2020-2021学年西藏昌都某中学高三（上）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

2020-2021学年西藏昌都第三高级中学高三（上）期末数学试卷

（理科）

1.已知全集为/?集合力={刈乂<3,X€2},8={珏0-1)0—4)>0},则4|"^7?8=()

A.{1,2}B.[1,3]C.(-oo,l)D.[0,1,2)

2.已知在复平面内，复数z对应的点是(1,-2),则复数z的共轨复数2=()

A.2—iB.2+iC.1—2iD.1+2i

x—120

3.已知x,y满足不等式组卜一y40，则目标函数z=3x+y的最小值是()

x4-y—4<0

A.4B.6C.8D.10

-117

4.已知Q=log12，b=loglC=log3§,则（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

5.已知角a的终边经过点则sin2a的值为（）

A.yB.-fC.D.一手

6.已知平面向量五、b,满足|日|=|方|=1,若（2日-3）力=。，则向量五、3的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式,

所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或

者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有

高阶等差数列，其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为（）

A.99B.131C.139D.141

8.把函数f（x）=2sin（2x+$的图像向右平移汐单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸

长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图像，则下列说法不正确的是（）

A.函数g（x）的最小正周期为2兀B.函数g（x）的最大值为2

C.函数g（x）在区间与系上单调递增D.函数或乃的图象关于直线x=会对称

9.在AABC中，B=*AC=遍,且cos2C-cos2A-sin2B=-V^sinBsinC,贝必ABC的面

积为（）

A.竽p3V3厂1+V3D.y

4C・

10.函数/（x）=号的大致图象为（）

11.己知双曲线圣一《=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,过F2作一条直线与双曲

线右支交于A，B两点，坐标原点为O,若|。*=c,田片|=5a,则该双曲线的离心率为()

逗B逗C百D包

D

a.2-2J33

12.若不等式萼<a(l+2cos2|)对Vx6(0,利恒成立，则实数。的取值范围是()

111

A.[l,+oo)B.[-.+00)C.%,+8)D.[3,+<»)

13.。-1)6的展开代中常数项是.(用数字作答)

14.如表是x,y之间的一组数据：

X01234

y578C19

且y关于x的回归方程为y=3.2x+3.6,则表中的c=.

15.曲线y=X?+Inx在点(l,b)处的切线方程与直线ax-y-1=0垂直，则a+b=.

16.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有

圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何."

用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB=1尺，

。为A8的中点，AB1CD,CD=1寸。，则圆柱底面的直径长是寸”.(

注：/尺=10寸)

17.已知正项等比数列｛an｝满足的+a2=6,a3—a2=4.

(1)求数列｛aj的通项公式；

«)记匕=,求数列｛%｝的前"项和

l〜og2a0nlL°g2,%i+l

18.某学校开设了射击选修课，规定向4、B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得I

分，没有命中得0分，向8靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学

经训练可知：向A靶射击，命中的概率为，向8靶射击，命中的概率为假设小明同学每

次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.

(回)求小明同学恰好命中一次的概率；

(圈)求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E(X).

19.如图，菱形A8C。的边长为a/D=60。,点，为QC边中点，现以线段A/7为折痕将△

折起使得点。到达点尸的位置且平面PH41平面A8CH,点E,B分别为A8,AP的中点

(1)求证：平面PBC〃平面EFH

(2)若三棱锥P-EFH的体积等于去求。的值

20.己知椭圆C：^+^=l(a>b>0)的长轴长为4,上顶点为A,左、右焦点分别为&,F2,

且乙04『2=60°,O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M、N为椭圆C上的两个动点，若丽•而=0,问：点O到直线MN的距离4是否

为定值？若是，求出d的值；若不是，请说明理由.

21.已知函数f(%)=21nx-ax(aGR).

(团)讨论/(%)的单调性；

(El)若函数g(%)=f(Q+♦有两个极值点%i，%2(%1<%2),且g(%i)->0恒成立，求实

数用的取值范围.

22.已知在极坐标系中，曲线G的极坐标方程为p(bcos。-sin。)=2V3+2.以极点为平面直

角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为

为参数).

(团)求曲线Cl的直角坐标方程和C2的普通方程；

(团)设曲线C1与曲线C2相交于4,8两点，求|4B|的值.

23.已知函数/(x)=|2x-l|+|x+2|.

(团)求不等式f(x)>4的解集；

(回)若/(x)的最小值为〃?，且实数”，。满足3a-4b=2m,求(a-2>+(b+1产的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由已知可得集合4={0,1,2),

集合B={x\x>4或久<1},

则CRB={X|1<X<4},所以4nCRB={1,2},

故选：A.

由已知分别求出集合4,B,以及集合3的补集，然后根据交集的定义即可求解.

