2025版新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程本章达标检测含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE17本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(5,t)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点A与抛物线焦点F之间的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于 ()A.2B.3C.6D.122.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且PF1+PF2=10,那么椭圆C的短轴长是 ()A.6B.7C.8D.93.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点A.a-mB.12(a2C.a2-mD.a2-m24.已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满意PA-PB=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则满意题意的点A.0B.1C.2D.45.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为42,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0A.4B.3C.2D.16.设双曲线x216-y212=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则AF2A.20B.21C.22D.237.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,C是点A关于原点的对称点,若CF⊥ABA.3-1B.2-3C.6-3D.68.设A、B分别是双曲线x2-y23=1的左、右顶点,设过P12,t的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且SQ=2QTA.91635B.3417C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,且短轴长为2,离心率为63,过焦点F1作y轴的垂线,交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是A.椭圆方程为y23+x2=1B.椭圆方程为x2C.PQ=233D.△PF2Q10.设抛物线y=ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则 ()A.点P的坐标为0B.直线AB的方程为y=1C.PA⊥PBD.AB=111.已知F1、F2是双曲线C:y22-x2=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点MA.双曲线C的渐近线方程为y=±2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为±2D.△MF1F2的面积为312.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴交于点M,点P,Q是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是 ()A.若直线PQ过焦点F,则以线段PQ为直径的圆与准线l相切B.过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多两条C.对于抛物线内的一点T(1,1),有PT+PF≥3D.若直线PQ垂直于x轴,则直线PM与直线QF的交点在抛物线C上三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x24-y25=1的右焦点重合,则实数14.一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是.

15.如图,在△ABC中,AB=4,点E为AB的中点,D为线段AB垂直平分线上的一点,且DE=35,AB是固定边,在平面ABD内移动顶点C,使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点,且C、D在直线AB的异侧,在移动过程中,当CD-CA取得最大值时,△ABC的面积为.

16.已知F是抛物线y2=2px(p>1)的焦点,N(p,1),M为抛物线上随意一点,MN+MF的最小值为3,则p=;若过F的直线交抛物线于A、B两点,且AF=2FB,则AB=.(第一个空2分,其次个空3分)

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(1)求与双曲线x216-y2(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m18.(本小题满分12分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点坐标为(-2,0),离心率为(1)求椭圆M的方程;(2)设点C(-2,2),是否存在实数m,使得△ABC的面积为1?若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.

19.(本小题满分12分)已知椭圆x225+y216=1内有一点P(1,1),(1)求MP-MF的最大值;(2)求MP+MF的最大值;(3)求使得MP+53MF的值最小时点M

20.(本小题满分12分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2((1)求椭圆C的标准方程;(2)设左、右顶点分别为A、B,点M在椭圆上(异于点A、B),求kMA·kMB的值;(3)过点F2作一条直线与椭圆C交于P,Q两点,过P,Q作直线x=a2c的垂线,垂足分别为S,T.试问:直线PT与

21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线,垂足为M,且AM·AP=-4.记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点A的直线l交曲线E于不同的两点B,C.①若B为线段AC的中点,求直线l的方程;②设B关于x轴的对称点为D,求△ACD的面积S的取值范围.

22.(本小题满分12分)已知半椭圆y2a2+x2b2=1(y>0,a>b>0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线L.如图所示,半椭圆内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的随意一点.当点P(1)求曲线L的方程;(2)连接PC,PD,分别交AB于点E,F,求证:AE2+BF2为定值.

