高等数学一版自考课程代码00020三章导数与微分

第三 导数与微第01 函数在一点处的导数定3.1例1.如图3-1，当点B沿曲线y=f（x）趋向于点A是曲线y=f（x）是过A,B趋向于直线L，则称L为曲线y=f（x）在点A就是切线L 讲义编号NODE50473700030100000101：]例2.变速运动物体的瞬时速度.设运动物体走过的距离S与行走时间t之间的关系为S=S（t）,t0时刻到t讲义编号NODE50473700030100000102：3.1.11.定义3.1y=f（x）在x0第三 导数与微第01 函数在一点处的导数定3.1例1.如图3-1，当点B沿曲线y=f（x）趋向于点A是曲线y=f（x）是过A,B趋向于直线L，则称L为曲线y=f（x）在点A就是切线L 讲义编号NODE50473700030100000101：]例2.变速运动物体的瞬时速度.设运动物体走过的距离S与行走时间t之间的关系为S=S（t）,t0时刻到t讲义编号NODE50473700030100000102：3.1.11.定义3.1y=f（x）在x0及其附近有定义，如果极限v存在，则称函数f（x）表示的是函数f（x）上自变量改变1位时，函数值平均改变了几个单位，所以其值称为f（x）也就是导数值f’（x）,称为函数f（x）在x0处的瞬时变化率，|（3）讲义编号NODE50473700030100000103：]解：设v所以函数f（x）=C在x处可导，且讲义编号NODE50473700030100000104：解：设x讲义编号NODE50473700030100000105：例5.用定义求函数解：设x所以函数在x讲义编号NODE50473700030100000106：（3）讲义编号NODE50473700030100000103：]解：设v所以函数f（x）=C在x处可导，且讲义编号NODE50473700030100000104：解：设x讲义编号NODE50473700030100000105：例5.用定义求函数解：设x所以函数在x讲义编号NODE50473700030100000106：]所以函数f（x）=lnx在x（x>0）讲义编号NODE50473700030100000107：]解：设x所以函数f（x）=sinx在x讲义编号NODE50473700030100000108：针对本讲义提问] 答案讲义编号NODE50473700030100000109：第02 单侧导数、导数的几何意义、导数与连续的关2.所以函数f（x）=lnx在x（x>0）讲义编号NODE50473700030100000107：]解：设x所以函数f（x）=sinx在x讲义编号NODE50473700030100000108：针对本讲义提问] 答案讲义编号NODE50473700030100000109：第02 单侧导数、导数的几何意义、导数与连续的关2.处右可导，极限的值称为函数f（x）在x=x0存在，则称函数f（x）在存在，则称函数f（x）在定理3.1y=f（x）在x0及其附近有定义，则f（x）在x0说它在区间（a，b）称为f（x）在区间（a，b）当函数f（x）在区间（a，b）内的每一点都可导，且在x=a处右可导，在x=b间[a，b]也称为f（x）在区间[a，b]讲义编号NODE50473700030200000101：例9.在x=1，故函数（）在=1讲义编号NODE50473700030200000102：针对本讲义提问] 答案讲义编号NODE50473700030200000103：3.说它在区间（a，b）称为f（x）在区间（a，b）当函数f（x）在区间（a，b）内的每一点都可导，且在x=a处右可导，在x=b间[a，b]也称为f（x）在区间[a，b]讲义编号NODE50473700030200000101：例9.在x=1，故函数（）在=1讲义编号NODE50473700030200000102：针对本讲义提问] 答案讲义编号NODE50473700030200000103：3.过切点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线，当f’（x）≠0时，曲线y=f（x） 讲义编号NODE50473700030200000104：讲义编号NODE50473700030200000105：]解：因为曲线y=f（x）与y=lnx在x=1所以讲义编号NODE50473700030200000106：例13.此时，曲线解得所以，切线方程是y=6+4（x-讲义编号NODE50473700030200000107：4.所以f（x）=|x|在x=0讲义编号NODE50473700030200000108：例14.，在x=0处连续但不可导，则α的取值范围是讲义编号NODE50473700030200000105：]解：因为曲线y=f（x）与y=lnx在x=1所以讲义编号NODE50473700030200000106：例13.此时，曲线解得所以，切线方程是y=6+4（x-讲义编号NODE50473700030200000107：4.所以f（x）=|x|在x=0讲义编号NODE50473700030200000108：例14.，在x=0处连续但不可导，则α的取值范围是答案讲义编号NODE50473700030200000109：例15.，在x=0处可导，求a，b解：因为f（x）在x=0处可导，所以f（x）在x=0所以讲义编号NODE50473700030200000110：第033.1.2如图3-2，边长为x讲义编号NODE50473700030300000101：]则称函数f（x）及其附近有定义，如果函数值f（x）与自变量改变量的高阶无穷小量）称为f（x） 讲义编号NODE50473700030300000102：例16.设函数y=f（x）在 处可导dy是h△y-dy是hdy是比h△y-dy是比h则当h→0时，必有答案讲义编号NODE50473700030300000103：2.定理3.3函数f（x）处可微的充要条件是函数f（x）所以讲义编号NODE50473700030200000110：第033.1.2如图3-2，边长为x讲义编号NODE50473700030300000101：]则称函数f（x）及其附近有定义，如果函数值f（x）与自变量改变量的高阶无穷小量）称为f（x） 讲义编号NODE50473700030300000102：例16.