2021年北京四中中考数学统练试卷四（附答案详解）

2021年北京四中中考数学统练试卷（4）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.函数y=S=中，自变量x的取值范围是（）

A.xO3B.x>3C.x>3D.x<3

2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.1,V3,2B.1,1,2C.2,3,4D.4,5,6

3.下列各式中与鱼是同类二次根式的是（）

A.76B.V9C.V12D.V18

4.如图，将DABC。的一边8C延长至点E,若41=55°,贝叱A=D

（）

A.35°

B.55°

C.125°

D.145°

5.在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）

A.两组对边分别平行B.一组对边平行且另一组对边相等

C.两组邻边相等D.对角线互相垂直

6.若最简二次根式旧个与最简二次根式后是同类二次根式，则x的值为（）

A.%=0B.x=1C.x=2

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4（0,2）,8（4,0）,

点N为线段A8的中点，则点N的坐标为（）

A.（1,2）

B.（4,2）

C.(2,4)

D.（2,1）

8.如图，RMABC中，AB=18,BC=12,LB=90°,

将△ABC折叠，使点A与BC的中点O重合，折痕为

MN,则线段BN的长为（）

A.8

B.6

C.4

D.10

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.如图，在。A8CO中，BC=9,AB=5,BE平分乙4BC交AO于点E,则OE的长为

10.如图，在矩形A8C。中，对角线AC,8。相交于点O,若

Z.BOC=120°,AB=3,则8C的长为.

11.比较大小：旦0.5.

2

12.如果一个无理数4与g的积是一个有理数，写出。的一个值是.

13.已知：线段A8,BC.

求作：平行四边形ABCD

以下是甲、乙两同学的作业.

甲：

①以点C为圆心，长为半径作弧；

②以点A为圆心，8c长为半径作弧；

③两弧在BC上方交于点，连接A。，CD.

四边形ABCO即为所求平行四边形.（如图1）

乙：

①连接4C,作线段AC的垂直平分线，交4c于点M；

②连接并延长，在延长线上取一点，使MD=MB,连接4。，CD.

四边形ABCD即为所求平行四边形.（如图2）

第2页，共22页

老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢的作法，他的作图依据是:

14.如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DFJ.

4E于点F,且满足DF=4B.下面结论：®△DFF=A

DEC；②S-BE=SAADF；@AF=AB；④BE=AR其

中正确的结论是.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

15.计算.

(1)(1-7r)0+|V2-V3|-V12+G)T；

(2)(V3-2)2+V12+6£

四、解答题(本大题共7小题，共56.0分)

16.按要求解下列方程：

(1)/-2021X=0；

(2)x2-4x-8=0.(配方法)

17.如图，在。4BC£＞中，BE平分乙ABC,交与点E,DF

平分N4DC,交BC于点尸，那么四边形BFDE是平行四

边形吗？请说明理由.

18.如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边C。上的任意一点,

点P为线段AE的中点，连接8P并延长与边AD交于点F,

点M为边C。上的一点，且CM=DE,连接FM.

(1)依题意补全图形;

(2)求证NDMF=乙ABF.

19.如图所示，四边形ABC。为菱形，AB=2,^ABC=60°,点E为边BC上动点(不

含端点)，点8关于直线AE的对称点为点凡点G为。尸中点，连接AG.

(1)依题意，补全图形；

(2)点E运动过程中，是否可能EF〃4G?若可能，求BE长：若不可能，请说明理

第4页，共22页

由；

(3)连接CG,点E运动过程中，直接写出CG的最小值.

20.在平面直角坐标系xOy中，如果点A,点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A,

C在直线y=x上，那么称该菱形为点A,C的“极好菱形”.如图为点A,C的“极

好菱形”的一个示意图.

已知点M的坐标为(1,1),点P的坐标为(3,3).

⑴点£(2,1),尸(1,3),6(4,0)中，能够成为点知/的“极好菱形”的顶点的是

(2)如果四边形MNPQ是点M,P的“极好菱形”.

①当点N的坐标为(3,1)时，求四边形MNPQ的面积；

②当四边形MNP。的面积为8,且与直线＞=%+6有公共点时，写出b的取值范

围.

21.如果关于x的一元二次方程+以+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一

个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论:

设其中一根为3则另一个根为2f,因此“/+bx+c=。(％-t)(x-2t)=Q/-

2

3atx+2t20所以有力2-2ac=0；我们记“K=b-gac”即K=0时，方程Q/+

bx+c=0为倍根方程.

