专题23轴对称平移旋转（讲义）

专题23轴对称、平移、旋转1.通过实例理解轴对称、旋转、平移的概念，探索它们的性质；2.理解轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对称图形的概念，并探索它们的性质；3.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形、平移图形。4．运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。考点1：轴对称轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．考点2：平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．注：决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．2.平移的性质：(1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等．(3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．考点3：旋转1.旋转的概念和性质（1）将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.（2）一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.2.中心对称与中心对称图形（1）一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．（2）成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.（3）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【题型1：平移】【典例1】在平面直角坐标系中，已知，将线段平移后得到线段，点A、B的对应点分别是点、．若点的坐标为，则点的坐标为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握平移变换的规律是解题的关键．先通过点B的对应点为D，进而确定平移方式，然后利用平移变换的规律即可解答．【详解】解：∵，，∴点向右平移4个单位，向下平移3个单位得点，∴点向右平移4个单位，向下平移3个单位得点．故选：B．1．如图，要将图①中的图形N平移后得到图②，则下列关于图形N的平移方法中，正确的是（

）A．向下平移1格 B．向上平移1格C．向上平移2格 D．向下平移2格【答案】D【解析】略2．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为．【答案】【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键．根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的性质求出，计算即可．【详解】解：∵四边形为边长为的正方形，∴，由平移的性质可知，，∴，故答案为：．3．如图，将沿直线AB向右平移后到达的位置．若，，则的度数为．【答案】30°【详解】在中，，∴，∴．4．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上．(1)画出关于直线的对称图形；(2)把向右平移一个单位长度得到，设上一点在对应点为．在对应点为，设到的距离为，则________（用表示）．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了轴对称作图，平移的性质和轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和平移的性质，数形结合．（1）先作出点A、B、C关于的对称点、、，然后顺次连接即可；（2）根据平移和轴对称的性质进行解答即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形．（2）解：∵与点P关于对称，到的距离为，∴到的距离为a，∵向右平移一个单位长度得到，∴到的距离为，∴．故答案为：．【题型2：轴对称】【典例2】下列标志中，是轴对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该标志是轴对称图形，故此选项符合题意；D．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，故本选项符合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选B．2．点与点关于x轴对称，则．【答案】4【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得m的值．【详解】解：∵点与点关于x轴对称，∴，解得．故答案为：4．3．如图，在中，，，在中，，，点是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形，等边三角形的性质先确定点P是等腰对称轴上一点，再构造将军饮马模型得到的最小值为的长，从而使问题得到解决．【详解】连接，

∵是等腰三角形，，是的角平分线，∴所在直线为等腰对称轴，点B与点C关于对称，∴，∴，即的最小值为的长．∵是等边三角形，∴，∴的最小值为．故答案为：．4．如图所示，在直角坐标系中，，，．

(1)在图中作出．使得和关于y轴对称：（不写画法）；(2)求点，，，的坐标；(3)求出的面积．【答案】(1)见解析(2)，，(3)5【分析】此题主要考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称与坐标变换的规律并正确确定组成图形的关键点的对称点位置是解题的关键．（1）首先确定三个顶点的对称点位置，再连接即可；（2）利用坐标系可写出点，，的坐标；（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：由（1）可得，，，；（3）解：的面积．【题型3：旋转】【典例3】如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，那么的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，就可以得出，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．【详解】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，

，．作轴于，轴于，．，，．在和△中，，，∴，．∵，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得是解决问题的关键．1．如图，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，此时点恰好落在边上，若点是的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．由矩形的性质得，，由旋转的性质得，，然后利用锐角三角函数的知识即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，．由旋转的性质得，．∵点是的中点，∴．∵，∴，∴．故选C．2．如图，在中，．以点为中心；将逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及扇形面积公式的应用，根据阴影部分的面积是（扇形的面积的面积）（的面积扇形的面积），代入数值解答即可，解题的关键是熟练掌握以上所学知识的应用．【详解】∵在中，，，∴由勾股定理得：，，由旋转性质可知：，∴，∴阴影部分的面积为（扇形的面积的面积）（的面积扇形的面积），，故答案为：．3．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为．【答案】15【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先由旋转的性质得到，进而得到，再由平行线的性质得到，即可得到答案．【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：15．4．如图，三个顶点的坐标分别为，，．(1)请画出关于原点成中心对称的；(2)请画出绕点B顺时针旋转后的，并写出点的坐标；(3)求出（2）中C点旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和π）．【答案】(1)见解析(2)图见解析，的坐标；(3)【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，弧长公式,勾股定理等知识，（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点，即可；（3）利用弧长公式求解即可．掌握轴对称变换，旋转变换的性质，弧长公式是解题的关键．【详解】（1）解：如图，即为所求作；（2）解：如图，即为所求作，；（3）解：，即C点旋转到点所经过的路径为圆心角时，半径是的弧，路径长为：答：路径长为．【题型4：中心对称】【典例4】若点与关于原点对称，则的值为（

