2021年新教材人教A版（2019）高一数学暑假作业（九）【含答案】

2021年新教材人教A版(2019)高一数学暑假作业

一、单选题

1.下列函数既是奇函数又在(-1,1)上是增函数的是()

A.y=cos(^+x)B.y=-|C.7=ln|^D.y=2x-2-x

2.已知i为虚数单位，且复数z满足2(1+2。=/。2°+力则下面关于复数z的三个

命题：

①复数Z的虚部为-副；②|z|=3；③复数Z的共辗复数5对应的点在第一象限.

其中正确命题的个数为()

A.1B.2C.3D.0

3.已知函数/(久)=siMx-siM—匀，％eR,则下面结论中不正确的是()

A./(x)最小正周期为兀

B.函数/"(X)在区间[g用单调递增

C.函数/(x)在区间[g用有最大值为？

D.函数/(%)关于％=W对称

Y+i2<%<3

,x'—，则/(均的值域为()

1V10+3%—x2,-1<%<2

A.[V6,|]B.(33C.(3,|]D.[V6,y]

5.在^ABC^,AC=AB=3,点M,N分别在AC,AB上，S.AM=BN=2,BMA.CN,

则AABC的面积为()

6.设/是直线，a,0是两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A.若l〃a,I//p,贝僚〃£B.^l//a,ll.fi,则a_L6

C.若a10,11a,贝D.若al3，I〃a，则，JL。

7.在给出的下列命题中，不正确的是()

A.设0,4,B,C是同一平面上的四个点，若位=m•而+(1—m)•沃(m6R)，则

点必共线

B.若向量五花是平面a上的两个向量，则平面a上的任一向量力都可以表示为m=

4五+4石（4,4eR），且表示方法是唯一的

C.已知平面向量砒丽辰满足嬴OB=OAOC,AO=2喘+焉）则AABC为

等腰三角形

D.已知平面向量鼐，0B,前满足|四=|0B|=|0C|=r（r>0）,且鼐+而+

OC=0,则△ABC是等边三角形

8.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日―27日（共10

天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组

合图.

根据组合图判断，下列结论正确的是（）

A.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差

B.前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例

的极差

C.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大

D.这10天学生在线学习人数在逐日增加

二、多选题

9.如图，点〃是正方体4BCD—4把心。1中的侧面4。。送1上的一个动点，则下列结

论正确的是（）

Di

Aj

KJ

AB

A.点M存在无数个位置满足CM，45

B.若正方体的棱长为1,三棱锥B-GM。的体积最大值为5

C.在线段AD】上存在点使异面直线与CO所成的角是30°

D.点M存在无数个位置满足〃平面当。道

10.下列说法中错误的为()

A.已知五=(1,2),3=(1,1)且行与五+4方夹角为锐角，We(-

B.已知方=(2,—3),3=G，—》不能作为平面内所有向量的一组基底

C.若五与石平行，五在石方向上的投影为|可

D.若非零区石满足|方|=|石|=|五一方|则不与方的夹角是60。

%+2%>0

11.有关函数f(x)=x；，下列说法正确的是()

bx+-X,x<0

A.存在实数a,b,c,使f(x)是奇函数

B.若/(%)在(0,+8)上为单调增函数，则a<0

C.若f(x)是偶函数，则匕=一1,c=-a

D./⑶在区间吟2®上没有最小值

12.已知函数f(X)=2COS(3X+0)(3>0,\(p\<》的图象上，对称中心与对称轴x=

套的最小距离为a则下列结论正确的是()

人.於)+/学一行=0

B.当xE碎，与时，兀r)>-V3

C.若g(x)=2cos2x,贝!|g(x-§=f(x)

D.若siMa—cos4a=—%a6(a,金，则,《a+》的值为萼

三、填空题

13.甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8

个红球、2个白球。掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2,从甲箱子随

机摸出一个球；如果点数为3,4,5,6,从乙箱子随机摸出一个球。则摸出红球

的概率为。

14.(1)已知向量五=(1,2),石=(2,—2),芸=(1,4),若(2直+及，则4=•

(2)设x>0,y>0,x+2y=4,则竺竽12的最小值为.

