专题02 高一上期中真题（压轴题 11个考点专练）2024-2025学年高一数学上学期期中考试（人教A版2019必修第一册）

第第页专题02高一上期中真题精选（压轴题11个考点专练）元素与集合的关系根据元素与集合的关系求参数集合的基本运算集合新定义问题基本不等式基本不等式中的恒成立问题函数单调性及其应用函数性质有关的恒成立，有解问题与抽象函数有关的问题函数性质中的新定义题考点01元素与集合的关系1．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义【分析】根据“保均值子集”的定义，列举出所有符合题意的子集即可求得结果.【详解】非空数集中，所有元素的算术平均数，在所有子集中选出平均数为的子集即可，所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7个：故选：C．2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（

）A．12 B．32 C．80 D．192【答案】B【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得.【详解】集合的所有非空子集为，所以交替和的总和为.故选：B3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；③当时，,的区间长度大于3，若,的区间长度，即．若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，故，即，结合可得．综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．故选：D．【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.4．（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】AC【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征.【详解】对于A，，则恒有，即，则，故A选项正确；对于B，，若，则存在使得，即，又和同奇或同偶，若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，所以不能得到，故B选项错误；如果，可设，对于C，，可得，故C选项正确；对于D，，不一定成立，不能得到，故D选项错误.故选：AC【点睛】方法点睛：按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立.5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为；的所有不同取值的个数为．【答案】654【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义【分析】根据非空真子集的定义结合题意求解即可.【详解】由题意，满足的集合有：，，，，，，共6个.对于来说，由于它是集合中的各元素之和，同时又是集合的非空真子集，因为，由题意，易知将取尽1到54的所有整数，所以的所有不同取值的个数为54.故答案为：6；54.6．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是．【答案】【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解.【详解】由于，因为集合，的子集为的第个子集，其中，所以的第211个子集是.故答案为：.考点02根据元素与集合的关系求参数1．（23-24高一上·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合新定义【分析】先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案.【详解】集合，，根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素，当中有1个元素时，有一个解，可得；当中有3个元素时，易知，有三个解，其中的两个为：，当有一个解时，令，可得；当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件，此时，显然不等于0，所以或，解得或，综上所述，设实数a的所有可能取值为，所以构成集合S元素个数为5，即.故选：C2．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为.【答案】8【知识点】根据元素与集合的关系求参数、方程与不等式【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数.【详解】已知，时，解得或；时，解得或；时，解得，又且，所以，同理，关于x的方程有实数解，当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3；当时，要使方程有实数解，需使，即，若，则的值可以是，的个数为3；若，则的值可以是，的个数为2；所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8.故答案为：8.考点03集合的基本运算1．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：①若为“完美集合”，则一定有；②“完美集合”一定是无限集；③集合为“完美集合”；④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.其中真命题是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对；对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错；对于③，集合，在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数，则，，，集合为“完美集合”，③对；对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错.故选：A.2．（多选）（22-23高一上·山东临沂·期中）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（

）A．集合为闭集合B．整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合【答案】AD【知识点】集合新定义【分析】对于A，令，可判断错误；对于B，根据整数的和差还是整数可判断B正确；对于C，任取，则，结合新定义即可判断；对于D，令，，可判断错误.【详解】对于A：由于，但是，故集合不为闭集合，故A错误；对于B：由于整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，故B正确；对于C：任取，则，则，所以，，所以集合为闭集合，故C正确；对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合，所以，则有，但，则不为闭集合，故D错误；故选：AD．3．（多选）（23-24高一上·湖北·期中）如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（