本题考查了集合的运算关系，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

由已知求得z,再由共轨复数的概念得答案.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

【解答】

解：由题意可知，z=1-2i,

Az=1+2i.

故选：D.

3.【答案】A

【解析】解：画出可行域如图1所示，当目标函数y=-3x+z经过

点时，z的值为4；

当目标函数丫=一3%+2经过点8(2,2)时，z的值为8

当目标函数y=-3x+z经过点4(1,3)时，z的值为6

故选：A.

画出可行域，求出A,8坐标，利用角点法求解即可

本题考查线性规划的简单应用，角点法求法具体目标函数的最值的求

法的应用，考查数形结合思想以及计算能力.

4.【答案】A

11117

【解析】解：0=logil<logi5Vlogia=1,logia>logi5=1，10g3-<log3l=0,

・•・b>a>c.

故选：A.

119

可以得出0<logj_5<l,log[Q>l,log3Q<o，从而得出a,6,c的大小关系.

本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，对数的运算性质，考查了计算能力，属

于基础题.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的化简求值，任意角的三角函数的定义，考查了学生的分析以及计算能力，是

基础题.

利用任意角的三角函数的定义求得sina,cosa的值，再由二倍角公式求解.

【解答】

解：•・•角a的终边经过点P(-1,V5),

•••r=\0P\=2,则sina=亨，cosa=-g.

V31V3

:.sin2a=2sinacosa=2x—x(——)=—

故选B.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积运算及向量的夹角公式，属简单题.

由向量的数量积运算得：a-b=^b=\,由向量的夹角公式得：cos”尚余=看得解.

【解答】

解：由题意知：(2a-b)-b=0,则日4=颉2=g,

设向量口、3的夹角为。，

则3。=晶=最

又。e[0,?r],

即向量之坂的夹角为60。，

故选：c.

7.【答案】D

【解析】解：由题意可知：1,5,11,21,37,61,95,…的差的数列为：4,6,10,16,24,

34,•••

这个数列的差组成的数列为：2,4,6,8,10,12…是等差数列，

所以前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为：95+34+12=141.

故选：D.

利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：函数〃x)=2sin(2x+g)的图像向右平移］个单位长度，再把图像上所有点的横坐标

OO

伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=2sin(x-令的图像，

则：函数的最小正周期为2叫故A正确；

函数的最大值为2,故8正确；

当xw*系时，*冶eg］，故函数在该区间上单调递增，故C正确；

当时，/(^)=2sin^=1.故£＞错误.

故选：D.

直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用及函数的性质的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解:cos2C—cos2i4—sin2F=—V2sinFsinC,可得:(1—sin2C)—(1—si解4)—sin2B=

-V2sinBsinC,

・•.由正弦定理整理可得：c2+h2-a2=V2&c,

c2+i>2—a2>f2bc42

二由余弦定理可得cosA=

2bc2bc2

vAe(0,7T),

4

,:8=*AC=V3,

•••由正弦定理黑=痣可得BC=WM=3,

T

11Lr~V67T7T

ACBC

•••S&ABC=2'-sEC='xV3xv2xsin(7r—A—B)=xsin(4+可)

V6V21V2V3V3+3

TX(TX2+-2-XT)=^—

故选：4

由同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式得，2+炉-02=或比，由余弦定理可得

cos4=亨，结合范围4e(0,兀)，可求4=%结合已知利用正弦定理可得BC的值，进而根据三角

形的面积公式，两角和的正弦函数公式即可计算得解.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角和的

正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档.

求导分析函数的单调性，比照后，可得答案.

【解答】

解：•.・函数/(%)=匕~，

故当x<0时，f(x)<0,函数/(x)为减函数，

,

当0<x<l时，/"(%)<0,函数/'(x)为减函数，

当x>l时，f'(x)>0,函数>x)为增函数,

故选：B.

11.【答案】B

【解析】解：如图，•••|0*=c,

二1。&|=|OF2I=\OA\=c,又。为FiF2的中点,

:.Z.F1AF2=90°,

v|5^|=5a,\BF2\=\BFX\-2a=3a,

由勾股定理可得：|4&『+|48|2=阳&|2,

2

即(|仍|+2a产+(\AF2\+3a产=(5a),

解得MFz|=a,则|4&|=3a,

在Rt△尸遇尸2中,有|力&E+“F=正声匕

EP9a2+a2=4c2,10a2=4c2>

故选:B.

由已知可得4耳4尸2=90。，由双曲线定义得|BFz|=3a,通过求解直角三角形得NF2I=a,则

|AF/=3a,在RtAFS七中，再由勾股定理列式求解双曲线的离心率.