(3)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=4,asinB=

fibcosA,若的面积S=4g，则川+©2=.

(4)函数/(x)=cos2x+V3cos(y+x)+；(x6[o用)的最大值是.

15.如图,正方体4BCD—4B1GD1的棱长为1,线段/A上有两个动点E,F,且EF=¥，

则下列结论中正确的结论序号是.

9------邑i

DA

①4clBE；②EF11平面ABCD；③异面直线AE,B尸所成的角为定值；⑷直线AB

与平面BEF所成的角为定值；⑤以ABEF为顶点的四面体的体积随EF位置的变化

而变化.

16.如图，在三棱锥S—4BC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=W，

M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM1MN,则异面直线MN与AC所成角为

三棱锥S—4BC的外接球的体积为.

四、解答题

17.在直角梯形ABC£>中，已知AB〃CD,Z.DAB=90°,AB=6,AD=CD=3,对角

线AC交80于点O,点M在AB上，且OM1BD.

⑴求而?•丽的值;

(2)若N为线段AC上任意一点，求崩.丽的取值范围.

18.今年是中国共产党成立100周年，为了普及党史知识，加强爱国主义教育，某校举

办了党史知识竞赛.经过激烈角逐选拔，甲、乙、丙三名选手进入决赛，决赛由必

答和抢答两个环节，必答环节每人必须回答随机抽签的3道题目，全部答对者进入

抢答环节，否则被淘汰；在抢答环节中采用积分制，共有3道题目，每人是否抢到

试题机会均等，抢到试题者必须作答，最后得分最高者获得一等奖.若答对则得

100分，其他选手得0分；若答错则得0分，其他选手得100分.设甲、乙、丙在

必答环节中每道题答对的概率都是也在抢答环节中每道题答对的概率都是右且三

名选手每道题是否答对互不影响.

(1)求甲、乙进入抢答环节，且丙未进入抢答环节的概率；

(2)若甲、乙、丙都进入抢答环节，

①求在一次抢答中，甲得100分的概率；

②求丙以满分获得一等奖的概率.

19.已知函数f(x)=2sin2(x——)—V3sin(—+2x)(x6R).

126

(1)将函数/(x)化为4sin(“x+3)+k形式,求/(x)的最小正周期T和单调递增区间;

(2)若a为△ABC的内角，f(a)恰为/(x)的最大值，求a：

(3)若tan(0-$=2,求/(。).

20.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABC£＞为矩形，二面角4一C。一F为60。,

DE//CF,CD1DE,AD=2,DE=DC=3,CF=6.

(1)求证：BF〃平面ACE；

(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值.

21.如图，在直角梯形ABC。中，4B〃CD,AB且4B=4。==1.现以A。

为一边向梯形外作正方形AOE凡然后沿边AD将正方形ADE/折叠，使ED1DC,

M为的中点，如图2.

图1图2

(1)求证：4M〃平面BEC;

(2)求证：平面BCD，平面BDE；

(3)若DE=1,求点。到平面BCE的距离。

22.函数/(x)=x|x-a|.

(1)根据a不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性；

(2)若aWO,对于任意的x6[0,1],不等式一1—xW6恒成立，求实数。的

取值范围；

若己知。设函数。2存在与、&

(3)a=2,=[-1,4].0)=logi(%+x+/c)>xe0,eD,

使得/(与)Sg(>2)，求实数k的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，函数的定义域与值域，对数函数

及其性质，复合函数的单调性，函数的奇偶性和指数函数及其性质.

利用诱导公式和正弦的奇偶性对4进行判断，再利用函数的定义域对8进行判断，再利

用对数函数的单调性，结合复合函数的单调性对C进行判断，最后利用指数函数的单调

性和复合函数的单调性，结合函数的奇偶性对。进行判断，从而得结论.