答案全解全析基础过关练一、单项选择题1.C由抛物线的定义可知,点A与抛物线焦点F之间的距离为5+p2=8,解得p因此,抛物线的焦点到准线的距离为6,故选C.2.C设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2依题意得,2a=10,∴a=5,又c=3,∴b2=a2-c2=16,即b=4,因此椭圆的短轴长是2b=8,故选C.3.D由题意得PF1+PF2=2a,|PF1-PF2|=2m,两式平方后相减,得4PF1·PF2=4a2-4m2,∴PF1·PF2=a2-m2,故选D.4.B由已知得点P的轨迹是以A(-2,0),B(2,0)为焦点的双曲线的右支,其中2a=2,即a=1,c=2,则b=3,所以点P是双曲线x2-y23=1又P为函数y=34-x所以联立方程x解得x=132,y所以P132故选B.5.A由抛物线x2=2py(p>0)可知其焦点为0,p2,所以b=p2,又a=22,所以双曲线方程为x28-4y2p2=1,渐近线方程为y=±p42x.直线y=kx-1与双曲线的一条渐近线平行,不妨设k=p42,由y=p42x-1,x2=2py可得x2=2pp426.C由题意得,a=4,b=23,由双曲线的定义可得AF2-AF1=2a=8,BF2-BF1=2a=8,所以AF2+BF2-(AF1+BF1)=16,由于过双曲线的左焦点F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,可得AF1+BF1=AB,当AB是双曲线的通径时,AB最小,即有AF2+BF2-(AF1+BF1)=AF2+BF2-AB=16,所以AF2+BF2=AB+16≥2b2a+16=2×127.C设另一焦点为F',连接AF',BF',CF',则四边形FAF'C为平行四边形,∴AF'=CF=AB,且AF'⊥AB,则△ABF'为等腰直角三角形.设AF'=AB=x,则x+x+2x=4a,即x=(4-22)a,∵AF'+AF=2a,∴AF=(22-2)a.在△AFF'中,由勾股定理得AF'2+AF2=(2c)2,则(9-62)a2=c2,即e2=9-62,∴e=6-3,故选C.8.A双曲线x2-y23=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),又P12,t,∴直线PA的方程为x=3y2t-1,PB的方程为x=-y2t+1,联立x=3y2t-1,3x2-y2=3可得274t即M27+4t联立x=-y2t+1,3解得y=0或y=12t3-4t2,将y=12t3-4即N-3设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,即有yM-y将M,N的坐标代入,化简可得-12t9-4t2=12设过Q的直线方程为x=my+2,联立3x2-y2=3,x=my设S(x1,y1),T(x2,y2),可得y1+y2=-12m3m2-1,y1y2=93m2-1又SQ=2QT,∴y1=-2y2,∴y1+y2=-y2=-12m3m2-1,可得y2=12m3m2-1,y1y2=-2y可得S△BST=12BQ·|y1-y2|=12|y1-y2=3×m2+1|3m故选A.二、多项选择题9.ACD由已知得,2b=2,即b=1,ca=6又a2=b2+c2,∴a2=3,∴椭圆方程为y23+x则PQ=2b2a=23=233,△PF2Q的周长为410.ABC设抛物线y=ax2(a>0)的焦点为F.由y=ax2(a>0)得,x2=1ay则焦点F0,∵a>0,∴2p=1a,∴p=12a,其准线方程为x=-14a,∴设切线方程为y=kx-14a(k由y=ax2,y=kx令Δ=k2-4×a×14a=0,解得k∴切点A12a,1因此直线AB的方程为y=14a,B又PA=12a,12∴PA·PB=-14a2+从而PA⊥PB,即PA⊥PB,C正确;AB=12a--1故选ABC.11.AD由双曲线方程y22-x2=1知a=2,b=1,焦点在y轴上,渐近线方程为y=±abx=±2x,A正确;c=a2+b2=3,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=3,B错误;由x2+y2=3,y=2x得x=1,y=2或x=-1,y=-2,由x2故选AD.12.ACD如图①,过P作PA⊥准线l于A,过Q作QB⊥准线l于B,过PQ的中点C作CD⊥准线l于D,则CD=12(PA+QB)=12(PF+QF)=12PQ,故以线段PQ为直径的圆与准线l相切,A正确;过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线包括两条切线和x轴所在直线,B错误;如图②,过P作PA⊥准线l于A,过T作TH⊥准线l于H,准线方程为x=-2,PT+PF=PT+PA≥HT=3,当H,P,T共线时等号成立,C正确;设Py028,y0,Qy028,-y0,M(-2,0),F(2,0),则直线PM的方程为y=两直线的交点为32y代入满意抛物线方程,故D正确.故选ACD.三、填空题13.答案6解析∵双曲线的方程为x24-∴a2=4,b2=5,可得c=a2因此双曲线x24-y25∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合,∴p2=3,解得p=614.答案x29+解析圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,则其半径为6.