）A．1 B． C．5 D．【答案】C【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横、纵坐标都护卫相反数，求出、的值，再代入计算即可．【详解】解：点与关于原点对称，，，，故选：C．1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．【详解】A.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；C.符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；故选：C．2．若点关于原点对称的点是点B，则点B的坐标为．【答案】【分析】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题是解题关键．平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【详解】解：∵点关于原点对称点为点B，∴点B的坐标为．故答案为：．3．在平面直角坐标系中，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是，和．现要在其他点的位置上添加一颗棋子P，使以A，O，B，P为顶点的四边形是一个中心对称图形，则棋子P的坐标为．【答案】或或【解析】略4．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点.已知点A、B、C均在格点上，分别按下列要求作一个四边形，使A、BC这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点均在格点上.(1)在图①中作一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形；(2)在图②中作一个四边形，使其既是轴对称图形又是中心对称图形.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了作轴对称图形，作中心对称图形，对于（1），根据平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，作出图形即可；对于（2），根据菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，作出图形即可．【详解】（1）如图所示，四边形是所求作的图形；（2）如图所示，四边形是所求作的图形．【题型5：图案设计】【典例5】如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（）A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移【答案】D【分析】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断；观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答；【详解】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换，图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移．故选：D．1．如图，图案（1）变成图案（2）是由下列哪种变换而成的(

)

A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换【答案】C【分析】图案旋转变换具备三个要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．【详解】根据观察可知，图案（1）变成图案（2）是由旋转变换而成的．故选C．【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．2．图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为．【答案】16【分析】如图，如图，过点A作AH⊥EF于点H，证明∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°，设OH=x，在Rt△AEH中，利用勾股定理构造一元二次方程，解方程可得结论．【详解】解：如图，过点A作AH⊥EF于点H，∵△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，∴∠AOE=∠AOB=∠BOF，OF=OF=EF=6，∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，∴∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°，设OH=x，则AO=2x，AH=x，在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2，∴142=（x）2+（x6）2，解得x=8或5（负根舍弃），∴OA=16，故答案为：16．【点睛】本题考查利用平移设计图案，全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序实数对表示，如A点为(5，1)，若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（请填写正确答案的序号）①黑(1，5)，白(5，5)；②黑(3，2)，白(3，3)；③黑(3，3)，白(3，1)；④黑(3，1)，白(3，3)【答案】④【分析】利用轴对称图形及中心对称图形的性质解题即可．【详解】解：如图所示，再摆一黑一白两枚棋子：黑（3，1），白（3，3），即可使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，故答案为：④．【点睛】本题考查坐标与图形变化—对称、利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．画一画：世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．

(1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有（分别用三个图的代号、、填空）．(2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形．【答案】(1)、、；和(2)见解析【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解；（2）根据题意，设计图形，使得d是轴对称图形但不是中心对称图形；e既是轴对称图形又是中心对称图形．【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和；（2）解：如图所示

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键．1．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．2．下列四组图形都由两个三角形组成，有一组中的两个三角形可以通过平移其中一个得到另一个，这组图形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，接下来根据平移的定义，结合图形进行判断即可．【详解】解：由平移的概念可知，D中的两个三角形可以通过平移其中一个得到另一个，故选：D．3．如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键．【详解】解：∵的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为，∴点经过的路径长为，故选C．4．在平面直角坐标系中，点P与点Q关于原点O成中心对称，则点O是线段的（