【解答】

解：对于A,因为y=cosg+x）=-sinx是（一1,1）上的减函数，

所以A不符合题目条件；

对于因为函数旷=一;在x=0没有定义，

所以8不符合题目条件；

对于C,因为y=In芸=In（专一1）是其定义域内的减函数，

所以C不符合题目条件；

对于因为函数'=2工-2一》是奇函数，且在（一1,1）上是增函数，

所以。符合题目条件.

故选D

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的概念以与儿何意义、共辗复数，以及复数的四则运算与复数的模,

属于基础题.

先由复数的四则运算化简复数，再逐项判断即可.

【解答】

aM0

解：..［2020=i&xS05=1,...-(l+2i)=i+i,即z(l+2i)=1+i,

…=1+i=(l+i)(l-2i)=3_1.

'''=1+2i=(l+2i)(l-2i)=5-51'

对于①，•.•复数z的虚部为一%.•.①错误；

对于②，•••0=佰'不了=?，:②错误；

对于③，•.-；'；+/，复数z的共粗复数2对应的点为弓,§，则复数z的共辗复数，对

应的点在第一象限，.♦.③正确；

因此，三个命题中正确命题的个数为1.

故选：A.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数y=Asin(3x+s)的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公

式，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题.

根据二倍角公式和辅助角公式化简可得/(%)=:sin(2x-勺，从而即可根据正弦函数的

Z6

性质分别对各选项求解.

【解答】

42阳.2-2/n、1-cos2x1-COS(2*一§1n

用牛：因「(x)=smx—sm(%——)=------------------=-(coszxcos-+

62223

sin2xsincos2x=­s\n2x--cos2x=-sin(2x--Y

3，2442\6/

f(%)的最小正周期T=y=7T,

当“4*，郛寸，2”午卜雪，

当2x_3=_］即*=_［时,/(%)min=1sin(-0=-1；

当"W即时，fCOmax=六呜=g即在卜盟的最大值为%最小

值为在［-g,1先递减后递增；

又展)=；sin(2XU，所以函数/(%)关于％=g对称，

故选B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性、分段函数的值域以及复合函数，属于中档题.

先根据函数/(X)=X+；在对应区间上的单调性得出第一段上/(X)的范围，再利用二次

函数在闭区间上的值域以及复合函数的方法得出第二段上/(%)的范围，最后求这两个范

围的并集即得.

【解答】

解：当2<x43时，函数f(x)=x+：单调递增，且/(2)=3,f(3)=蓝，所以此时3<

当-14久《2时，令t=10+3x--，该二次函数的对称轴是：%=|,开口向下，因

2

为一1WxS2,所以tmin=10+3x(-1)-1=6,tmax=10+3x(|)-(|)=?，

所以6St士子，故遍《/(%)《(所以分段函数/(%)的值域为：(3,曰］U［遥自=

［连争

故选D

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查求三角形的面积公式，考查平面向量基本定理，向量的数量积运算，属于

常考题型.

先由题意，得到宿=|前，A/V=|AB,再由1CN得到前•丽=(|彳？一同)•

©南—正)=0,求出cos4=V，得至lJsinA=呼，再利用三角形面积公式，即可求出

结果.

【解答】

解：因为点M,N分别在4C,4B上,

且AM=BN=2,AC=AB=3,

所以祠=|正，AN=^AB,

所以的=宿-而=:前-荏，

>..>,1,>

CN=AN-AC=-AB-AC

3f

又BM1CN,

所以前•丽=(^AC-AB)•(^AB-AC)=0,

即蓑荏.而号|荏「一||而『=o,

-AB=AC=3f

・,•日|荏||就|cosA-9=0,即cos/=.，

所以sin/=空电，

11

所以△ABC的面积为

01-c-19/10

SMBC=-\AB\\AC\sinA=—

故选A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的

判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题.

由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直

的判定定理，即可判断8；由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面

垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D

【解答】

解：对于A,若1〃a,〃/£,则a〃。或a,0相交，故A错；

对于B,若l〃a,110,则由线面平行的性质定理，得过/的平面yna=m,即有m〃/,

ml/?,再由面面垂直的判定定理，得a工0,故8对；

对于C,若al/?,11a,则〃//?或lu/?,故C错；

对于D,若al£,l//a,若/平行于a,/7的交线，则”/£,故。错.

