人教版九年级数学下册第12讲 期末总复习 教案讲义及练习

第12讲

期末总复习

概述

适用学科初中数学适用年级初三

1

适用区域新人教版课时时长（分钟）120

知识点1.反比例函数

2.相似

3.锐角三角函数

4.投影与视图

1

教学目标1.理解反比例函数的定义，掌握其图像与性质且会应用

1

1

2.掌握相似三角形的性质与判定，并会应用其解决问题

1

1

3.掌握锐角三角函数的定义及会解直角三角形；并会利用其解决实际问题

1

1

4.理解投影与视图的概念及性质，并会应用其解决实际问题

1

教学重点1.反比例函数的定义、图像与性质

2.相似三角形的性质与判定

3.锐角三角函数、解直角三角形、特殊角三角函数值

4.投影与视图的概念及性质

教学难点1.反比例函数的综合应用2.相似的综合

3.利用解直角三角形解决实际问题

4.投影与视图的应用及计算

【教学建议】

在近几年的中考试卷中逐渐出现了一些新颖的题目，如探索开放性问题，阅读理解问题，

以及与生活实际相联系的应用问题,这些新题型在中考试题中也占有一定的位置，并且有逐

年扩大的趋势.如果想在综合题以及应用性问题和开放性问题中获得好成绩，那么必须具备

扎实的基础知识和知识迁移能力.因此在总复习阶段，必须牢牢抓住基础不放，对一些常见

题解题中的通性通法须掌握.

【知识导图】

我们本节课进行学期末复习，回顾一下我们学习的内容:

1.什么是反比例函数，其性质和图像？

2.相似三角形的性质判定有哪些？

3.锐角三角函数的定义、如何解直角三角形?

4.投影和视图的定义及性质是什么？

--知识讲解-

考点1反比例函数

1.定义：一般地，如果两个变量x,y的关系式可以表示成y#（k为常数且k/O）,那么称y

是X的反比例函数.

2.图像：反比例函数y§（k为常数且k力0）的图像是关于原点对称的双曲线，

当k〉0时，图像位于第一，三象限；

当k〈0时，图像位于第二，四象限，画反比例函数图像的三个步骤是：列表，描点，连线.

3.性质：

当k〉0时，变量x.y同号，双曲线位于第一，三象限，在每个分支上，y随x的增大而解小.

当k〈0时，变量x,y异号，双曲线位于第二，四象限，在每个分支上，y随x的增大而增大.

4.k的几何意义：过反比例函数图形上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴围成的矩

形的面积等于|k|.

5.应用：解决生活中存在的反比例函数的问题.

考点2相似

k__________J

由于1.图形的相似：（1）相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形

（2）相似多边形：边数相同，角分别相等，边成比例

（3）相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例

（4）相似比：①把相似多边形的对应边的比例叫做多边形的相似比

②相似比是1:1的相似图形是全等形

2.三角形相似的判定方法：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

（2）三边成比例的两个三角形相似

（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

（4）两角分别相等的两个三角形相似

3.相似三角形及相似多边形的性质：

（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（2）相似三角形及相似多边形的周长比等于相似比

（3）相似三角形及相似多边形的面积比等于相似比的平方

4.相似三角形的应用：（1）在测量河宽，物高及零件的内径等方面都有重要的应用.

（2）同一时刻的物体的高度与它的影长的比都相等

5.位似：（1）位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边

互相平行，像这样的两个叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

（2）位似变换：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形

的相似比为k,那么与原上的点（x,y）对应的位似图形上的点坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）

考点3锐角三角函数

L/

（-）锐角三角函数:

直角三角形中的边

—锐角三角函数—解直角三角形一实际问题

角关系

1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边的平方

a2+b2=c2

2.如下图，在RtAABC中，NC为直角，则NA的锐角函数为（NA可换成NB）

X定义表达式取值范围关系

a

正弦/4的对边sinA=—0<sinA<1sinA=cosB

sinA=-------------c

斜边（NA为锐角）cosA=sinB

22

余弦bsinA+cosA=1

4的邻边cosA=—0<cosA<1

cosA=-------------c

斜边（NA为锐角）

a

正切4的对边tanA=—tanA>0tanA=cotB

tanA=-------------b

的邻边（ZA为锐角）cotA=tanB

余切btanA=-i-（倒数）

4的邻边cotA=—cotA>0cotA

cotA=-------------a

的对边

4（ZA为锐角）tanA-cotA=1

3.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的

正弦值；

由4+々=90°

得々=90°-4sinA=cos（90°—4）

cosA—sin（90°—a）

4.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的

正切值；

由九个90°

得〃=90°-4tanA=cot（90°—4）

cotA=tan（90°—A）

5.0°、30。、45°、60°、90°特殊角的三角函数值

三角函数0°30°45°60°90°

sina01V2V31

2TT

cosa1V3V210

TT2

tana0V31V3不存在

-3~

cota不存在V31V30

~3~

6.正弦、余弦的增减性

当0°WaW90°时，sina随a的增大而增大，cosa随a的增大而减小

7.正切、余切的增减性

当0°<a<90°时，tcma随a的增大而增大，cota随a的增大而减小

（二）解直角三角形

1.定义：已知边和角（其中必有一边），求未知的边和角.

依据：①边的关系：a2+b2=©2②角的关系：4+/B=90°

③边角关系：三角函数的定义

2.应用举例：

仰角：视线在水平线上方的角

俯角：视线在水平线下方的角

坡度：坡面的铅垂高度和水平宽度的比.

坡角：把坡面与水平面的夹角角坡角

方位角：从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角

如图3,0A、OB、0C、0D的方向角分别是：45°、135°、225°

北

阳3

方向角：正北和正南方向与目标方向线所成的小于90度的水平角

如图4,0A、OB、0C、0D的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东

南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.

阳4

考点4投影与视图

1.投影：从初中数学的角度来说，一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子

叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影平面.

平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯的一束光中的光线.

由平行光线形成的投影.

中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影.

平行投影与中心投影的区别与联系

正投影：投影线垂直于投影面产生的投影.物体正投影的形状，大小与它相对于投影面

的位置和角度有关.

斜投影：投影线不平行于投影面产生的投影.

2.三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形.

视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用

正投影法绘制出来该图形成为视图.

一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投影所得的视图称主视图一一能反映物体的

前面形状.

从物体的上面向下面投影所得的视图称俯视图一一能反映物体的上面形状.

从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图一一能反映物体的左面形状.

还有其他三个视图不是很常用.

三视图就是主视图，俯视图，左视图的总称.

3.投影规则：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等

即：主视图和俯视图的长要相等

主视图和左视图的高要相等

左视图和俯视图的宽要相等.

4.三视图一画法：

在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的

组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面，相切合相交的特殊位置；然后逐个画出形体

的三视图；最后对组合体中的垂直面，一般位置面，邻接表面处于共面，相切或相交位置的

面，线进行投影分析.当组合体中出现不完整形体，组合柱或复合型体相贯时，可用恢复原

形法进行分析.

（1）进行形体分析

把组合体分解为若干形体，并确定它们的组合形式，以及相邻表面间的相互位置.

（2）确定主视图

三视图中，主视图是最主要的视图.

①确定放置位置

要确定主视投影方向，首先解决放置问题.选择组合体的放置位置以自然平稳为原则.

并使组合体的表面相对于投影面尽可能多地处于平行或垂直的位置.

②确定主视投影方向

选择最能反映组合体的形体特征及各个基本体之间的相互位置，并能减少俯，左视图上

虚线的那个方向，作为主视图投影方向，图中箭头所指的方向，即为选定的主视图投影方向.

（3）选比例，定图幅

（4）画法

根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图.画形体的顺序：一般先实（实形体）后

空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节.画每个形体时，

要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图.

对称图形，半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线.对称中心线

和轴线用细点划线画出.

