准线为,焦点在准线上的射影为点,过任作一条直线交抛物线于两点,则为()A.锐角 B.直角C.钝角 D.锐角或直角3.如图,O是坐标原点,P是双曲线右支上的一点,F是E的右焦点,延长PO,PF分别交E于Q,R两点,已知QF⊥FR,且,则E的离心率为()A. B.C. D.4.在等比数列中,,,则()A.2 B.4C.6 D.85.内角、、的对边分别为、、,若,,,则()A. B.C. D.6.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,,一辆车从甲地到乙地,恰好遇到2个红灯的概率为()A. B.C. D.7.已知是空间的一个基底,若,,若,则()A. B.C.3 D.8.已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,则的取值范围是()A. B.C. D.9.已知直线与直线垂直,则()A. B.C. D.10.等差数列的首项为正数,其前n项和为.现有下列命题,其中是假命题的有()A.若有最大值,则数列的公差小于0B.若,则使的最大的n为18C.若,,则中最大D.若,,则数列中的最小项是第9项11.已知p:,q:,那么p是q的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件12.设P是抛物线上的一个动点,F为抛物线的焦点.若,则的最小值为()A. B.C.4 D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=________14.已知平面的法向量为,平面的法向量为,若,则___________.15.某部门计划对某路段进行限速,为调查限速60km/h是否合理,对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测,将所得数据按,,,分组,绘制成如图所示频率分布直方图.则________;这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有______辆.16.设为曲线上一点,,,若,则__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱锥中,平面平面,,都是等腰直角三角形,,,,分别为,的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.18.(12分)已知等比数列{}的各项均为正数,,,成等差数列,,数列{}的前n项和,且.(1)求{}和{}的通项公式;(2)设,记数列{}的前n项和为.求证:.19.(12分)如图,正方体的棱长为4,E,F分别是上的点,且.(1)求与平面所成角的正切值;(2)求证:.20.(12分)在四棱锥中,平面,,,,,分别是的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函数的图像为曲线,点、.(1)设点为曲线上在第一象限内的任意一点,求线段的长(用表示);(2)设点为曲线上任意一点,求证:为常数;(3)由(2)可知,曲线为双曲线,请研究双曲线的性质(从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究).22.(10分)已知函数(1)求函数在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间及极值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先求出向量,再利用空间向量中点到平面的距离公式即可求解.【详解】解:由题知,点在内,点在外,所以又向量为平面的法向量所以点到平面的距离为:故选:A.2、D【解析】设出直线方程,联立抛物线方程,利用韦达定理,求得,根据其结果即可判断和选择.【详解】为说明问题,不妨设抛物线方程,则,直线斜率显然不为零,故可设直线方程为,联立,可得,设坐标为,则,故,当时,,;当时,,;故为锐角或直角.故选:D.3、B【解析】令双曲线E的左焦点为,连线即得,设,借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|,,再借助即可得解.【详解】如图,令双曲线E的左焦点为,连接,由对称性可知,点线段中点,则四边形是平行四边形,而QF⊥FR,于是有是矩形,设,则,,,在中,,解得或m=0(舍去),从而有,中,,整理得,,所以双曲线E的离心率为故选:B4、D【解析】由等比中项转化得,可得,求解基本量,由等比数列通项公式即得解【详解】设公比为,则由,得,即故,解得故选:D5、C【解析】利用正弦定理可求得边的长.【详解】由正弦定理得.故选:C.6、B【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【详解】由各路口信号灯工作相互独立,可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率:故选:B7、C【解析】由,可得存在实数,使,然后将代入化简可求得结果【详解】,,因,所以存在实数,使,所以,所以,所以,得,,所以,故选:C8、B【解析】当直线斜率存在时,设直线方程,联立方程组,结合根与系数关系可得,进而求得取值范围,当斜率不存在是,可得,两点坐标,进而可得的值.【详解】当直线斜率存在时,设直线方程为,,,联立方程,得,恒成立,则,,,,,所以,当直线斜率不存在时,直线方程为,所以,,,综上所述:,故选:B.9、C【解析】根据两直线垂直可直接构造方程求得结果.【详解】由两直线垂直得:,解得:.故选:C.10、B【解析】由有最大值可判断A;由,可得,,利用可判断BC;,得,,可判断D.