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文档简介

高数下第十二章级数一、级数得概念与性质1、级数得定义:(常数项)无穷级数一般项级数得部分和2、级数得收敛与发散:解

收敛

发散

发散

发散

综上解3、基本性质结论:级数得每一项同乘一个不为零得常数,敛散性不变、结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减、证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数得敛散性、证明大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静注意收敛级数去括弧后所成得级数不一定收敛、

收敛

发散证明级数收敛得必要条件:性质5注意1、如果级数得一般项不趋于零,则级数发散;

发散2、必要条件不充分、但发散、二、正项级数及其审敛法2、正项级数收敛得充要条件:定理正项级数3、比较审敛法解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数、证明4、比较审敛法得极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;解原级数发散、故原级数收敛、比值审敛法得优点:不必找参考级数、注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法级数收敛、三、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间得级数称为交错级数、四、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现得级数称为任意项级数、证明上定理得作用:任意项级数正项级数解故由定理知原级数绝对收敛、四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;思考题思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立、例如:收敛,发散.五、函数项级数得一般概念1、定义:2、收敛点与收敛域:函数项级数得部分和3、和函数:解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛、原级数发散、收敛;发散;六、幂级数及其收敛性1、定义:2、收敛性:几何说明收敛区域发散区域发散区域推论定义:正数R称为幂级数得收敛半径、幂级数得收敛域称为幂级数得收敛区间、规定例2求下列幂级数得收敛区间:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛区间为(0,1]、解缺少偶次幂得项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数得收敛区间为3、幂级数得分析运算(收敛半径不变)(收敛半径不变)解两边积分得练习题练习题答案七、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?2、展开式就是否唯一?3、在什么条件下才能展开成幂级数?问题定义泰勒级数在收敛区间就是否收敛于f(x)?不一定、二、函数展开成幂级数1、直接法(泰勒级数法)步骤:(2)验证:例1解由于M得任意性,即得例2解

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