下面我们根据此结论来解决问题：

(1)方程①2/一3x+1=0；方程②/-2x-8=0；方程③彳2+x=~l，这儿

个方程中，是倍根方程的是(填序号即可)；

(2)若(x-l)(mx-n)=0是倍根方程，则詈的值为.

22.(1)小My同学在网络直播课中学习了勾股定理,他想把这一知识应用在等边三角形

中：边长为〃的等边三角形面积是(用含a的代数式表示)；

(2)小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形(不重叠、无

缝隙)？

①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形,那么该三角形边长的平方是

②小My同学按下图切割方法将正方形4BC。剪拼成一个等边三角形EFG：M、N

分别为AB、CD边上的中点,尸、。是边BC、AO上两点,G为MQ上一点，且NMGP=

乙PGN=乙NGQ=60°.

第6页，共22页

请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号;

③正方形ABCD的边长为2,设BP=x,则

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：••・有意义的条件是：%-3>0.

x>3.

故选：B.

根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0,求出即可.

此题主要考查了函数变量的取值范围，此题是中考考查重点，同学们应重点掌握，特别

注意根号下可以等于。这一条件.

2.【答案】A

【解析】解：4:乎+（g）2=22,

二以1,V3,2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；

1+1=2,不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，

故本选项不符合题意；

C、•:22+32*42,

.・•以2,3,4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

£（、•••42+52工62,

二以4,5,6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：A.

根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系定理逐个判断即可.

本题考查了勾股定理的逆定理和三角形三边关系定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容

是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边〃、b的平方和等于第三边c的平方，

那么这个三角形是直角三角形.

3.【答案】D

【解析】解：人乃与夜不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

B、V9=3.与或不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

C、V12=2V3,与鱼不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

/18=3V2，旧与鱼是同类二次根式，故本选项符合题意；

故选：D.

根据同类二次根式的定义逐个判断即可.

第8页，共22页

本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键,

注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫

同类二次根式.

4.【答案】C

【解析】解：,四边形是平行四边形，Z.A=/.BCD,

zl=55°,

•••乙BCD=180°-Z1=125°,

NA=乙BCD=125°.

故选：C.

根据平行四边形的对角相等得出乙1=乙BCD,再根据平角等于180。列式求出NBC。=

125°,即可得解.

本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，熟记平行四边形的性质是解题的

关键.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关

键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②

两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边

形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平

行四边形.

根据平行四边形的判定定理逐个判断即可.

【解答】

解：4两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；

B.一组对边平行且另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，不是平行四边形，故本选

项不符合题意；

C.两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；

D对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；

故选：A.

6.【答案】D

【解析】解：•••最简二次根式VF与与最简二次根式后是同类二次根式，

二x+3=2x,

解得：x=3,

故选：D.

根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可.

本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出％+3=2%

是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么

这几个二次根式叫同类二次根式.

7.【答案】D

［解析］解：过N作NE1y轴，NF1x轴，

•••点4(0,2),8(4,0),点N为线段AB的中点,

NE=2,NF=1,

•・•点N的坐标为(2,1),

故选：D.

根据三角形的中位线定理和坐标解答即可.

本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的中位线定理和坐标解答.

8.【答案】A

【解析】解：设BN=x,由折叠的性质可得DN=4N=18-x,

・・•。是的中点，

•••BD——6,

在RMNBD中,x2+62=(18-%)2,

解得x=8.

即BN=8.

故选：A.

设=则由折叠的性质可得DN=4N=18—x,根据中点的定义可得BC=6,在

RtABND中,根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.

本题考查了翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想,

综合性较强.

第10页，共22页

9.【答案】4

【解析】解：•.•四边形A3。为平行四边形，

：.AE//BC,

・•・Z.AEB=乙EBC,

・••8E平分N48C,

:.Z.ABE=乙EBC,

Z.ABE=乙AEB,

:.AB=AE,

vBC=9,CD=5,

・・・0E=4D—4E=9—5=4.

故答案为：4.

根据四边形4BCD为平行四边形可得AE〃BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可

得出乙4BE=AAEB,继而可得4B=AE,然后根据已知可求得DE的长度.

本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质

得出NZBE=4AEB.