）A．中点 B．三等分点 C．四等分点 D．无法确定【答案】A【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案．【详解】解：点P与点Q关于原点O成中心对称，点O是线段的中点，故选：A．5．如图，图（1）中的三角形有8个，图（2）中的三角形有14个，图（3）中的三角形有20个，…，则图（8）中的三角形有（）A．48个 B．50个 C．56个 D．64个【答案】B【分析】根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2，据此求解可得．【详解】解：∵图（1）中的三角形个数8＝2+6×1，图（2）中的三角形个数12＝2+6×2，图（3）中的三角形个数20＝2+6×3，……∴图（8）中的三角形有2+6×8＝50，故选B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2．6．如图，将沿直线向右平移得到．若，，则的度数为．【答案】80度【解析】略7．已知点与点关于原点对称，则的值为．【答案】0【分析】本题考查点的对称，涉及关于原点对称的坐标特征，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．【详解】解：点与点关于原点对称，，则，故答案为：．8．如图，在长方形中，点E，F分别在边上，沿直线折叠后，C，D两点分别落在平面内的点处．若，则的度数为．【答案】70°【解析】略9．如图所示，在正方形网格中，图①经过变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点(填“A”或“B”或“C”)．【答案】平移A【分析】根据平移和旋转图形的定义作答即可．【详解】观察可得：图①与图②对应顶点的连线互相平行，故通过平移可以得到．根据旋转中心的确定方法：两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A.【点睛】本题主要考查平移和旋转的区别，平移是整体移动而旋转是绕着一定点旋转．10．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为度（写出一个即可）．【答案】60【分析】本题主要考查正多边形的性质，能够熟练计算正多边形的中心角是解题关键．正六边形是中心对称图形也是轴对称图形，中心角是，故而只要旋转角度是的整数倍即可．【详解】解：正六边形的中心角是，∴．故答案为：60．11．如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．(1)写出它的旋转中心；(2)旋转角至少是多少度？(3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）本题考查的是旋转中心的确定；由点旋转后的对应点是其本身，从而可得旋转中心；（2）本题考查的是旋转角；由旋转前后B，D为对应点，所以，的夹角为旋转角，从而可得答案，掌握旋转角的定义是解本题的关键；（3）本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，由旋转前后的对应线段线段可得，从而可得答案；熟记旋转的性质是解本题的关键．【详解】（1）解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点．（2）逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是；（3）∵正方形，∴，由旋转可得：，∴．12．如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,．(1)将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的;(2)将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的;(3)在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题考查图形的平移,扇形弧长公式,勾股定理．（1）根据题意将,,三点横坐标均减得出新坐标连接即可;（2）先确定顺时针旋转的坐标,再确定的坐标,连接即可;（3）点绕点旋转到点所经过的路径为,利用弧长公式求出本题结果．【详解】（1）解:∵,,,∴沿轴向左平移个单位长度的坐标为,,,将连接即可得到,如图:（2）解:∵绕点按顺时针方向旋转,∴,则,∴将连接即可得到,如图:（3）解:∵,,∴,∵绕点旋转到点旋转了,∴的长度为:．13．如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．(1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；(2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查轴对称作图和中心对象作图，选择合适的对称轴或对称中心是解题的关键．（1）先根据题意选择合适的对称轴作图即可；（2）先根据题意选择合适的对称中心作图即可．【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作的图形，（2）如下图所示，即为所求作的图形，14．下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题：

(1)是轴对称图形的有，是中心对称图形的有（分别用图形的代码填空）．(2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律．【答案】(1)①②③④⑤，①③⑤(2)见解析【分析】（1）中心对称图形：图形绕某一点旋后与原来的图形重合；轴对称图形：沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；（2）花瓣个数的奇偶性影响了图形的对称性．【详解】（1）解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知：是轴对称图形的有①②③④⑤，是中心对称图形的有①③⑤．故答案为：①②③④⑤；①③⑤．（2）解：规律：当“花瓣”是偶数个，既是中心对称图形，也是轴对称图形；若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键．15．如图，方格纸中有三个格点，，，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在方格的顶点上．（1）在图甲中作一个三角形是轴对称图形；（2）在图乙中作一个四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）在图丙中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．【分析】（1）根据要求作等腰直角△DEC即可．（2）根据要求作平行四边形ABCD即可．（3）根据要求作正方形AECD即可．【详解】解：（1）如图甲中，△DEC即为所求作．（2）如图乙中，四边形ABCD即为所求作．（3）如图丙中，四边形AECD即为所求作．【点睛】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．1．如果点和点关于直线对称，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了坐标与图形变化，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的相关性质是解答本题的关键．根据题意，利用轴对称的性质构建方程组，求出，的值，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：点和点关于直线对称，，，，故选：．2．下列命题正确的是（

）A．正多边形的外角和为 B．对角线相等的四边形是矩形C．等边三角形是中心对称图形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形【答案】A【分析】根据正多边形的内角和、矩形的判定、正方形的判定及中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：正多边形的外角和为，故A符合题意；对角线相等的四边形不一定是矩形，故B不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C不符合题意；对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故D符合题意；故选：A．【点睛】本题考查正多边形的内角和、矩形的判定、正方形的判定及中心对称图形的定义，熟练掌握相关定理是解题的关键．3．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，然后得到四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．【详解】解：∵沿方向平移得到，∴，，∴四边形的周长的周长，故选：．4．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形为．故选：A【点睛】本题考查了利用旋转设计图案：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案．5．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2024次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形，∴点的坐标为，，四边形是正方形，，连接，如图：