三、例题精析

类型一反比例函数

正比例函数ymkix的图象与反比例函数yz="的图象相交于A,B两点，其中点B的横坐标为

X

-2,当yi<y?时，x的取值范围是（）

A.x<-2^<x>2B.x<-2或0<x<2

C.-2<x<0或0<x<2D.-2<x<0或x>2

【解析】解：..•正比例和反比例均关于原点0对称，且点B的横坐标为-2,

...点A的横坐标为2.

观察函数图象，发现：

当x<-2或0<x<2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，

...当yi<yz时，x的取值范围是x<-2或0<x<2.

故选B.

【总结与反思】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再

根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论.

类型二相似

如图，已知四边形ABCD内接于00,A是BDC的中点，AELAC于A,与。。及CB的延长线交

于点F、E,且前二俞.

(1)求证:AADC^AEBA；

(2)如果AB=8,CD=5,求tan/CAD的值.

•o

B

【解析】解：(1)证明：•••四边形ABCD内接于。0,

ZCDA=ZABE.

,/BF=AD,

ZDCA=ZBAE.

/.△ADC^AEBA；

(2)解：：A是病的中点，

AAB=AC

；.AB=AC=8,

V△ADCAEBA,

nrAC

：.ZCAD=ZAEC,—,

ABAE

目口

即5-=—8,

8AE

AAE=y,

tanZCAD=tanZAEC=—=皋=±

A"T8

【总结与反思】(1)欲证△ADCS^EBA,只要证明两个角对应相等就可以.可以转化为证

明且前二右就可以；

(2)A是金的中点，的中点，则AC=AB=8,根据△CADs^ABE得到/CAD=NAEC,求得AE,

根据正切三角函数的定义就可以求出结论.

类型三锐角三角函数

计算：(_｝。+(1-1*一,即45。-V3|

【解析】解：原式=1+3X等-|1—遮|

=1+2/-V3+1

=2+V3.

【总结与反思】本题涉及零指数幕、负整数指数累、特殊角的三角函数值、二次根式化简四

个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结

果.

类型四投影与视图

如图，按照三视图确定该几何体的全面积是(图中尺寸单位：cm)()

A.40Jicm2B.65Jicm2C.80ncm2D.105ncm2

【解析】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何

体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为8cm,底面半径为10+2=5cm,

故表面^R=nrl+nr2=nX5X8+nX52=65ncm2.

故选：B.

【总结与反思】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状,

确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积.

四、课堂运用

1.一个反比例函数在第二象限的图象如图所示，点A是图象上任意一点，AMLx轴，垂足

为M,0是原点，如果AAOM的面积是3,求这个反比例函数的解析式是（）

2.如图，已知4ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）

—cos30°+cos450+sin60°cos60°

(1)22

（2）A/2sin300+tan60°-cos450+tan30°

5.画出DE在阳光下的影子图中AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m,某一时刻AB

在太阳光下的投影BC二3nl.在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,计

算DE的长.

D

A

答案与解析

1.【答案】解：由题意得，k<0,f=3,

故可得：k=-6,即函数解析式为：y=--X.

故选D.

【解析】在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构

成的三角形的面积是手，且保持不变.

2.【答案】D.

【解析】如图，过B点作BDXAC,由勾股定理得AB=V12+32=V10,AD-V22+22=2<2,

所以c°sA嘿=哈=等故答案选D.

【解析】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误;

B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；

C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；

D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；

故选：B.

1

—cos30°+cos45°+sin60°cos60°

4.【答案】（1）22

1V3V2V2V31

=­x-------+--------X--------+--------X—

222222

2百+2

4

1+73

2

=(27)A/+2s6in3一00+*ta=n60°-cos450+tan30°

4如

二亍.

【解析】(1)先将各个特殊角的三角比的值代入，然后计算，合并即可;

(2)先将各个特殊角的三角比的值代入，然后计算，合并即可.

5.【答案】10m.

【解析】解：(1)DE在阳光下的投影是EF如图所示；

(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,

1."△ABC^>ADEF,AB=5m,BC=3m,EF=6m

.AB_DF

'9BC~EF

.5_DE

*-3—6

:・DE=10(m)

答：DE的长为10m.