10.【答案】3V3

【解析】解：•.・ZBOC=120。，

・•・Z.AOB=60°,

・・•四边形ABC。是矩形，

/.^ABC=90°,AC=BD,AO=OC,BO=DO,

・•・AO=BO,

・・.△AOB是等边三角形，

・•・AB=AO—BO,

-AB=3,

・•・AO=3,

:.AC—2AO=6,

由勾股定理得：BC=Vi4C2—AB2=V62-32=3V3，

故答案为：3V

根据矩形的性质求出力C=240,AO=8。，根据等边三角形的判定得出△40B是等边

三角形，求出=4。=3,求出AC,再根据勾股定理求出BC即可.

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定

理进行推理是解此题的关键.

11.【答案】>

【解析】解：0.5=52<V5<3>

V5-1>1,

故答案为：>.

首先把0.5变为手然后估算病的整数部分，再根据比较实数大小的方法进行比较即可.

此题主要考查了实数的大小比较.此题应把0.5变形为分数，然后根据无理数的整数部

分再来比较即可解决问题.

12.【答案】百（答案不唯一）

【解析】解：•••V12=2V3,

无理数。与VH的积是一个有理数，”的值可以为：声（答案不唯一）.

故答案为：旧（答案不唯一）.

直接化简二次根式，进而得出符合题意的值.

此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键.

13.【答案】甲或乙两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边

形是平行四边形

【解析】解：①甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

②乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形.

故答案为：甲或乙，两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边

形是平行四边形.

根据平行四边形的判定方法即可解决问题.

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

14•【答案】①②④

第12页，共22页

【解析】解：•.,四边形ABC。是矩形，

AZC=Z-ABE=90°,AD“BC,AB=CD,

vDF=AB,

・•・DF=CD,

DF1AE,

・・・/,DFA=Z.DFE=90°,

在Rt△DEF和Rt△OEC中，，怨=丝，

^DF=DC

：.Rt△DEF=Rt△DEC(HL),①正确；

,:AD]IBC,

•1•Z.AEB=Z.DAF,

,/.ABE=/.DFA

在△力BE和△DFA中，\LAEB=^.DAF,

.AB=DF

*,•△ABE=/^DFALAAS'),

,SAABE=SAADF;②正确；

■.BE=AF,④正确，③不正确：

故答案为：①②④.

证明Rt△DEFmRt△DEC得出①正确；在证明△ABENA。凡4得出S0BE=^ADF-②正

确；得出BE=4F,④正确，③不正确；即可得出结论.

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明

三角形全等是解题的关键.

15.【答案】解：(1)(1-Jr)0+|V2-V3|-V12+

=1+V3-V2-2V3+V2

=1—V3;

(2)(V3-2)2+V12+6j1

=3-4V3+4+2V3+2>/3

=7.

【解析】(1)根据零指数幕、绝对值、负整数指数幕、二次根式化简，再计算加减法即

可求解；

(2)根据完全平方公式、二次根式化简，再计算加减法即可求解.

本题考查了实数的运算，关键是熟练掌握零指数幕、绝对值、负整数指数累、二次根式

化简和完全平方公式.

16.【答案】解：(l)x2-2021x=0,

x(x-2021)=0,

x=0或x—2021=0,

=

尤1=0,x22021；

(2)X2-4X-8=0,

x2-4x=8,

x2—4%+4=8+4,

(%-2)2=12,

x—2=+2V3>

x1=2+2通，x2=2-2^3.

【解析】(1)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.

17.【答案】证明：在平行四边形A8CZ)中，AD//BC,

Z.AEB=Z.CBE,

又8E平分乙4BC,

•••Z.ABE=乙EBC,

•••乙4BE=4AEB,即4B=AE,

同理CF=CD,

又AB=CD,CF=AE,

BF=DE,

二四边形EBFD是平行四边形，

【解析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得AB=4E,CF=CD,进而可得四

边形E8FO是平行四边形，即可得出结论.

本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质问题，要熟练掌握，并能够求解一些

简单的计算、证明问题.

18.【答案】(1)解:如图所示，

第14页，共22页

・••点产为线段AE中点,

・•・AP=PE,

♦:AB"CD,

:,乙PEN=^PAB,Z2=Z/V,

・・•在△4P8和^EPN中，

22=乙N

・・•Z.PAB=乙PEN,

PA=PE

•••△APB为EPN(44S),

••.AB=EN,

••AB=CD=EN,

•：EN=DN+DE,CD=DM+CMf

・・•DE=CM,

ADN=DM,

vFD1MN,

:.FN=FM,

:.zJV=zl,

・・・zl=z2,

BIJzDMF=Z-ABF.