【详解】对于选项A,∵有最大值,∴等差数列一定有负数项,∴等差数列为递减数列,故公差小于0,故选项A正确;对于选项B,∵,且,∴,,∴,,则使的最大的n为17,故选项B错误;对于选项C,∵,,∴,,故中最大,故选项C正确;对于选项D,∵,,∴,,故数列中的最小项是第9项,故选项D正确.故选:B.11、C【解析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要条件.【详解】因为>0,<1,所以若p:成立,一定成立,但q:成立,p:不一定成立,所以p是q的充分不必要条件.故选:C.12、C【解析】作出图形,过点作抛物线准线的垂线,由抛物线的定义得,从而得出,再由、、三点共线时,取最小值得解.【详解】,所以在抛物线的内部,过点作抛物线准线的垂线,由抛物线的定义得,,当且仅当、、三点共线时,等号成立,因此,的最小值为.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】f(x)=xlnx∴f'(x)=lnx+1则f′(x0)=lnx0+1=2解得:x0=e14、2【解析】由,可两平面的法向量也平行,从而可求出,进而可求得答案【详解】因为平面的法向量为,平面的法向量为,,所以∥,所以存实数使,所以,所以,解得,所以,故答案为:215、①.②.【解析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值;根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60km/h的频率,从而可求出汽车有多少辆【详解】由解得:这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有故答案为:;16、4【解析】化简曲线方程,得到双曲线的一支,结合双曲线定义求出结果【详解】由,得,即,故为双曲线右支上一点,且分别为该双曲线的左、右焦点,则,.【点睛】本题考查了双曲线的定义,解题时要先化简曲线方程,然后再结合双曲线定义求出结果,较为基础三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)由三角形的中位线定理可证得MN∥AB,再由线面垂直的判定定理可证得结论,(2)由已知可得AB⊥BC,VC⊥AC,再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC⊥平面ABC,从而有AB⊥VC,然后由线面垂直的判定定理可证得结论【小问1详解】证明:∵M,N分别为VA,VB的中点,∴MN∥AB,∵AB⊄平面CMN,MN⊂平面CMN,∴AB∥平面CMN【小问2详解】证明:∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形,AB=BC,AC=CV,∴AB⊥BC,VC⊥AC,∵平面VAC⊥平面ABC,平面VAC∩平面ABC=AC,∴VC⊥平面ABC,∵AB⊂平面ABC,∴AB⊥VC,又VC∩BC=C,∴AB⊥平面VBC18、(1)(2)证明见解析【解析】设等比数列的公比为,由,,成等差数列,解得.由,利用通项公式解得,可得.由数列的前项和,且,时,,化简整理即可得出;(2),利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论【小问1详解】设等比数列的公比为,,,成等差数列,,即,化为:,解得,,即,解得,数列的前项和,且,时,,化为:,,数列是每项都为1的常数列,,化为【小问2详解】证明:,数列的前项和为,19、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)在正方体中,平面,连接,则为与平面所成的角,在直角三角形,求出即可;(2)∵是正方体,又是空间垂直问题,∴易采用向量法,∴建立如图所示的空间直角坐标系,欲证,只须证,再用向量数量积公式求解即可.【小问1详解】在正方体中,平面,连接,则为与平面所成的角,又,,,∴;【小问2详解】如图,以为坐标原点,直线、、分别轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则∴,,∴,∴.20、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】(1)根据给定条件证得即可推理作答.(2)由已知条件,以点A作原点建立空间直角坐标系,借助空间位置关系的向量证明即可作答.(3)利用(2)中信息,借助空间向量求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在四棱锥中,因分别是的中点,则,因平面,平面,所以平面.【小问2详解】在四棱锥中,平面,,以点A为原点,射线AB,AD,AP分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图,则,而且,则,,设平面的法向量,由,令,得,又,因此有,所以平面.【小问3详解】由(2)知,,令直线与平面所成角为,则有,所以直线与平面所成角的正弦值.21、(1);(2)具体见解析;(3)具体见解析.【解析】(1)由两点间的距离公式求出距离,进而将式子化简即可;(2)求出,进而讨论两种情况,然后结合基本不等式即可证明问题;(3)根据为双曲线的焦点,结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.【小问1详解】由题意,.【小问2详解】设,由(1),.若x>0,则,当且仅当时取“=”,则,,所以.若x<0,则,当且仅当时取“=”,则,,所以.综上:,为常数.【小问3详解】易知函数:为奇函数,则其图象关于原点对称.由(2)可知,曲线为双曲线,为双曲线的焦点,则它关于直线对称,还关于与垂直且过原点的直线对称.,则,易得.综上:双曲线关于原点(0
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