2020-2021学年人教A版数学选修1-2模块素养评价

模块素养评价

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

10

1.设i是虚数单位,若复数a-是纯虚数，则a的值为（）

3-1

A.-3B.-1C.1D.3

【解析】选D.复数a~—=a-10（3+t）=（a-3）-i为纯虚数，所以a-3=0,所

3-i10

以a=3.

2.下列命题:①在线性回归模型中，相关指数R?表示解释变量x对于预

报变量y的贡献率,R?越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关

性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程

y=~Q.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时,预报变量5平均减少0.5

个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K?的观测值k来说,k越

小，“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】选C.对于①,在回归分析模型中，相关指数片表示解释变量x

对于预报变量v的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好，正确，因为

相关指数R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，①正确.

对于②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1;正确；

对于③在回归直线方程产-0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，

预报变量.0平均减少0.5个单位；正确；

对于④对分类变量X与Y,它们的随机变量Y的观测值k来说,k越小，

“X与Y有关系”的把握程度越大.错误，因为在对分类变量X与Y进行

独立性检验时，随机变量Y的观测值k越大，则“X与Y相关”可信程

度越大，故④错误.

3.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了

四位同学，甲说：”是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说:

“我获奖了.”丁说：”是乙获奖.”已知四位同学的话只有一位是对的,

则获奖的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【解析】选D.假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都

不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话

都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话

都对，因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学，此

时只有乙的话是对的.

4.《九章算术》中的玉石问题：”今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重

六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几

何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两,现有宝

玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸,质量是11斤（即176

两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给

出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x,y分别为

)

A.90,86B.94,82

C.98,78D.102,74

【解析】选C.执行程序：x=86,y=90,s于27;x=90,y=86,s丰

27;x=94,y=82,s#=27;x=98,y=78,s=27,故输出的x,y分别为98,78.

5.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到

第14次的考试成绩依次记为Ai,A2,A14,图2是统计茎叶图中成绩在

一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是

()

窣

A.7B.8C.9D.10

【解析】选D.由程序框图可知输出结果是考试成绩大于90的次数，由

茎叶图可知大于90的次数有10次.

6.有下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的

模型比较合适；

②用相关指数R?来刻画回归的效果,R?值越大，说明模型的拟合效果越

好；

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和

越小的模型，拟合效果越好.

④在研究气温和热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2^0.85,则

表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】选C.对于①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区

域内，说明选用的模型比较合适，正确.

对于②用相关指数R?来刻画回归的效果，R?值越大，说明模型的拟合效

果越好，正确.

对于③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平

方和越小的模型，拟合效果越好，正确.

对于④在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2%

0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化，错误，应该是气温解

释了85%的热茶销售杯数变化.

7.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学

生作为样本，统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图:

根据图中的信息、，下列结论中不正确的是()

A.样本中的男生数量多于女生数量

B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量

C.样本中多数男生喜欢手机支付

D.样本中多数女生喜欢现金支付

【解析】选D.由题干中右边条形图知，男生女生喜欢手机支付的比例都

高于现金支付的比例，所以男生女生都喜欢手机支付，故C对，D错，结

合两个条形图可知，男生女生手机支付都比现金支付多，B对，样本中的

男生数量多于女生数量,A对.

8.设x(l+i)=l+yi,其中x,y为实数，则|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

【解析】选B.因为x(1+i)=l+yi,所以

x+xi=l+yi,x=l,y=x=l,|x+yi|=1+i|=V2.

9.在复平面内，复数比对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围

m-i

是()

A.(-8,-1)B.(-8,0)

C.(0,+8)D.(1,+8)

【解析】选D.因为复数”工厂”岁丁与1+手-i,对应的点位于第

m-i(m-i)(m+i)7nz+l?nz+l

一象限，所以7n2+1'解得m>l.

m当2+l>0,

10.下列说法中正确的是()

A.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000,再从编号为1到50

的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m,然后抽取编号为

m+50,m+100,m+150…的学生,这样的抽样方法是分层抽样法

B.线性回归直线尸汰+L定过样本中心点(五歹)

C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1

D.在回归直线产0.2x+12中，当变量x增加一个单位时,夕平均增加1个

单位

【解析】选B.A中抽样方法为系统抽样，故A错误；

B中线性回归方程产务x+a必过样本中心点(五歹)，故B正确；

C:若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于

1,故C错误.