【解析】(1)按要求画图；

(2)延长8尸交CD的延长线于点M首先证明AAPB和AEPN全等，得到EN=AB,再

根据已知条件证明FN=FM,可得结论.

本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三

角形的判定和性质，还考查了根据几何语言准确作图的能力.

19.【答案】解：(1)图形如图1所示：

图1

(2)如图1中，结论：不可能.

理由：连接8D.

•••四边形ABC。是菱形，

/.ABC=/.ADC=60°,AB=AD,

Z.ADB=4BDC=30°,

•••点B关于直线AE的对称点为点F,

AF=AB=AD,/-AFE=AABE=60°,

•.•点G为。F中点，

・•・FG=DG,

AGJ.DF,

若EF//AG,RijEFlDF,

・•・乙EFG=90°,

・•・Z.AFG=30°,

•・•Z.AFD=Z-ADF,

・•・4ADF=30°,

・•・乙ADB=4ADF,此时点尸与5重合，不符合题意,

不可能存在EF〃4G.

(3)如图2中，取A。的中点T,连接GT,CG,CT,AC.

第16页，共22页

T

B

图2

・・•四边形A8CD是菱形，

:.乙B=Z-ADC=60°,DA=DC,

・・・△4C。是等边三角形，

-AT=TDf

ACTLAD,

・•・CT=CD-s讥60。=百，

•.MGIDF,

・•・乙4GD=90°,

•:AT=TD,

:・TG=-AD=1,

2

vCG>CT-GT,

：•CGNV3-1，

•••CG的最小值为遮一1.

【解析】(1)根据题意画出图形即可.

(2)如图1中，结论：不可能.连接BD.只要证明平行时，点E与3重合，不符合题意即

可.

(3)如图2中，取AD的中点T,连接GT,CG,CT,ZC.解直角三角形求出CT,GT,

根据CG<CT-GT,求出CG的最小值即可.

本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解

直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

20.【答案】⑴尸、G；

(2)①如图2,vP(3,3),N(3,l),

MN=2,PN1MN,

•••四边形MNP。是菱形，

四边形MNPQ是正方形,

S四边形MNPQ=2x2=4

②如图3,•••点M的坐标为(1,1),点P的坐标为(3,3),

PM=2VL

•.•四边形MNPQ的面积为8,

,,,S四边形MNPQ=-QN=8,

即2遮xQN=8,

•••QN1MP,ME=\[2,EN=2或，

作直线QN,交x轴于A,

1,•

•••0M—V2,

0E=2\/2>

•••时和「在直线丫=%上，

•••AMOA=45°,

.•・△E04是等腰直角三角形，

•1•EA=2夜，

二4与N重合，即N在x轴上，

同理可知：Q在y轴上，且0N=0Q=4,

由题意得：四边形MNPQ与直线y=x+b有公共点时，。的取值范围是一4WbW4.

第18页，共22页

【解析】解：(1)如图1中，观察图

象可知：尸、G能够成为点M,P的

“极好菱形”顶点.

故答案为：F,G；

(2)见答案；

(1)如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M,P的“极好菱形”顶点.

(2)①如图2中，根据已知三点的坐标可得极好菱形为正方形，根据正方形面积公式可

得结果：

②根据菱形的性质得：PM1QN,且对角线互相平分，由菱形的面积为8,且菱形的面

积等于两条对角线积的一半，可得。N的长，证明。在y轴上，N在x轴上，可得结论.

本题是二次函数的综合题，考查了菱形的性质、正方形的判定、点M,P的“极好菱形”

的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，属于中考创新题目.

21.【答案】①③4或1

【解析】解：(1)在方程①2/—3x+l=0中，K=(—3＞一］x2xl=0；

在方程②/一2%—8=0中，K=(-2)2-|x1x(-8)=40羊0；

在方程③/+x=-]中，/f=l2-；xlx^=0,

9L9

・•・是倍根方程的是①③.

故答案为：①③.

(2)整理(x-l)(mx-n)=0得：mx2-(m+n)x+n=0,

•・・(％-l)(mx-n)=0是倍根方程，

・•・K=[—(m+n)]2—-n=0,

:.m2—|mn+n2=0,HP2m2-5mn+2n2—0,

A(2m—n)(m—2n)=0,

••・2m—n=0或m—2n=0,

・•・m=[九或m=2n,

・•噂的值为4或1,

故答案为4或1.

(1)根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出结论；

(2)将方程(刀—2)(>1¥+")=0整理成一般式，再