1.如图已知函数y=-5与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1.则

关于x的方程Q%26%+-=0的解是

+X

2.一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正

3.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点

E.

(1)求证：AG=CG.

(2)求证：AG2=GE«GF.

4.如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点0）20米的点A沿A0方向行走14米到点C

处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处.

（1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成

的影子N的位置.

（2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变

长或变短了多少米？

D、B.

OCAM

答案与解析

1.【答案】x=-3.

【解析】：P的纵坐标为1,

R-氏

x=-3,

ax2+bx+1=0化为于x的方程ax°+bx=的形式，

...此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，

x=-3.

2.【答案】D.

【解析】根据所给出的图形和数字可得：主视图有3歹IJ,每列小正方形数目分别为3,2,3,

则符合题意的是D；

3.【答案】解：（1）：四边形ABCD是菱形，

；.AB〃CD,AD=CD,NADB=NCDB,

.•.ZF=ZFCD,

'AD=CD

<NADG=NCDG

在AADG与ACDG中，DG=DG,

/.AADG^ACDG,

.-.ZEAG=ZDCG,

.*.AG=CG；

（2）VAADG^ACDG,

ZEAG=ZF,

VZAGE=ZAGE,

AAAEG^AFGA,

AG_EG

.-.FG=AG,

.•.AG-GE»GF.

【解析】根据菱形的性质得到AB〃CD,AD=CD,ZADB=ZCDB,推出△ADGgzXCDG,根据全等

三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到NEAG=/DCG,等量代换得到N

EAG=ZF,求得△AEGs/iFGA,即可得到结论.

4.【答案】同解析.

【解析】解：(1)如图

(2)设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米

由解得X=5,

X+ZUo

由,解得y<5.

.*.x-y=5-1.5=3.5

...变短了，变短了3.5米.

1.如图，过点0、A(1,0)、B(0,V3)作。M,D为。M上不同于点0、A的一点，则/

A.60°B.60°或120℃.30°D.30°或150°

2.如图，在直角坐标系中，RtZiABC位于第一象限，两条直角边AC、AB分别平行于x轴、y

轴，点A的坐标为(1,1),AB=2,AC=3.

(1)求BC边所在直线的解析式；

(2)若反比例函数y=?(x>0)的图象经过点A,求m的值;

(3)若反比例函数，=三0>0)的图象与4人1^有公共点，请直接写出n的取值范围.

3.如图在RtZkABC中，ZACB=90°,D是边AB的中点，BEXCD,垂足为点E.已知AC=15,

.3

cosA—.

5

(1)求线段CD的长；

(2)求sinZDBE的值.

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】解：连接AB,0M.

•；ZA0B=90°,

/.AB经过M点,

.\AB=VOA2+OB2=2,

.\AM=OM=OA=1,

...△OAM是等边三角形，

贝|JNOMA=6O。.

.1.Z0DA的度数为30。或150°.

2.【答案】同解析.

【解析】解：(1).••Rt^ABC位于第一象限，两条直角边AC、AB分别平行于x轴、y轴,

点A的坐标为(1,1),AB=2,AC=3,

AB(1,3),C(4,1),

设直线BC的解析式为y=kx+b(kWO),

[k+b=311

.•.l4k+b=l,解得[-3,

；.BC边所在直线的解析式为：y=-|x+f；

(2)..•反比例函数y=?(K>0)的图象经过点A(1,1),

・・m=l；

(3):反比例函数y=?的图象与△ABC有公共点，

，当函数经过A(1,1)时，n=l；

当函数图象经过点C(4,1)时，n=4,

当反比例函数与线段BC相切时，设丫=巴过BC上一点(a,-|a+v)，

/％33

2

则n=a（_|a+.）=一2电（一11）\,121

,_121

・・n最大---.

24

•••々nW詈.

3.【答案】同解析.