由勾股定理得：，由旋转的性质得：，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，，，，，，，，，发现是8次一循环，则，∴是第253组的最后一个点，点的坐标为，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法．6．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分）拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为.【答案】10【分析】如图所示可将正六边形分为12个全等的直角三角形，阴影部分由两个直角三角形组成，剩余部分由10个直角三角形组成，故此可求得剩余部分的面积．【详解】如图所示：将正六边形可分为12个全等的直角三角形，∵拼成的四边形的面积为2，即阴影部分的面积为2，∴每一个直角三角形的面积为1，∴剩余部分的面积为10．故答案为10．【点睛】本题主要考查的是图形的剪拼，将正六边形分割为12个全等的直角三角形是解题的关键．7．如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间．【答案】2或8或14【分析】本题考查平移性质、切线的判定与性质、锐角三角函数，分点E与C重合时和点E与D重合时，半圆与相切；点O与C重合时，半圆与相切时三种情况，利用平移性质和切线的判定与性质，结合数形结合计算求解即可．运用分类讨论思想是解答的关键【详解】解：∵半圆的直径，∴半圆的半径,①如图1，当点E与C重合时，，则半圆与相切，此时点O运动了，∴运动时间；②如图2，当点E与D重合时，则，∴半圆与相切，此时点O运动了，∴运动时间；③如图3，过C作于F，∵，，∴，当半圆与相切时，O到的距离等于半径，∴点O与C重合，此时点O运动了，∴运动时间综上，当半圆与的边相切时，运动时间2或8或14，故答案为：2或8或14．8．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在一条直线，上，当的周长最小时，点的坐标是，周长的最小值是．【答案】【分析】此题考查了最短路线问题以及运用待定系数法求函数的解析式，作点关于轴对称点点，连接，交轴于点，根据题意确定点的位置是解题的关键．【详解】如图，作点关于轴对称点点，连接，交轴于点，∵，∴两点之间线段最短，则点即为所求；∴，∵，则对称点，设解析式为，∴，解得：，∴解析式为，当时，，则点，∵，∴周长的最小值是，故答案为：，．9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，，则的值为．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，现根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到，即可得到，然后在中根据计算是解题的关键．【详解】∵，，∴，∵，∴，即，∴∴，在中，．10．如图，抛物线与x轴交于，两点，抛物线上点的横坐标为，点坐标为，，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的点，，的对应点分别为点，若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为(点不与点重合)．

【答案】或【分析】本题主要考查二次函数图形与几何图形的综合，中心对称的性质，根据题意，分别求出点的坐标，设，根据旋转的性质，可用含的式子表示出对应点的坐标，分类讨论，①当点在抛物线上时；②当点在抛物线上时；③当点在抛物线上时；列二元一次方程组并求解即可．【详解】解：抛物线与轴交于两点，令，∴，解得，，，∴，，∵点的横坐标为，∴，即，∵将绕点旋转得到对应的（点的对应点分别为，，），且，，，∴设，根据旋转的性质，则点与点关于点中心对称，点与点关于点中心对称，点与点关于点中心对称，∴，，，①当点在抛物线上时，如图所示，

，解方程组得，，∴点，则的坐标为，与点重合，不符合题意；②当点在抛物线上时，如图所示，

，解方程组得，，∴点，则的坐标为，符合题意；③当点在抛物线上时，如图所示，

，解方程组得，，∴点，则的坐标为，符合题意；综上所示，点的坐标为或，故答案为：或．11．在如图所示的平面直角坐标系中，描出下面六个点：，，，，，．(1)到原点O的距离为4的点是______，点E到y轴的距离是______；(2)将点F向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，它与点______重合；(3)若连接CD，则线段CD与x轴的位置关系是______．【答案】(1)A和B，3(2)D(3)平行【解析】略12．如图，三个顶点的坐标分别为、、．

(1)请画出向左平移5个单位长度得到的△；(2)请画出关于原点对称的，并求出的面积；(3)在轴上求作一点，是的周长最小，并直接写出点的坐标：_____．【答案】(1)见解析(2)画图见解析，的面积为(3)画图见解析，【分析】本题考查了作图—平移变换，作图—中心对称，坐标与图形，在网格中求三角形面积，轴对称的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；（2）依据关于原点对称点的坐标特点得出的坐标，然后顺次连接即可，根据正方形的面积减去3个三角形的面积即可求解；（3）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接并根据图象写出点的坐标即可．【详解】（1）解：如图所示；