如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.由图知,定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离,即BC-MC=BM,又BC=6,所以BM+CM=6,因为MA=MC,所以BM+MA=6,由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=3,c=2,b=a2-c2=15.答案65解析以AB所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-2,0),B(2,0),D(0,-35),设△ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F,则CA-CB=AG-BF=AH-HB=2<4,∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=2,b2=c2-a2=3,∴C点的轨迹方程为x2-y23=1(x∵CA-CB=2,∴CA=CB+2,则CD-CA=CD-CB-2,则当C为线段BD与双曲线右支的交点时,CD-CA最大,BD所在直线的方程为x2-y35=1,即35x-2y-6联立35x-2y-∴△ABC的面积为S=12×4×35=65.故答案为6516.答案2;9解析过点M作MP垂直于抛物线y2=2px(p>1)的准线l,垂足为点P,∵p>1,∴12<2p2,∴点N在抛物线内,如图所示:∴MN+MF=MN+MP,当点P、M、N共线时,MN+MF取得最小值p+p2=3,解得p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x,该抛物线的焦点为F(1,0)设点A(x1,y1),B(x2,y2),可知直线AB不与x轴重合,设直线AB的方程为x=my+1,联立x=my+1,y2=4x,可得y2-4my-4=0,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4,∵AF=2FB,∴(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),∴y1=-2y2,∴y1+y2=-y2=4m,可得y2=-4m,y1y2=-2y22=-32m2=-4,可得m2=18,因此,AB=1+m2·|y1-y2四、解答题17.解析(1)∵所求双曲线与双曲线x216-y2∴设所求双曲线的方程为x216-λ-y24+∵双曲线过点(32,2),∴1816-λ∴λ=4或λ=-14(舍去). (4分)∴所求双曲线的标准方程为x212-y28=1(2)椭圆方程可化为x2m+y2mm+3∵m-mm+3=m(m+2)m+3∴a2=m,b2=mm+3,c=a2由e=32得m+2m+3=32,解得m18.解析(1)∵椭圆的一个顶点坐标为(-2,0),∴a=2,又该椭圆的离心率为ca=32,可得c=∴b=a2-c2∴椭圆M的方程为x24+y2=1. (4(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=-x+m,x24+y2=1,消去y并整理得5x2-8mx+4m2-4=0,由Δ=64m2-4×5×(4m2-4)=16(5-由根与系数的关系可得x1+x2=8m5,x1x2=由弦长公式可得AB=1+(-1)2·|x1=2·(=2·8=42(5-点C到直线AB的距离为d=|m∴S△ABC=12AB·d=12×42(5-m2)5×|m|2=2m2(5-m2)5=1,整理可得4m4-20m2+25=0,即(2m2-5)2=0,19.解析(1)由题意得a2=25,b2=16,所以c2=9,即F(3,0),当点M,F,P三点不共线时,MP-MF<PF,如图1,当M,F,P三点共线时,MP-MF=PF,即MP-MF≤PF,所以MP-MF的最大值是PF=(3-1)2+图1(2)设椭圆的左焦点为F1,则F1(-3,0),依据椭圆的定义可知MF=2a-MF1,即MP+MF=MP-MF1+2a≤PF1+2a,如图2,当P,F1,M三点共线时,等号成立,PF1=(-3-1)2+(0-1)2=17图2(3)椭圆的右准线为x=253,设椭圆上的点M到右准线的距离为d,因为MFd=35,所以MF=35d,MP+53MF=MP+d,如图3,MP+d的最小值是点P到直线x=253的距离所以MP+53MF的最小值是223,此时点M的纵坐标是1,代入椭圆方程可得x=5154,所以MP+53MF的值最小时点M的坐标为图320.解析(1)由题意可知ca=12,2b=23,又a2=b2+所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1(2)易知A(-2,0),B(2,0),设M(x0,y0),所以kMA·kMB=y0x0+2·y0x因为点M在椭圆上,所以x024即y02=3-3x024,所以kMA·kMB=3(3)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),则S(4,y1),T(4,y2),联立方程x24+y23=1,x=所以y1+y2=-6m3m2+4,y1所以2my1y2=3(y1+y2), (8分)直线PT的方程为(y-y2)(x1-4)=(x-4)·(y1-y2),令y=0,则x=4y2-x1y=5(y1-y2)2(y1同理,直线QS恒过点52,0,即直线PT与QS交于定点5221.解析(1)设P(x,y),则M(-4,y).因