）A．若，则；B．存在集合，使得；C．若，则；D．若，则.【答案】AC【知识点】集合新定义【分析】按幂集的定义逐项判断即可.【详解】对于A，若，则的子集之一就是，所以，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则的公共子集只有空集，故，故C正确；对于D，若，不妨设，则，，显然，故D错误.故选：AC.4．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：.【答案】或【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数【分析】由题意可得，所以，分类讨论当和时情况，即可得出结果.【详解】由题意，得，所以.由于中有9，因此A中有3，此时集合有共同元素1，若，则，于是；此时且，无正整数解；若，集合有共同元素1和9，则，所以，且，而，所以，当时，；当时，；因此满足条件的共有2个，分别为.故答案为:或5．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义①若的元素个数为4，则可以为：，（写出一组即可）②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义【分析】根据题目中集合的新定义，结合元素与集合的关系求解即可.【详解】设集合中元素个数为，集合中元素个数为，根据题意可知集合的元素个数为，若的元素个数为4，则可以为，，若对任意，均有，则，，又的元素个数不小于100，则，解得，因为是集合的子集，所以集合的元素个数的最小值是.故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一），6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．(1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；(2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；(3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．【答案】(1)，集合A是的恰当子集；(2)，或，.(3)10【知识点】判断两个集合的包含关系、集合新定义、判断元素与集合的关系【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集；（2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验；（3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集，【详解】（1）若，有，由，则，满足，集合A是的恰当子集；（2）是的恰当子集，则，，由则或，时，，此时，，满足题意；时，，此时，，满足题意；，或，.（3）若存在A是的恰当子集，并且，当时，，有，满足，所以是的恰当子集，当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，时，设，经检验没有这样的满足；当时，设，经检验没有这样的满足；，因此不存在A是的恰当子集，并且，所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10.7．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”．(1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由：(2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围，(3)若时，求“复活集”A．【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3).【知识点】集合新定义【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得.（2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得.（3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得.【详解】（1）因为，所以集合是“复活集”.（2）由为“复活集”，设，因此是一元二次方程的两个不等正根，于是，且，解得，所以的取值范围是.（3）不妨设中元素满足，且，显然，则，而，即有，因此，则，解得，所以“复活集”.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决.考点04集合新定义问题1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（

）A．B．C．D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、判断两个集合的包含关系、充要条件的证明【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数，所以，又，故，C正确；对于D，若，则，若，则，不妨设，则，所以，，所以除以后余数相同，所以属于同一“类”所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误；故选：C.2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.(1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）；(2)若，，求的最大值；(3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由.【答案】(1)(2)10(3)不一定存在，理由见解析【知识点】集合新定义、交集的概念及运算【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得；（2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果；（3）举反例和，根据题意检验即可说明.【详解】（1）若，则，其中，否则，，若，当时，，，所以，则，相差3，因为，，所以；当时，，，，所以，因为，，所以不存在；（2）若，，，当时，，，，，，，所以，，所以不存在；所以A中至多有5个元素；当时，，，，，所以，则，相差5，所以；，所以，，.因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素，所以的最大值为10.（3）不一定存在，理由如下：例如，则，，，，，则，相差不可能1，2，3，4，5，6，这与矛盾，故不都存在；例如，不妨令，则，满足.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：，(1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；(2)若集合，且，求证：(3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．【答案】(1)，(2)见解析(3)1349【知识点】集合新定义、交集的概念及运算、并集的概念及运算【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;（2）根据集合相等的概念，能证明；（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.【详解】（1），，集合，集合.（2），，且，T中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，；（3）设集合满足题意，其中，则，，，由容斥原理，，的最小元素为0，最大元素为，，解得实际上时满足题意，证明如下：设，则，题意有，即，m的最小值为675，当m=675时，集合A中元素最多，即时满足题意综上，的最大值为1349.【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解.4．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合（），表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集，，…，，均存在对应的集合满足：①；②；③（），则称集合具有性质.(1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；(2)当，时，判断集合是否具有性质？并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)不具有，理由见解析【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义【分析】（1）根据集合具有性质的定义即可得出答案；（2）当，时，利用反证法即可得出结论.【详解】（1）当时，，集合的所有二元子集为，则满足题意得集合可以是或或，此时，或者也可以是或或，此时；（2）当，时，，假设存在集合，即对任意的，则取，（任意构造，符合题意即可），此时由于，若，则中必有元素，此时，与题设矛盾，假设不成立，所以集合是不具有性质.【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.5．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集．(1)当时，写出集合的生成集；(2)若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由．【答案】(1)(2)7(3)不存在，理由见解析.【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义【分析】(1)根据直接写出集合中元素；(2)设，且，利用生成集的定义分析中元素大小关系，不相等的元素至少有7个，再举例即可求解；(3)不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可.【详解】（1），所以.（2）设，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于7个，又，，此时中元素个数等于7个，所以生成集B中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，不妨设，则集合A的生成集则必有，其4个正实数的乘积；也有，其4个正实数的乘积，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集考点06基本不等式1．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】分式不等式、条件等式求最值【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解.【详解】由，得，设，则，解得，因为，，，所以，解得或，又因为，所以，整理得，解得，当且仅当时，等号成立.因此，即，所以的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可.2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.【详解】因为，所以由题意，因为，所以，所以由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，综上所述，的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.3．（多选）（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知，，且，则（