故选艮

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的共线定理与平面向量基本定理，以及平面向量加法、减法与数量积

的运算和几何意义，属于中档题.

根据向量共线定理可判断A，根据平面向量基本定理判断8,利用向量减法和数量积的

运算以及加法和共线的几何意义来判断C与D.

【解答】

解：对于4设。,4B,C是同一平面上的四个点，

Yr0A——m,OB+(1-Tn),OC(jnG/?)>

则a-OC=zn(OB-OC),

:.~CA.=mCBr

•・•点4B,C必共线，故A正确；

对于8,当五=6或石=6时，结论不成立，故8错误；

对于c,若平面向量万4,而，能满足万4•丽=万心元，

则方•(而一记)=0,即市•方=0，

o^4ice；

又方=端+款

•••。在NBAC的平分线所在直线上，

•••2L4BC为等腰三角形，故C正确；

对于D,若平面向量力［,而，而满足|西=\0B\=|0C|=r(r>0),

贝ljO是zL4BC的夕卜心；

又初+话+记=0，

贝I］。又是ZL4BC重心；

・•.△ABC是等边三角形，故。正确.

故选民

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查统计图表等基础知识，属基础题.

直接根据统计图表可知，A,B,C项错误，。项正确.

【解答】

解：根据统计图表可知，

前5天在线学习人数的比较稳定，后5天在线学习人数的波动较大，前5天在线学习人

数的方差小于后5天在线学习人数的方差，A错误；

前5天在线学习人数的增长比例的极差小于后5天的在线学习人数的增长比例的极差，

8错误；

这10天学生在线学习人数在逐日增加，但是增长比例并不是逐日增大项，故C错误，

。项正确.

故选D.

9【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查空间垂直关系的证明和判断，考查几何体体积的计算，异面直线所成角的计算,

线面平行的判断，属于中档题.

通过证明1面&DC,可得当点MeaD上时，有PMlADi，可判断A；由已知

VB-CIMD=VM-C^BD，当点M与点A1重合时,点"到面的距离最大,计算

可判断B；连接&M,因为CD〃&Bi，则乙4/iM为异面直线与CO所成的角，求

出41M的长，可判断C；证明平面8传。1〃平面即可判断D

【解答】

解：对于A,连接4。1，4。,4停,

由正方体的性质可得ADi1A^D.AD11DC.A^D^DC=D,A^D,DCu平面4DC

则4。1，平面占0C

当点Me时，有CMu平面&DC,所以CMJ.4D1

故点M存在无数个位置满足CM_LAD]，故A正确;

对于5,由已知/一C]MO="M-CiBD

当点M与点儿重合时，点M到面GBD的距离最大

则三棱锥B-GMD的体积最大值为匕「QB。=13-4X1X3X1X1X1=],故B正确;

对于C,连接

因为C。〃力道1，所以为异面直线与C。所成的角

设正方体棱长为1,4M=x(x>0),则BIM2=/+I

点占到线明的距离为等巨=争.•.¥一41

]\/3

cos=/1=cos30=―-

/rn712

解得1]

所以在线段ADi上不存在点加，使异面直线与CO所成的角是30",故C错误;

对于。,连接力

vAyDJ/BC,4也=BC

.••四边形为BCD1为平行四边形，贝

&BC平面&CDi，DiCu平面BiCDi

〃平面&CD1，同理可证DB〃平面Bi。。1

,:A[BCDB=B,AiB,D8u平面48。

••・平面&CDi〃平面&BD

若MeaD,MBu平面4BD,则BM〃平面&D1C,故。正确;

B

故选：ABD.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度

要求比较高，属于拔高题.

由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本知识,逐个判断即可求解.