D中在回归直线产0.2x+12中，当x增加一个单位时，/平均增加0.2个单

位，故D错误.

11.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,

得到如表数据.由表中数据求得y关于x的回归方程为产0.65x+a,则在

这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）

X4681012

y12356

A-iB-i

【解析】选A.因为元=8,歹=3.4所以3.4=0.65X8+a所以a=T.8所以

产0.65x7.8故5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3),共2个,

故所求概率是为：2

5

12.根据给出的数塔猜测123456X9+7=()

1X9+2=11

12X9+3=111

123X9+4=1111

1234X9+5=11111

12345X9+6=111111

A.1111110B.1111111

C.1111112D.1111113

【解析】选B.由1X9+2=11;

12X9+3=111;

123X9+4=1111；

1234X9+5=11111；

归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1,位数跟等式左边的第二个

加数相同，

所以123456X9+7=1111111.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分,将答案填在题中的

横线上)

13.已知a,b£R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位)，则ab=.

【解析】因为(a+bi)2=a?-b2+2abi=3+4i,

所以H0一＞所以ab=2.

、2ab=4,

答案：2

14.将正整数对作如下分组，第1组为{(1,2),(2,1)},第2组为

{(1,3),(3,1)},第3组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4组为

{(1,5),(2,4)(4,2)(5,1))……则第30组第16个数对为.

【解析】根据归纳推理可知，每个数对中两个数字不相等，且第一组每

一个数对和为3,第二组每一个数对和为4,第三组每个数对和为

5,...,第30组每一个数对和为32,所以第30组第一个数对为(1,31),

第二个数对为(2,30),……，第15个数对为(15,17),第16个数对为

(17,15),故答案为(17,15).

答案：(17,15)

15.点(x。,y0)到直线Ax+By+C=O的距离公式为d=^^±£_,通过类比

V/I2+B2

的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距离为

【解析】类比可知：

点（0,1,3）到平面x+2y+3z+3=0的距离为d=。停产二旧.

Vl2+22+32

答案:旧

16.观察下列等式:

(sE：)=^x1X2；

-2

+(si九+(5»九期)+(si77日)4

=-X2X3;

3

(.7t\2(.26一2/.3兀、-2/.6兀、~24

(si九二J+[sin—j+\^sin—j+-'+[sin—j=-X3X4;

3

(.兀、-2(,2兀、-2/.3兀、-2/.87r\~24

+[sin—j+ysin—j+--+ysin—j=-X4X5;

3

照此规律,

【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和.

4

答案：丁）（九+1）

【补偿训练】

若J8+r8•Jat均为正实数），类比以上等式,可推测a,t的值,

则a+t=.

【解析】因为2+/2•

斤3.

15

由类比推理得:

所以a=8,t=63,

所以a+t=71.

答案：71

三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

17.（10分）据有关人士预测，我国的消费正由生存型消费转向质量型消

费,城镇居民的消费热点是商品住房、车、电子信息产品、新型食品、

服务消费和文化消费;农村居民的消费热点是住房、家电.试设计表示

消费情况的结构图.

【解析】消费情况的结构图如图所示:

18.（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按

事先拟定的价格进行试销,得到如下数据：

⑴求回归直线方程产方x+a,其中2-20,广歹-短；

⑵预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品

的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少

元？（利润=销售收入-成本）

［解析】（1）X=2（%1+%2+%3+%4++%6）=8.5,

—1,、

（7i++%+%+%+%）=80.

所以3=5-易80+20X8.5=250,

所以回归直线方程为产-20x+250.

⑵设工厂获得的利润为元则

L=x(-20%+250)-4(-20%+250)=-20X2+330X-1

2

000=-20（%-弓）+361.25,

当且仅当x=8.25时，L取得最大值.

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.

【补偿训练】

某工厂前10个月份的产量与生产费用如表:

产量

40424855658088100120140

x/千件

生产费用

150140160170150162185165190185

y/千元

（1）求线性回归方程；

⑵估计当生产200千件时的生产费用;

⑶计算x与y的相关系数.

【解析】（1）由表格数据得京77.8,歹=165.7,

10

101010Zxiyi-lOxy

062,EV,-277119,£xy=133100,所以尸胃--------

i=li=1i=1Lx?-10x2

i—ii

133100-10X77.8X165.7

=---------------------七0.4,

71062-10X77.82

a=y-WC^165.7-0.4X77.8=134.58,

所以线性回归方程为产134.58+0.4x.

