弹性力学第三章习题

....[解]（1）楔形体任一点的应力分量决定于q、ρ、，其中q的量纲为NL-2，与应力的量纲相同。因此，各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现ρ，再由知，应力函数应是的函数乘以，可设（a）将式（a）代入双调和方程，得，=0，上式的通解为，将上式代入式（a），得应力函数为。（b）(2)应力表达式为(c)(3)应力边界条件，得2（A+D）=－q;(d),得Acos2+Bsin2+C+D=0,(e),得－2B－C=0,(f),2Asin2－2Bcos2－Ｃ=0。(g)联立求解式(d)－(g)，得各系数，，，。将系数代入(c)，得应力分量（h）23.楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如以下图所示，试求其应力分量。[解]（1）应用应力函数，进行求解。由应力函数得应力分量（2）考察边界条件：根据对称性，得（a）(b)(c)(d)同式（a）得(e)同式（b）得(f)同式（c）得(g)同式（d）得(h)式(e)、(f)、(g)、(h)联立求解，得将以上各系数代入应力分量，得24.图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1，右端固定、左端自由，荷载分布在自右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量。解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设QUOTE(a)式中QUOTE的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得QUOTE(b)式中的QUOTE，QUOTE为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程QUOTE，得QUOTE上式是y的一次方程，梁所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即QUOTE，QUOTE积分上二式，得式中QUOTE为待定的积分常数。将QUOTE，QUOTE代入式（b），得应力函数为QUOTE.(c)(2)应力分量的表达式QUOTEQUOTE(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件QUOTE,自然满足；QUOTE,得QUOTE;上式对x的任何值均应满足，因此得QUOTE，QUOTE，即QUOTE，得QUOTEX取任何值均应满足，因此得QUOTE.将式（e）代入上式积分，得计算得QUOTE,QUOTE其中QUOTE,横截面对Z轴的惯性矩。最后得应力分量为QUOTE25.试考察应力函数QUOTE能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。解（1）相容条件：将代入相容方程QUOTE,显然满足。（2）应力分量表达式(3)边界条件：在QUOTE主要边界上，应精确定满足应力边界条件在次要边界x=o,x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件QUOTE(a)QUOTE(b)QUOTE(c)对于如下图矩形板和坐标系，当板发生上述应力时，由应力边界条件式（a）(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自由端受集中力作用的问题。26.如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,h>>b,在两侧上受到均布剪力q的作用，试用函数QUOTE求解应力分量。解：（1）相容条件将应力函数代入相容方程QUOTE，其中QUOTE，QUOTE，QUOTE。很显然满足相容方程。（2）应力分量表达式(3)考察边界条件，在主要边界QUOTE上，各有两个应精确满足的边界条件，即在次要边界y=0上，QUOTE而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替QUOTE.(4)把各应力分量代入边界条件，得应力分量为27.设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l>>h如题3-7图所示，试用应力函数QUOTE求解应力分量。解（1）相容条件将QUOTE代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式(3)考察边界条件，在主要边界QUOTE上，各有两个应精确满足的边界条件得QUOTE(a)在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。注意x=0是负x面，由此得QUOTE(b)由式（a）(b)解出最后一个次要边界条件（x=l上）,在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得QUOTEQUOTEQUOTE28.设题3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用教材§3-4中的应力函数(e)求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。解（1）应力函数为(2)应力分量的表达式这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能够选择适当的常数A,B,…，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式（b）,(c),(d)就是正确的解答。（3）考虑对称性。因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样是QUOTE是x的偶函数，而QUOTE是x的奇函数，于是由式（b）和（d）可见（4）考察边界条件：在主要边界QUOTE上，应精确满足应力边界条件将应力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有QUOTE，可见这些边界条件要求联立求解得到将以上已确定的常数代入式（b）,式（c）和（d），得考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，例如右边。梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值QUOTE，都有QUOTE。由式（f）可见，这是不可能满足的，除非QUOTE是均为零。因此，用多项式求解，只能要求QUOTE在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，也就是要求将式（f）代入式（i）,得积分以后得将式（f）代入式（j），得积分以后得将K，H的值代入式（f）,得另一方面，梁右边的切应力QUOTE应当合成为反力QUOTE积分以后，可见这一条件是满足的。将式（g）,(h),(k)略加整理，得应力分量的最后解答QUOTEQUOTEQUOTE注意梁截面的宽度取为一个单位，可见惯性矩是QUOTE，静矩是QUOTE。根据材料力学应用截面法求横截面的力，可求得梁任意截面上的弯矩方程和剪力方程分别为QUOTE。式（l）可以写成29.如题3-10图所示的悬臂梁，长度为l，高度为h,l>>h,在上边界受均布荷载q，试检验应力函数QUOTE能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。解（1）相容条件将QUOTE代入相容方程，得QUOTE，若满足相容方程，有(2)应力分量表达式(3)考察边界条件;主要边界QUOTE上，应精确满足应力边界条件在次要边界上x=0上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替QUOTEQUOTE(e)QUOTE联立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得将各系数代入应力分量表达式，得30.为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边