【解答】

解：对于4•••五=(1,2)石=(1,1),2与N+篇的夹角为锐角，

a-(a+Ah)=(1,2)-(1+A,2+A)

=1+a+4+2A—3a+5＞0,

且；I40(4=。时五与五+2石的夹角为0),

所以4＞一!且；1彳0,故A错误；

对于B.•.・向量不=(2,-3)=4后，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B

正确；

对于C.若五〃B，贝弧在方方向上的投影为土国，故C错误；

对于。.因为I五1=1五-孙两边平方得，

\b\2=2a-b,

则日•(a+b)-\a\2+a-b=^\a\2,

\a+b\=J(a+b)2=J|a|2+2a-K+|b|2=V3|ap

故8s〈优五+方＞=料=卷=阻

\a\\a+b\|a|-V3|a|2

而向量的夹角范围为［0°,180。］,

得五与R+方的夹角为30。，故。项错误.

故错误的选项为ACD.

故选ACD.

11.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的单调性与奇偶性及函数y=X+£(a>0)的性质，属于中档

题.

根据函数y=X+?(a>0的图像与性质即可判断得出.

【解答】

对于4:当a=b=c=1时/(二)是奇函数，故A正确；

对于&若/(%)在(0,+8)上为单调增函数，则a<0,故8错误；

对于C:.若/•(%)是偶函数，则/(7・)：恒成立，

即工+-=-bx-2恒成立，

xx

则g+1)Z+上L=(恒成立，

X

・•・F：l=：,即F=_l故c正确；

IQ+c=0lc=­a

对于。：Q>0时，

/(工)=H+£在区间(0,西)单调递减，在区间(西,+8)单调递憎.

X

/(X)在区间(日,2日)上有最小值/(VH),故。错误；

故选：AC.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于

中档题.

根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T,得到3=2,再根据对称轴方程求出w=

一3再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项。先利用同角三角

函数关系及二倍角公式化简，再求出/(a+W).

【解答】

解：由题有7=乃，则3=2,又由对称轴x=V可得，2x^+w="，fcGZ,

又则3=故(fx)=2cos(2x_孩)，

对于A,因为

57r7T57TTT

/(工)+/(小一工)=2cus(2x--)+2<x»s(^7r-2x--)=2cos(2x--)-2sin2x

6b*5o6

2<x)«2xcos；+2sin2xsin；—2sin2xy/iico«2x—sin2x

则"%)+/年一%)=0错误，故A选项不正确.

对于8,%6日外，则2%—江日引，WlJ/Cx)e[-V3,V3](故8选项正确；

对于C,/(%)=2cos2(%-刍，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移2个单位，故C

选项错误.

对于£),sin4a-cos4a=—cos2a=且a€(05,则2ae(0,兀),故cos2a=%

sin2a=

而/(a+§=2cos(2a+=cos2a—百sin2a=匕子，故0选项正确；

故选BQ.

13.【答案】0.7

【解析】

【分析】

本题主要考查了独立事件和互斥事件的概率知识，属于基础题.

事件"摸出红球”可以分成“从甲中摸红球”和“从乙中摸到红球”两个互斥事件之

和，而每个事件又是独立事件同时发生，按照乘法即可计算.

【解答】

解：：

掷到1或2的概率为;=；,再从甲中摸到红球的概率为

631U2

故从甲中摸到红球的概率为P1=：X；=g

掷到3,4,5,6的概率为：=|,则再从乙中摸到红球的概率为白=士

o31U5

故从乙中摸到红球的概率为P2=|X合2

综上所述摸到红球的概率为：

P=Pr+P2=-+-=-=0.7.

1z61510

故答案为0.7.

14.【答案】(1)—2；

(2)473;

(3)24；

(4)2.

【解析】

(1)【分析】

本题考查两个向量垂直的性质以及向量的坐标运算，属于基础题.根据题意可得2五+方，

再由m1(21+9)，即可得到

【解答】

解：由题意得2矢+)=(4,2)，因为下1(21+3)，c=(1,2).

所以4+24=0,解得4=-2；

(2)【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.先化简原式为智，在利用基本不等式

V孙

即可求解.