⑵当x=200时,产134.58+0.4X200=214.58(千元)所以当生产200千件

时的生产费用为214.58千元.

10

工x^yt-lOxy

⑶・

1010

J昌a-10/J昌W-io92

_133100-10X77.8X165.7

^71062-10X77.82X^277119-10X165.72

70.81.

所以x与y的相关系数约为0.81.

19.(12分)已知复数z=W也(m£R,i是虚数单位).

l-i

(1)若z是纯虚数，求m的值.

⑵设，是z的共辗复数,复数5+2z在复平面上对应的点在第一象限,求

m的取值范围.

_2+4mi(2+4mi)(1+i)

【解析】(1)z

l-i(l-i)(1+i)

=1-2m+(2m+1)i.因为z是纯虚数，

1

所以1-2m=0且2m+1=#0,解得m=-.

2

(2)因为，是z的共朝复数,

所以弟1-2m-(2m+1)i.

所以Z+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]

=3-6m+(2m+1)i.

因为复数，+2z在复平面上对应的点在第一象限,

所以件6加＞0,解得」

即实数m的取值范围为：）.

【补偿训练】

已知复数z=—+i（aGR）.

2+i

⑴若z£R，求z.

⑵若z在复平面内对应的点位于第一象限,求a的取值范围.

【解析】（1）z=2+i=^^i=^+^i,

2+i555

5一a

若z£R,则一=0,所以a=5,所以z=2.

S

⑵若z在复平面内对应的点位于第一象限，

贝I四＞0且三＞0,

55

解得0＜a＜5,即a的取值范围为（0,5）.

20.（12分）有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为了解用户

的使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额

（金额为整数）情况如图.

年龄分布条形图付费情况阚形图

1020元

41岁及以上||12%

3K岁仁二）8%

31-35岁

25-30岁]30%

24岁及以下尸134%1°元以下

有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在

30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有^的“年

8

轻用户”是“爱付费用户”.

⑴完成下面的2X2列联表,并据此资料,能否在犯错误的概率不超过

0.05的前提下认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？

爱付费用户不爱付费用户总计

年轻用户

非年轻用户

总计

⑵若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从

这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”

的概率.

P

0.050.0250.0100.0050.001

(K2>k0)

ko3.8415.0246.6357.87910.828

,2_n^ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】⑴根据题意可得2X2列联表如表:

爱付费用户不爱付费用户总计

年轻用户244064

非年轻用

63036

户

总计3070100

由表中数据可得K?的观测值k=i0°x（-4x3040x6）刈4.76>3.841,

30X70X64X36

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“爱付费用户”和“年

轻用户”有关.

⑵由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为

AbA2,A3,A4,1人为“非年轻用户”，记为B.

则从这5人中随机抽取2人的基本事件

有：（4,&），（41，43），（4,”4），

（力1，B）,（A2,4）,（42,44）,（&'B）,（4，44），（&，B）,（44,B）,

共10个基本事件.

其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件

有：（4,&）,（41，A3），（“1，“4），（“2,4），（&，4）,（43,44）,共

6个.

所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为

105

-1

21.（12分）设函数f（x）=x、二一,x£[0,1].

1+x

证明：⑴f(x)Nl-x+x)(2)头f(x)

42

[证明](1)方法一(综合法):1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)

_(l+x)(1-x)(l+x2)l-x4

(1-x)(1+x2)

14~X1+x

1—i1

又xG[0,1],所以----又---，即1-x+x2-x3^---,所以千(x)21-x+xl

1+x1+x1+x

-1

32

方法二(分析法)：要证f(x)^1-x+x\xG[0,1],即证x+—^1-x+x,

11

只需证x3-x2+x-1+---20,即证x2(x-1)+(x-1)+---20即

1+x1+x

1

(x-1)(x2+1)+---20,再证(x+1)(x-1)(x2+1)+120,即证

1+x

(x2-1)(x2+1)+1^0,即x'20,由X£[0,1]知，x420,综上，f(x)》

1-x+x2.

-1

⑵方法一：由x£[0,l]得YWx,所以f(x)=x、其W

133_(x-l)(2x+l)3—3

x十五丁丁丁2G+1)+产W'

所以f(x)由⑴得千(x)^1-X+X2=(X--)2+-^-)又

2V2744\27244

所以综上,1<f(x)w|.

方法二:①由⑴得f(x)21-x