）A．的最大值是16 B．的最小值为128C．的最小值为10 D．的最小值为【答案】BD【知识点】条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】直接由基本不等式即可判断A、B；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D.【详解】因为，，且，所以，解得，当且仅当时等号成立，故A错误；因为，由A选项分析可知，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；因为，，且，所以，所以，等号成立当且仅当，故C错误；因为，且，所以不妨令，因为，所以单调递增，所以，从而，等号成立当且仅当.故选：BD.【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断较为简单，而C、D选项的关键是先等价变形表达式，然后利用基本不等式和对勾函数去判断.4．（多选）（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（

）A．ab的最大值为 B．的最大值是2C．的最小值是18 D．的最小值是【答案】AC【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式.【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确；由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误；因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；由，得，对于，由，得，，当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误.故选：AC.5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为．【答案】【知识点】条件等式求最值【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得.【详解】因为实数，满足，化为，令，，则．联立可得，，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.考点07基本不等式中的恒成立问题1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.【详解】不等式恒成立，可转化为恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且，得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得，所以的最小值为，即，则，所以实数的最大值为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值.2．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】，故，，，，故，当且仅当，即时取等号，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范围是，故选：B.3．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）命题p：，，使得不等式成立，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式的恒成立问题【分析】由题意分离参数得，，使得不等式成立，利用基本不等式求出得最小值即可得解.【详解】由，，使得不等式成立，即，，使得不等式成立，而，当且仅当时，等号成立，所以，所以是的一个充分不必要条件.故选：A.4．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为．【答案】【知识点】基本不等式的恒成立问题、不等式与多变量函数的最值【分析】先分离常数转化成求的最小值问题，根据，把放缩成，再变形，就可以用基本不等式求最小值，即为的最大值.【详解】因为x，y，z为正实数，所以，因为，所以，即，又，所以.当且仅当时上式最右侧等号成立.故答案为：考点08函数单调性及其应用1．（23-24高二上·湖南·期中）已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】由已知判断函数的单调性，再分离参数讨论即可.【详解】由条件可知函数在上单调递减.存在使得成立等价于存在使得不等式成立.由得，∵，∴，∴①当时，不成立；②当时，有解.求当时，函数的最小值.令，则，设,,因为所以，所以函数是上的减函数，所以当且仅当，即时，.故，故选：D.2．（23-24高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据函数的单调性求参数值【分析】由，得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可.【详解】因为对任意，，所以，即，构造函数，则，所以函数是上的减函数.当时，函数是上的减函数，符合题意；当时，函数图象的对称轴为直线，当时，函数是上的减函数，符合题意；当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得.综上所述，实数的取值范围足，故选：C.3．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.【详解】解：由题意在中，对称轴函数在上单调减，在上单调增，∵对于，均有成立即对于，均有恒成立在中，对称轴，函数在上单调减，在上单调增当即时，函数在上单调减函数在上单调减∴解得当，即时，函数在上单调减，在上单调增函数在上单调减∴∴解得当，即时，函数在上单调增函数在上单调减∴∴故不符题意，舍去.当即时函数在上单调增，函数在上单调减，在上单调增，∴解得当即时函数在上单调增，函数在上单调减，在上单调增，此时，∴符合题意当时，函数在上单调增函数在上单调增∴此时∴符合题意综上，实数的取值范围是故选：C.【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.4．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的范围为．【答案】或【知识点】根据函数的单调性求参数值【分析】由题可只考虑在上的单调性，分三种情况讨论即可.【详解】由题仅考虑在上的单调性.①当时，，其在上单调递增，不合题意；②当时，.任取，，则，因，则时，，得在上单调递减.则；③当时，令，得或（舍去）.则，因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则i当时，，则满足题意；ii当时，有.则当时，.综上a的范围是或.故答案为：或5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数.(1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围；(2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，．【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得；（2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围．【详解】（1）设，∵，∴函数ℎx分别在区间0,2，上单调且，要使函数分别在区间0,2，上单调，则只需；（2）如图，可知，在0,1、、、均为单调函数，显然，，若，则，，则，若，则，令，，因此，（Ⅰ）当时，在上单调递减，则两式相除整理得，∵∴上式不成立即，无解，无取值.（Ⅱ）当时，在上单调递增，则，即在有两个不等实根，而令则，，，由二次函数性质可得：，（Ⅲ）当时，在上单调递减，则，两式相除整理得∴，∴，∴，由得，则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解.（Ⅳ）当时，在上单调递增，则，两式相除得，整理得，又，，，即，因此不成立，所以无取值，综上，的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论．考点09函数性质有关的恒成立，有解问题1．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题【分析】先把恒成立，转化成求的最小值问题，再在已知等式中解出，代入变形成，即求的最小值问题，在已知中解出用表示的关系式，代入，变形后用基本不等式求解即可.【详解】由，所以，所以，又因为，得，因为，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立.，故，则的最小值是，因为恒成立，所以，即，解得.故A，B错.