【解析】解：（1）VAC=15,cosA=|,

15

.・.cosAA=—=3

AB5

.\AB=25,

•..△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，（或12.5）；

,.,BC2=AB2-AC2=400

AD=BD=CD=T25'

・••设DE=x,EB=y,

.•.y2+x2=y,（x+y）”=400,

解得x=5

7

••nr?DE27

..sinZ/DnBE=—=-nq-=—

BD—25

2

五、课堂小结

1.反比例函数的图像和性质

2.反比例函数的综合应用

3.相似的概念和性质

4.相似三角形的性质和判定

5.相似三角形的应用

6.锐角三角形的定义

7.解直角三角形

8.解直角三角形的应用

9.投影和视图

六、课后作业

1.一个立体图形从上面看是1—1图形，从正面看是图形，这个立体图

形是（）

A.ffAc.D,强

2.如图是反比例函数y=§和正比例函数y=mx的图象，那么km的值—0.（填">","="

格线的交点）.

（1）将AABC向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到AA1B1C1,请画出AA1B1C1；

（2）请在网格中将aABC以A为位似中心放大3倍，得AAB2c2,请画出&AB2c2

答案与解析

1.【答案】B.

【解析】解：由这个立体图形的俯视图和主视图可知，

这个立体图形是B中的图形，故选：B.

2.【答案】<.

【解析】图形解：由图象可知正比例函数经过二四象限，故m<0,

反比例函数的图象位于一三两个象限，故k>0,

km<0,

3.【答案】4.

【解析】所以可解：•；a〃b〃c,

（ABDEQi-t4.5

**BC~EFf1-3.5'

解得，AB=3,

；.AC=AB+BC=4,

4.【答案】j.

【解析】解：连接AC,

由网格特点和正方形的性质可知，ZBAC=90°,

根据勾股定理得，AC=V2,AB=2V2,

5.【答案】同解析.

【解析】解：如图所示：（1）Z\ABC,即为所求;

1.如图，在矩形ABCD中，CELBD于点E,BE=2,DE=8,则tan/ACE的值为()

2.如图，已知反比例函数y=?的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点(1,4)和

点B(n,-2).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围.

3.如图，AABC中，CD是边AB上的高，且当=当

CDBD

(1)求证：AACD-ACBD；

(2)求NACB的大小.

4.为了打通抚松到万良的最近公路，在一座小山的底部打通隧道.甲、乙两施工队按如图

所示进行施工，甲施工队沿AC方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边E处沿射线CA

方向同时施工.从AC上的一点B,取/ABD=155°,经测得BD=1200m,ZD=65°,求开挖点

E与点B之间的距离（结果精确到1m）.【参考数据：sin65°=0.906,cos65°=0.423,

tan65°=2.145.】

155；

A~B

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】解：设AC和BD相交于点0,

VBD=BE+DE=10,.\0B=0C=5.

VBE=2,.\0E=3.

在RtAOCE中，CE=VOC2-OE2=V52-32=4,

nrR

...tanNACE=—=

CE4

故选C.

2.【答案［（1）y=4/x；y=2x+2；（2）xV-2或OVxVL

【解析】解：（1）・・•反比例函数y=m/x的图象过点A（1,4）,

4=m/L即m=4,.,.反比例函数的解析式为：y=4/x.

•反比例函数y=4/x的图象过点B(n,-2),

；.-2=4n,解得：n=-2AB(-2,-2).

:一次函数y=ax+b(k#0)的图象过点A(1,4)和点B(-2,-2),

a+b—4,-2a+b=-2,解得a=2,b=2.

.,.一次函数的解析式为：y=2x+2；

(2)由图象可知：当x<-2或0<x<l时，一次函数的值小于反比例函数的值.

3.【答案】同解析.

【解析】⑴证明：:CD是边AB上的高，且罢=需，

.'.△ACD^ACBD；

由(1)得△ACDs/\CBD,

ZA=ZBCD,

又：/A+/ACD=90°,

.•.ZBCD+ZACD=90°,即NACB=90°.

4.【答案】约为1087m.

【解析】解：