本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】D

【解析】解：不等式等＜Q(1+2cos2》对以e(0㈤恒成立，＞4

即为＜Q(2+cos%)对VxG(0,扪恒成立，

等价为ax＞橙?对"％e(0,TT]恒成立，I

由、=悬的导数为V=名爵,方尸二

f

在％e(0,n]fy=0,解得x=y,

可得0Vx＜等时，y=舒4递增^＜%＜兀时，y=芸三递减，

3J2+cosx3'2+cosx

函数丁=喘工的图象如右图：

由于直线y=ax和y=端3的图象都过原点，

考虑直线y=ax和y=-黑的图象相切，且切点为(0,0),

可得切线的斜率为且、=,,

由图象可得。的范围是停,+8).

故选：D.

由题意可得ax＞端?对VxG(0,网恒成立，考虑直线y=ax和y=搭七的图象，结合导数的几

何意义，求得切线的斜率，可得所求范围.

本题考查不等式成立问题解法，考查数形结合思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档

题.

13.【答案】60

【解析】解：。一》的展开式的通项为C"6f(—刽=(_2pC*-3k,

令6-3k=0,解得k=2,

故("»的展开式中的常数项为(—2)2盘=60.

故答案为：60.

根据已知条件，结合二项式定理，即可求解.

本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

14.【答案】11

5+7+8+C+1939+c

【解析】解：.=0+比+3+4=2,歹=

55

则样本点的中心为（2,军），

代入y=3.2X+3.6,得平=3.2x2+3.6,解得c=11.

故答案为：11.

由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得c值.

本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题.

15.【答案】|

【解析】解：：y=x2+inx,y'=2x+1,

则y'lx=i=3，又曲线y=x2+lnx在点（1，）处的切线方程与直线ax-y-1=0垂直，

**•3cz=-1»即Q=——,

又b=I2+Ini=1,a+b=-.

故答案为：宗

求出原函数的导函数，可得函数在％=1处的导数，由两直线垂直与斜率的关系求得〃值，再求出

6值，作和得答案.

本题考查棱台导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题.

16.【答案】26

【解析】解：AB1CD,AD=BD,

••AB=10寸，

AD=5寸，

^.Rt^AOD^,"OA2=OD2+AD2,

OA2=（OA-I）2+52,

•••OA=13寸，

二圆柱底面的直径长是24。=26寸.

故答案为：26.

由勾股定理。42=OD2+AD2,代入数据即可求得.

考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题.

17.【答案】（1）设数列｛aj的公比为q,由已知q>0,……（1分）

由题意得"6

UiQ-arq=4

所以3q2—5q-2=0.……（3分）

解得q=2,%=2....（5分）

因此数列｛斯｝的通项公式为册=2\……（6分）

（2）由（1）知，bn=----p-----=（177，....（8分）

Jv7log2aMiog2Q?i+in（n+l）nn+1'7

-T=1+----1-=177=...（12分）

n"223nn+ln+ln+1'"

【解析】（1）求出数列的思想以及公比，得到通项公式.

（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可.

本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，考查计算能力.

18.【答案】解：（回）记：“小明恰好命中一次”为事件C,“小明射击4靶命中”为事件。，“该

射手第一次射击B靶命中”为事件E,“该射手第二次射击8靶命中”为事件尸，

3

=

由题意可知P(D)=土P(E)=P(F)4-

————————1

由于C=DEF+DEF+DEF,P(C)=P(DEF+DEF+DEF)=，

o

由±

1214d21G

“

_“

=-X=,==-X=,==-XX

552)5

8020

1334131249

X-%XdXX%2X2

--===---==-X===-XZ31J=

443)5444)55)5~

408020

4v

X012345

p113399

802040Io8020

11339919

F（X）=0x-+lx-+2x-+3x-+4x-+5x-=y.

【解析】（团）记：“小明恰好命中一次”为事件C,“小明射击A靶命中”为事件。，“该射手第

一次射击B靶命中”为事件E,“该射手第二次射击8靶命中”为事件F,利用互斥事件的概率

求解即可.

（回）X=0,1,2,3,4,5,求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.

本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列以及期望的求法，属于

中档题.

19.【答案】（1）证明：菱形ABC。中，TE,”分别为AB,C。的中点，BE=CH,

.,•四边形BCHE为平行四边形，则BC〃EH,

又EHC平面PBC,•••EH〃平面PBC,

H

又点E,F分别为AB,AP的中点，则EF〃BP,

又EFC平面PBC,•••EF〃平面PBC,

由EFCEH=E,；.平面EFH〃平面PBC；

(2)解：在菱形ABC。中，NO=60。，则△?!(；£)为正三角形，

To1

.-.AH1CD,AH=^a,DH=PH=CH=^a,

折叠后，PH1.AH,又平面P/L41平面A8CH,平面P/Mn平面ABCH=4H,

从而PH1平面4BCH.