故选：CD.2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求的值；(2)求函数在上的值域；(3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据恒成立和可求的值.（2）判断函数在上的单调性，再求值域.（3）根据恒成立问题求参数的取值范围.【详解】（1）由题意：所以.又.所以：，.（2）由（1）可知：.设，则，因为，所以，，，所以.所以函数在上单调递增.又，，所以函数在上的值域为：.（3）问题转化为，当时，恒成立.若，则在上为增函数，由.若，则，此时在上恒成立.若，则在上为减函数，由.综上可知：.即实数的取值范围是：.【点睛】结论点睛：对任意的和，恒成立，可转化为在上的最大值小于等于在的最小值.3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【知识点】根据函数的单调性求参数值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解；（2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围；（3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可.【详解】（1）当时，故有，则，即为或，解得：或，∴不等式的解集为（2），若在上单调递增，则有，解得，∴若在上单调递增，则实数的取值范围为（3）设则不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立．，当时，单调递减，其值域为，由于，所以成立．当时，由，知，在处取最小值，令，得，又，所以综上，．4．（23-24高一下·北京石景山·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.条件①：；条件②：，恒成立.(1)求不等式的解集；(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、函数新定义、函数不等式恒成立问题【分析】（1）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最值即可得到的值；（2）求出分段函数，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案.【详解】（1）若选择条件①因为，所以，故.所以，因为，故，解得或，所以不等式解集为.若选择条件②恒成立，故最小值为，所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①.（2）不论是条件①或是条件②均可以得到，因为，根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，，所以，又因为当，不等式恒成立，故当，不等式恒成立，即恒成立，.因为，当且仅当时等号成立，故，即.5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数，(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)证明在区间上单调递增；(3)若对任意的都有，求的最小值.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3).【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得.（2）利用函数单调性的定义推理证明即可.（3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值.【详解】（1）函数是奇函数，函数的定义域为，关于数0对称，而，所以是奇函数.（2）任取，，由，得，，则，即，所以在区间上单调递增.（3）当时，，当且仅当，即时取等号，因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数，因此当时，，函数的值域为，即，由对任意的都有，得，所以的最小值是.6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且．(1)判断并证明函数在0,+∞上的单调性；(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析(2)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的最值求参数、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解；（2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解.【详解】（1）解：由函数为奇函数，且，可得，则，解得，可得，经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，可得，所以是奇函数，满足题意函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增．（2）解：由题意，函数，令，可得，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为函数的对称轴方程为，所以函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，．所以，，又因为对任意的都有恒成立，所以，即，解得，又因为，所以，所以实数的取值范围是．7．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函数．(1)判断并证明函数在上的单调性；(2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围．【答案】(1)单调递减函数，证明见解析(2)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可得证；（2）根据题意，转化为，结合函数的单调性，分别求得和，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：函数在上单调递减.证明：任取且，则，因为且，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.（2）解：由对任意，，都有成立，即，由（1）知，函数在区间上单调递减，所以，因为函数在区间上为单调递增函数，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.8．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足．(1)求函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的最小值的表达式．(3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的解析式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解；（3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解．【详解】（1）设，又即，，解得，即，（2）由题意得，，则二次函数的对称轴为，若时，，当时，的最小值为；若时，，当时，的最小值为；若时，，当时，的最小值为；所以；（3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，即，作如下图形：故是单调递减函数，，当时，，当时，，，，，因为所以时取最大值，所以不等式，解得：或；综上所述：或．【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键．9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为．(1)求的值，并证明在上单调递增；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，证明见解析(2)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题【分析】（1）令可求出的值；再由单调性的定义证明即可；（2）令可将题意转化为，恒成立，分类讨论，，，由二次函数的性质求解即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以，即，解得，，此时，，成立，所以的值为1，任设，则，因为，所以，所以，所以，可证得在上单调递增；（2）由，可得，因为，由（1）知，令，所以，恒成立①当时，恒成立，满足题意，②当时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为所以当时，，解得，③当时，二次函数的图象开口向下，所以，解得，