【解答】

解：因为设％>0,y>0,x+2y=4,

所以(x+l)(2y+l)_2xy+x+2y+l2xy+6

y/xyyfxyy/xy，喑3

所以生喑里2的最小值为4次.

xy

(3)【分析】

本题考查正弦定理和余弦定理解三角形的应用，三角形的面积公式，属于基础题.根据

正弦定理，得sinAsinB=bsinBcos4进而得到4=p结合三角形的面积公式得到

be=8,由余弦定理得：16=/+©2一瓦，即可求解.

【解答】

解：由正弦定理，得sinAsinB=V^sinBcos4,又sinBK0,所以tanA=百，

所以4=

因为△ABC的面积S=4V3,

所以S=工儿x立=4g，所以be=8,

22

又由余弦定理：16=/?2+©2-儿，

所以+o?=16+be=24；

(4)【分析】

本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系的应用，正弦函数的图像和性质，定义域

和值域，涉及二次函数的最值，属于中档题.利用诱导公式和同角三角函数的基本关系

化简/'(X)=—(sinx—掌)2+2,根据xG得到sinxG[0,1],进而可知sinx=当时,

取得最大值.

【解答】

解：依题意，/(%)=COS2X+V3cos(y+%)+^

=cos2x+V3sinx+-y=1—sin2x+V3sinx+-=—sin2x+百sinx+?

444

=—(sinx—y)2+2，

因为xe[。用，

所以sinx6[0,1],

因此当sinx=当时，f(<x)max=2.

15.【答案】①②④

【解析】

【分析】

本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些

几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断.熟练掌握线面平行的判断方法,

异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证.

@AC1BE,可由线面垂直证两线垂直；

②由面面平行的定义可证得结论正确；

③可由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值：

④把线面角转化为线线角即NABD,即可得知④正确；

⑤可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值.

【解答】

解：①•••AC1平面BB1DW，又BEu平面BB\D[D,：.AC工BE,故①正确；

②•：平面ABCD"平面EFU平面AiBiGOi,，£77/平面ABC。，故②

正确；

③由图知，当F与当重合时，令上底面中心为O,则此时两异面直线所成的角是444。，

当E与劣重合时，此时点F与。重合，则两异面直线所成的角是OBG，此二角不相等，

故异面直线4员8产所成的角不为定值，故③错误；

④直线AB与平面BEF所成的角也就是直线AB与平面所成的角,

平面.•.直线AB与平面BB也。所成的角就是“BD为45，因此，直

线AB与平面BEF所成的角为定值，故④正确；

⑤由几何体的性质及图形知，三角形8EF的面积是定值,4点到面。QB1B距离是定值，

故可得三棱锥4-BEF的体积为定值，故⑤错误.

16.【答案】I

97r

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面垂直的性质与判定、异面直线所成的角、正三棱锥的外接球的体积.

根据三棱锥的底面为正三角形且侧棱长相等得到正三棱锥，得到S。！面ABC,接着根

据线面垂直的性质、正三角形的性质及线面垂直的判定得到AC1面SBE,进而得到SB1

AC,最后根据中位线的性质证明出AC1MN;根据已知及线面垂直的判定得到SB1面

SAC,从而结合正三棱锥得到其为相应正方体的一部分，求出球的半径及球的体积.

【解答】

解：如图所示,

在三棱锥S—4BC中，若底面4BC是正三角形,

侧棱长SA=SB=SC=B知，三棱锥S—ABC

是正三棱锥，

则点S在底面ABC中的投影为底面的中心0,

所以S。1面ABC,

因止匕S。_L4C,又E为AC中点，4C1BE,SOn

BE=0,所以AC_L平面SBE,SBu平面S3E,

•••SBLAC,

又M、N分别为棱SC、BC的中点，则MN〃SB,

因此MN1AC,异面直线MN与AC所成角为条

"AMLMN,MN1AC,AMnAC=A,

:.MN_L平面SAC,又MN//SB,贝USB_L平面SAC,

又三棱锥S—ABC是正三棱锥，因此三棱锥S—ABC可以看成正方体的一部分且S,A,

B,C为正方体的四个顶点，故球的直径为］(6)2+(遍)2+(遮)2=3,

则球的体积为疑(|)3=等.