在△PAE中，点F为A尸的中点，则SMEF=SA4EF，

"VH-PEF=^H-AEF'而％-PEF+^H-AEF~^H-PAE)

__1_111

"Vp-EFH=^H-PEF=2%-PAE=2Kp-AEH=Q''h

1111V31V3,

=2X3X2X2aXTaX2a=96a=12-

a3=8.即a=2.

故a=2.

【解析】(1)在菱形ABC。中，由E,，分别为A8,CO的中点，得BE//CH,BE=CH,得到四

边形8CHE为平行四边形，贝进一步得到EH〃平面P8C,再证明EF〃平面P8C,由

面面平行的判定可得平面EFH〃平面PBC；

(2)在菱形A8C。中，△D=60。，则AACD为正三角形，求解三角形可得AH,DH,PH,CH的值，

再证明PH_L平面4BC从然后利用等积法列式求得“值.

本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的

体积，是中档题.

20.【答案】解：(1)设椭圆C的半焦距为c,由已知可得2a=4,a=2,

vZ.FrAF2=60°,在RCAO4F2中，可得NOAF2=30°,|0*=b,|0尸2|=c,

•••\AF2\=a=2,

COS^OAF2=《=苧，解得b=V3.

•••椭圆C的方程为。+4=1；

(2)当直线MN的斜率存不在时，MN1x轴,

由施•丽=0,可得0M10N,

结合椭圆的对称性，可设M(x,x),N(x,—x),则d=|x|,

将点M(x,x)代入椭圆方程，可得9+9=1,

AZJZB,2V21,2V21

解得X=±—^―,:.d=.

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m,

此时点。到直线的距离d=即d2=鼻，

Jl+/1+k

设MQi，%),N(x2,y2),

y=kx+m

2

联立y21,可得(3+4k2)x2+Skmx+4m-12=0,

—H----

U143

由4=64k2m2—4(3+4k2)(4m2—12)>0,得?n2<4k2_|_3,

8km4m2—12

・・

,%1+x23+4乒’无1无2-3+4/'

:.xrx2+y1y2=+4-m)(fcx2+瓶)

2y

=(1+k)xrx2+km(x1+x2)+62

4m2—128k2m2,7m2-12(/c2+1)

=(1+k2)-+苏=------------5--------

3+4/3+4k23+4/c2

又TOM•ON=0,・,•xrx2+yyyz—o，

即7"；法+»=。，解得症=y(l+fc2),

d2=即4=卒.

77

综上所述，点。到直线MN的距离d=竿是定值.

【解析】(1)由已知求得a=2,求解RtACMB，可得b=遮,则椭圆C的方程可求；

(2)当直线MN的斜率存不在时，MN1x轴，由而­'ON=0,可得OM1ON,结合椭圆的对称性，

可设W(x,-x),则d=|x|,把M的坐标代入椭圆方程可得d=^.当直线MN的斜率存

在时，设直线MN的方程为、=/^+m，此时点O到直线MN的距离d=tt，即42=三，

联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合西•而Z=0,求得巾2=竽(1+卜2),得到

距离d.

本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.

21.【答案】解：(0)/(x)=2lnx-ax(aGR),

/'。)的定义域是(0,+8),f'[x)=|-a,

当aWO时、f(%)>0,/(%)在(0,+8)递增，

当a>0时，令/''(x)=0,解得：x=I，

当0<x<；时，f'(x)>0,f(x)递增，

当时，f'(x)<0,/(%)递减,

综上：当a40时，/(x)在(0,+8)递增；

当a>0时，/(x)在(0,今递增，在《,+8)递减：

(0)5(%)=/(%)4-x2=2lnx—ax+x2,

则“(%)=^—a+2%=2":"2(%>0),

若函数gQ)=/(%)+/有两个极值点％i，x2(%1<x2),

则%1，%2是方程2%2-ax+2=0的两个不相等的实数根，

故L.r_a>n，解得：a>4,

十%2—E>u

故》i4-x2=1>2①，xrx2=1②，故0<<1<上，

要使g(%i)-mx2>0恒成立，只需四式>小恒成立，

x2

由①②得：啜=幽•出=变吟®丘=_%3_2%i+2XllnX1,

X1

令九(£)=—t3—2t+2tlnt(0<t<1),则九'(t)=-3t2+21nt,

当ovtvl时，h!(t)<0,h(t)递减,

故九(t)>h(l)=-3,

故要使g(%i)-mx2>0恒成立，只需满足m<-3,

故实数a的取值范围是(一8,—3].

【解析】(团)求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的