综上：实数的取值范围是．【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是将问题转化为恒成立，从而利用换元法与二次函数的性质即可得解.10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由;(3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值.【答案】(1)的单调递增区间为；(2)见解析；(3)10.【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可.【详解】（1）当时，，当时，，所以在上递增，当时，，所以在上递增，因为，所以的单调递增区间为；（2）当时，，因为，所以为偶函数，当时，因为，所以不是奇函数，因为，，且，所以，所以不是偶函数，综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；（3）当，时，，所以，整理得，即在上恒成立，因为对勾函数在上单调递增，所以若，则在上单调递减，所以当时，取得最小值，则，所以，当时，，若时，则在上单调递增，所以当时，取得最小值，则，所以，当且仅当时，取得最大值10，综上，的最大值为10.【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“在上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题.考点10与抽象函数有关的问题1．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为R，满足，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是奇函数【答案】D【知识点】函数奇偶性的定义与判断【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额.【详解】由题意知，在函数中，2023，当时，，解得，若函数是R上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误.当时，，解得，无法得到，故A错误.在函数中，，所以是奇函数，故C错误，D正确.故选：D.2．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知函数的定义域为，满足，且，则（

）A． B．为奇函数C． D．【答案】AC【知识点】抽象函数的奇偶性、由函数的周期性求函数值【分析】利用赋值法可求周期，，结合赋值法可以排除选项B,D.【详解】对于A，令得，，因为，所以，A正确；对于B，因为，所以一定不是奇函数，B不正确；对于C，由得；由得；由得；由得，，所以的周期为2，所以，C正确；对于D，令，，所以，D错误.故选：AC3．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．若，则关于中心对称D．若，则【答案】BC【知识点】由函数的周期性求函数值、判断或证明函数的对称性、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的定义与判断【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解.【详解】对于A，令，有，而不恒为0，则，A错误；对于B，由A知，令，有，即，则函数为偶函数，B正确；对于C，若，令，有，则关于中心对称，C正确；对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则，即，因此，是周期为4的周期函数，显然，，即，所以，D错误.故选：BC4．（多选）（2024·安徽安庆·二模）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（