故答案为：：.

17.【答案】解：(1)因为NZMB=90°,

所以以A为坐标原点，AB、AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如下图:

因为4B//CD,AB=6,AD=CD=3,

所以4(0,0),8(6,0),C(3,3),D(0,3).

又因为对角线AC交BD于点O,

所以由4=t而得而=(3t,3t)＞即。(3t,3t),

因此前=(3t,3t-3),DB=(6,-3).

而丽〃丽，所以一3x3t-6x(3t-3)=0,解得t=|,

因此0(2,2).

又因为点M在AB上，所以设M(7n,0),

因此丽=Gn-2,-2),丽=(-6,3)，

而OM1BD,所以两•前=一60-2)-6=0，

解得m=l,即M(l,0),

因此前=(1,0)，而丽=(-6,3)，

所以福•前=-6，

即祠•前的值为一6；

(2)因为N为线段AC上任意一点，

所以由(1)知：可设N(n,n)(04n43)(包括端点)，

因此丽=(n,n),M/V=(n-l,n).

所以而Z•MN=n(n-1)+n2=2n2—n-

因为函数y=2/-n的图象开口上，对称轴为n=%

而0<n<3,

所以函数y=2九2一九的值域为卜,15］,

即RV.而7的取值范围是［一3,15)

【解析】本题考查了二次函数，向量的数量积，相等向量的概念，向量垂直的判断与

证明，平面向量的坐标运算,平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题.

(1)根据题目条件，以A为坐标原点，AB,AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，

利用相等向量的概念的坐标运算得取=(3t,3t)，从而得O(3t,3t),再利用向量的坐标

运算得前=(3t,3t-3)和丽=(6,-3),再利用平面向量共线的充要条件得得t=|,

从而得。(2,2),设M(m,O),从而得37=(m-2,-2),前=(-6,3)，再利用向量垂直

的判断的坐标运算得m=1,从而得M(1,O),再利用向量的坐标运算得施=(1,0),再

利用向量数量积的坐标运算，计算得结论；

(2)利用(1)的结论，结合题目条件设N5,n)(04兀43)(包括端点)，再利用向量的坐标

运算得而Z=(n,n)和=(n—l,n)»再利用向量数量积的坐标运算得RV•丽V=

2n2-n,最后利用二次函数，计算得结论.

18.【答案】解：(1)甲、乙进入抢答环节的概率均为(；＞=§

L8

丙未进入抢答环节的概率为1-(护=Z,

故甲、乙进入抢答环节，且丙未进入抢答环节的概率为

ooo51Z

(2)记“在一次抢答中，甲抢到题目并答对”的事件为A,“在一次抢答中，乙抢到题

目并答错”事件为B,“在一次抢答中，丙抢到题目并答错”的事件为C.

①''在一次抢答中，甲得100分”的事件为。，则。=4+B+C,

所以P(D)=P(4)+P(B)+P(C)=3xF+3x(l-*+!x(l—a=g;

②由①知，在一次抢答中，丙抢到题目并且得100分的概率为S；

在一次抢答中，丙没有抢到题目并且得100分的概率为£

丙得300分有四种情况:

1、丙没有抢到题目且得300分，概率为(》3=珠；

2、丙抢到一道题目且得300分，概率为盘xWx(》2=建;

3、丙抢到两道题目且得300分，概率为或g)2xg=^;

4、丙抢到三道题目且得300分，概率为盘@)3=*;

因此丙以满分获得一等奖的概率为黑+黑+高+白=黑

【解析】本题主要考查独立事件、互斥事件、对立事件的概率，考查数据分析、逻辑推

理、数学运算等核心素养.

(1)由题意，求出甲、乙进入抢答环节的概率，则可得丙未进入抢答环节的概率，进而

可得所求概率；

(2)①根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；

②②由①知，在一次抢答中，丙抢到题目并且得100分的概率为S；在一次抢答中，丙

没有抢到题目并且得100分的概率为，进而看求得丙以满分获得一等奖的概率.