（2）解：如图所示，

（3）解：如图所示，．

13．在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．(1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；(2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；(3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查做出轴对称图形，全等三角形判定及性质．（1）根据点坐标到直线的距离即可得出；（2）作点关于直线对称点，连接，交于点即可；（3）延长交于点，则即为所求，再利用全等三角形判定及性质即可求出．【详解】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示；（2）作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示；则的周长点即为所求；（3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示：．，，，，，，．即为所求边上的高．14．我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…

(1)观察以图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图117图2212图3317图44___________猜想：在图（n）中，特征点的个数为___________（用n表示）；(2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心的坐标为，则___________；图（2023）的对称中心的横坐标为___________．

【答案】(1)22，(2)，【分析】（1）根据正六边形的性质，结合图形规律，转化为代数的形式．（2）求得对称中心的坐标，探究规律问题.【详解】（1）解：由题意，可知图1中特征点有7个；图2中特征点有12个，；图3中特征点有17个，；所以图4中特征点有个；由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：；故答案：22，．（2）解：如图，过点作轴于点M，

又∵正六边形的中心角，，∴，∴，∴，∴图（1）总的横坐标为，图（2）总的横坐标为，图（3）总的总横坐标为，∴图（n）的总横坐标为，∴图（2023）共有2023个正六边形，总的横坐标是，∴图（2023）的对称中心的横坐标为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查知识点：新运算、图形规律、正六边形性质、等边三角形性质；把图形信息转化为代数形式的信息是解答此题的关键．15．【问题情境】已知四边形和四边形均为正方形，连接，，直线与交于点.如图1，当点在上时，不难得出线段，.【类比探究】如图2，将正方形绕点旋转任意角度.(1)请你判断图1中得到的线段和的关系是否仍然成立，并说明理由；(2)当点在直线左侧时，连接，存在实数满足等式，请求出的值并说明理由；(3)若，，正方形在绕点旋转过程中，当点，重合时，请直接写出线段的长.【答案】(1)图1中得到的线段和的关系仍然成立，理由见解析(2),理由见解析(3)或．【分析】（1）设交于O，证明，得到，由，得到，则，即可证明结论；（2）在BE上取，使得，连接AN、AH，证明，可得求出，则是等腰直角三角形，，则，根据存在实数m满足，即可得；（3）分两种情况画图，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求解．【详解】（1）图1中得到的线段和的关系仍然成立，理由如下：设交于O，四边形和四边形是正方形，，，，在和中，，，，，∴；（2）．理由如下：在上取N,使得,连接，由（1）可知，∴，，，∴，即，是等腰直角三角形，，，存在实数m满足，即；（3）分两种情况：①如图：∵，，四边形与四边形是正方形，，，直线与交于点H，且点F、H重合，点B、E、F在同一直线上，，，，，②如图：，四边形与四边形是正方形，直线与交于点H，且点F、H重合，点B、E、F在同一直线上，，，，，则或．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题关键．1．（2023·江苏·统考中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2023·江苏盐城·统考中考真题）下列图形中，属于中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．由定义可判定A、C、D选项的图形不是中心对称图形，故不符合题意；B选项的图形是中心对称图形，符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键．3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接，相交于点O，与交于点E，

∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，，∴，∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，∴，∴A，，C三点共线，∴，又∵，∴，，∵重叠部分的面积，∴重叠部分的面积；②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，∴，在Rt△BCD中，，在Rt△AOB中，，∵OB＋BD＝OD＝m，∴，化简变形得：3m4−22m2−25＝0，解得：或（舍去），∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．5．（2020·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）

A． B．2 C．2 D．3【答案】A【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为．【答案】【分析】根据平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数的特点解答即可．【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，故答案为．【点睛】此题考查平面直角坐标系轴对称中的坐标变化，平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．7．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是．【答案】（﹣3，﹣2）【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A的坐标为（3，2），∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是．

【答案】【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，∴．旋转3次为一个循环，∵∴点在射线的延长线上，∴点在x轴的正半轴上，∵，是正三角形，∴由旋转的性质可得，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴同理可得，，，∴，∴，∴，∴由旋转的性质可得，，∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，∴，∴，∴，，∴点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为．

【答案】【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，

∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，∴，设，则，则∴即∴∴，∴，∵折叠，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于．【答案】【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【详解】解：取的中点，的中点，连接，，，，将平移5个单位长度得到△，，，点、分别是、的中点，，，即，的最小值等于，故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．11．（2019·江苏淮安·统考中考真题）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．

（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点，点B的对应点为点，请画出平移后的线段；（2）将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为点，请画出旋转后的线段；（3）连接、，求的面积．