）A． B．C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称【答案】ACD【知识点】函数对称性的应用、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：借助赋值法令，计算即可得；对C：结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得.【详解】对A：令，则有，故，故A正确；对B：令，，则有，故，故B错误；对C：令，则有，其中，，令，，即有对、，当时，恒成立，即函数为减函数，故C正确；对D：令，则有，又，故，故函数的图象关于点0,1对称，故D正确.故选：ACD.5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.(1)求，的值；(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值【分析】（1）利用赋值法可得与；（2）利用赋值法可得，且当时；（3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可.【详解】（1）由，则，又当时，，则，；（2）令，则，即，当时，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，则，所以，即在上单调递增；（3）由已知，又由（1）得，所以，又函数在上单调递增，则恒成立，所以恒成立，又，即，解得.6．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性，并证明；(3)若，求不等式的解集．【答案】(1)，证明见解析；(2)在上单调递减，证明见解析；(3).【知识点】求函数值、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证；（2）设，令，结合的范围即可判断，得证；（3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得.【详解】（1）令，则，又，所以．证明：当时，，所以，又，所以，所以；（2）在R上单调递减．证明：设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，所以，即，所以在R上单调递减；（3）因为，所以，所以，即，又在R上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为．7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，．(1)求的值；(2)试判断的单调性，并证明；(3)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值【分析】（1）由赋值法即可求解，（2）利用单调性的定义即可求证，（3）由函数的单调性，列不等式即可求解.【详解】（1）令，得，解得；（2）在0,+∞上单调递减，证明如下：不妨设，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在0,+∞上单调递减；（3）由（2）知在0,+∞上单调递减，若，即，所以，解得或，即的取值范围是．8．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且.(1)求证：为奇函数；(2)求在上的最小值；(3)解关于的不等式：.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论；（2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解；（3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.【详解】（1）证明：因为函数的定义域为R，令，则，解得.令，则，则f−x=−fx所以，函数为奇函数.（2）解：任取，则，因为当时，，则，由（1）知，，即，所以，函数在R上单调递减，所以，函数在上的最小值为，因为f−1=2，，所以，，即函数在上的最小值为.（3）解：由（1）知，，所以，，因为函数在R上单调递减，则，即，解得，即不等式的解集为.考点11函数性质中的新定义题1．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数新定义【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数”.【详解】对于选项A：若时，对，，当时，则，所以不为“理想函数”，故A正确；对于选项B：若时，对，，当时，则，所以不是“理想函数”，故B错误；对于选项C：时，例如，则，所以不为“理想函数”，故C错误；对于选项D：若时，对，，当时，则，所以为“理想函数”，故D正确；故选：D.【点睛】思路点睛：定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念.解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】根据“中心捺函数”的定义以及函数的单调性、奇偶性，化简不等式，求得，进而求得正确答案.【详解】对任意，都有，则在上单调递减.函数是以为中心的“中心捺函数”，所以函数在上单调递减，则在上单调递减，且关于对称，即是奇函数，所以，即，所以，若，则，没有意义，若，则，没有意义，所以且，由两边除以得，解得，所以，所以.故选：C【点睛】函数的单调性的定义有多种形式，如：任取，通过计算得到，即可判断出函数函数的单调性；也可以形如：或等形式，也可以判断出函数的单调性.3．（23-24高一上·山东青岛·期中）山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（

）A．B． C． D．【答案】D【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性比较大小【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解.【详解】函数在上单调递增，，则，即，由，得，即，又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减，而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且，由及，得，因此或，解，当时，，，此时不等式组无解，当时，，，不等式组的解为，当时，，，则有，解得，即，因此不等式组的解为，解，由，得，则，不等式组无解，所以“立冬函数”的x的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.4．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（

）A． B．函数的值域为C．存在无数多个，有 D．存在无限实数集，对于，当时，有【答案】BCD【知识点】函数图象的应用、函数新定义【分析】取特殊范围探究规律，然后作出函数图象观察即可得答案.【详解】首先注意定义域，即，由定义可知时，即的定义域为．故A错．不妨取一些特殊范围进行观察：时，，即；时，，即；时，，即；接下来我们不妨找到一般性规律，且时有：时，，即；作出函数图象如图：由图可知，函数的值域为，B正确；存在无数个，使得，故C正确；由图可知，存在无数递减区间，故D正确.故选：BCD．【点睛】本题难点在于对新定义的理解，然后通过特殊范围探究函数规律，最后利用函数图象即可求解.5．（多选）（23-24高一上·安徽六安·期中）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（

）A．函数不存在跟随区间B．若为的跟随区间，则C．二次函数存在“3倍跟随区间”D．若函数存在跟随区间，则【答案】BC【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据函数的单调性求参数值、函数新定义【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，由题，因为函数在区间与0,+∞上均为增函数，若存在跟随区间则有，即为的两根．即的根，故，故A错误．对于B选项，若为的跟随区间，因为在区间为增函数，故其值域为，根据题意有，解得或，因为故，故B正确．对于C选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递增，此时易得为方程的两根，求解得或.故定义域−1,0，则值域为．故C正确．对于D选项，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，即，因为，所以．易得．所以，令代入化简可得，同理也满足，即在区间0,1上有两不相等的实数根．故，解得，故D错误．故选：BC6．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”.(1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？(2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)是，不是(2)存在，【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可；（2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以是点的界函数；因为，，所以，所以不是点的界函数；（2）因为在函数上，所以，所以，都有.当，即时，在上单调递减，所以，所以，得，解得或（舍去）；当，即时，，所以，无解；当，即时，，所以，无解；当，即时，在上单调递增，所以，所以，得，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”．(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由：(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围