19.【答案】解：⑴/⑴=2sin2(x一6一百sin©+2x)(x6R)

=2x1ssQx6)+遍sin(2久—-)=V3sin(2x--cos(2x--)+1

2666

=2[ysin(2x-^)-|cos(2x-^)]+1

=2sin(2x—£—£)+1=2sin(2x--)4-1,

663

所以f(X)的最小正周期7=y=7T,

由-g+2/CTT<2x-^<^+2kn,得一己+kn<x<^+kn,

所以/(%)的单调递增区间为[一2+时落+k7r](k€Z),

(2)/(a)=2sin(2a—^)+1,

因为0<a<7r,所以一2"]<|兀，

所以当2a冶=

即当。=工时，/⑷恰为/(%)的最大值,

4sin(0-7)cos(0-7)4tan(0-^)

(3)/(0)=2sin(20-$+l=664-1=tan2(^-7)+1+1

sin2(0-7)+cos2(^-7)

666

4tan("$_817

因为tan(。一勺=2,=

o所以f(。)tan2(8-5+l+L—g+5

6

【解析】本题主要考查正弦函数的图象与性质，函数y=4sin3x+(p)的图象与性质,

以及三角函数的化简和求值问题，属于中档题.

(1)先利用二倍角公式和辅助角公式对函数f(x)进行化简，再根据正弦函数的图象与性

质求解即可；

(2)由正弦函数的性质即可求解；

(3)先由二倍角公式和同角三角函数中的平方和关系对函数外。)进行化简，再结合题意

求值即可.

20.【答案】(1)证明：•••四边形是矩形，

BC//AD.

又•；ADu平面ADE,BCC平面ADE,

BC〃平面ADE,

DE//CF,CFADE,DEADE,

：•CF〃平面ADE.

又；BCdCF=C,BC,CFu平

面BCF,

••・平面BCF〃平面ADE.

而BFu平面BCF,

：.BF〃平面ADE;

(2)解：vCD1AD,CD1DE,

.♦.乙4DE即为二面角4-CD-F的平面角，

•••Z.ADE=60°,

XvADr\DE=D,ADADE,DEADE,

CD_L平面ADE,

又：CDu平面CDEF,

・•・平面CDEF_L平面AOE,作4。J.DE于O,连接CO，

•.•平面CDEF，平面ADE,平面CDEFC平面ADE=DE,

AO1DE,AOu平面ADE,则4。，平面CDEF.

所以直线AC与平面CQE尸所成角为UC。，

由几何关系知4c=y/AD2+CD2=V13.AO=AD-sin60°=V3,

所以sinZJlC。=—=

AC13

因此，直线4c与平面CDEk所成角的正弦值为0.

13

【解析】本题考查直线与平面，平面与平面平行及垂直的判定定理，性质定理，考查直

线与平面所成的角以及二面角，属于中档题.

⑴由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF〃平面ADE,

由此能证明BF〃平面4DE;

(2)根据已知条件可得CD，平面AOE,由面面垂直的判定可得平面CDEF，平面AOE,

进而可得/。J•平面CDE凡于是可知直线AC与平面CDEF所成角为乙4C。，再计算

sin乙4C。的值即可.

21.【答案】(1)证明：取EC中点N,连结MN,BN,

在△£■£)(?中，M,N分别为ED,EC的中点,

所以MN〃CD,且MN=^CD,

由已知4B〃CD,4B=|CD,

所以MN〃AB,且MN=48,

所以四边形ABNM为平行四边形，

所以BN〃AM,

又因为BNu平面BEC,且4M<t平面BEC,

所以AM〃平面BEC.

(2)证明：在正方形AOEF中，EDI4。,

因为EDIDC,ADdDC=D,AD,DCu平面ABC。，

所以ED_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以ED1BC.

又在直角梯形ABC。中，AB^AD=1,CD=2,/.BDC=45°,

所以BC=鱼，

在△BCD中，BD=BC=V2,CD=2,

所以8。2+8。2=亦，

所以BCLBD,