设函数y=f（x）在 处可导dy是h△y-dy是hdy是比h△y-dy是比h则当h→0时，必有答案讲义编号NODE50473700030300000103：2.定理3.3函数f（x）处可微的充要条件是函数f（x）讲义编号NODE50473700030300000104：]几何意义：（如图）是曲线的纵坐标增量时，dy很小时，在点M的附近，切线段MP可近似代替曲线MN曲线y=f（x）即函数f（x）处的微分值是曲线y=f（x）讲义编号NODE50473700030300000105：]1.求f（x）在点=0讲义编号NODE50473700030300000106：例17.的近似值，就是在该点附近用切线近似表示曲线讲义编号NODE50473700030300000107：讲义编号NODE50473700030300000104：]几何意义：（如图）是曲线的纵坐标增量时，dy很小时，在点M的附近，切线段MP可近似代替曲线MN曲线y=f（x）即函数f（x）处的微分值是曲线y=f（x）讲义编号NODE50473700030300000105：]1.求f（x）在点=0讲义编号NODE50473700030300000106：例17.的近似值，就是在该点附近用切线近似表示曲线讲义编号NODE50473700030300000107：例18.讲义编号NODE50473700030300000108：]，求t=2解：v=S’=2t+4,t=2时，v（2）=8,所以，此时的瞬时速度是讲义编号NODE50473700030300000109：例20.设某产品生产x，求生产第100所以，总收入的变化率是讲义编号NODE50473700030300000110：第04 导数的运算（一3.2讲义编号NODE50473700030400000101：3.2.1定理3.4若函数f（x），g（x）讲义编号NODE50473700030400000102：例18.讲义编号NODE50473700030300000108：]，求t=2解：v=S’=2t+4,t=2时，v（2）=8,所以，此时的瞬时速度是讲义编号NODE50473700030300000109：例20.设某产品生产x，求生产第100所以，总收入的变化率是讲义编号NODE50473700030300000110：第04 导数的运算（一3.2讲义编号NODE50473700030400000101：3.2.1定理3.4若函数f（x），g（x）讲义编号NODE50473700030400000102：]例1讲义编号NODE50473700030400000103：例2.讲义编号NODE50473700030400000104：例3.讲义编号NODE50473700030400000105：]讲义编号NODE50473700030400000106：讲义编号NODE50473700030400000103：例2.讲义编号NODE50473700030400000104：例3.讲义编号NODE50473700030400000105：]讲义编号NODE50473700030400000106：例5.（1）讲义编号NODE50473700030400000107：（2） 讲义编号NODE50473700030400000108：3.2.21.定理3.5的复合，若g（x）处可导，f（u）关于x讲义编号NODE50473700030400000109：]讲义编号NODE50473700030400000110：讲义编号NODE50473700030400000111：例5.（1）讲义编号NODE50473700030400000107：（2） 讲义编号NODE50473700030400000108：3.2.21.定理3.5的复合，若g（x）处可导，f（u）关于x讲义编号NODE50473700030400000109：]讲义编号NODE50473700030400000110：讲义编号NODE50473700030400000111：讲义编号NODE50473700030400000112：讲义编号NODE50473700030400000113：（5）讲义编号NODE50473700030400000114：例7.，其中f（x）所以选讲义编号NODE50473700030400000115：例8.（A）﹣2 讲义编号NODE50473700030400000112：讲义编号NODE50473700030400000113：（5）讲义编号NODE50473700030400000114：例7.，其中f（x）所以选讲义编号NODE50473700030400000115：例8.（A）﹣2 ，选讲义编号NODE50473700030400000116：第05 导数的运算（二2.已知函数y=f（u），若函数u=g（x）f（g（x））有意义，则根据复合函数的链式求导法则及微分计算公式，可知y=f（g（x））上面的讨论说明，对于函数y=f（u），无论变量u讲义编号NODE50473700030500000101：例9.讲义编号NODE50473700030500000102：3.2.3定理3.6设函数f，g存在且不为零，则g（y）讲义编号NODE50473700030500000103：]解：（1）讲义编号NODE50473700030500000104：例11.，选讲义编号NODE50473700030400000116：第05 导数的运算（二2.已知函数y=f（u），若函数u=g（x）f（g（x））有意义，则根据复合函数的链式求导法则及微分计算公式，可知y=f（g（x））上面的讨论说明，对于函数y=f（u），无论变量u讲义编号NODE50473700030500000101：例9.讲义编号NODE50473700030500000102：3.2.3定理3.6设函数f，g存在且不为零，则g（y）讲义编号NODE50473700030500000103：]解：（1）讲义编号NODE50473700030500000104：例11.讲义编号NODE50473700030500000105：3.2.42.讲义编号NODE50473700030500000106：]4.5.讲义编号NODE50473700030500000107：]讲义编号NODE50473700030500000108：]讲义编号NODE50473700030500000109：讲义编号NODE50473700030500000105：3.2.42.讲义编号NODE50473700030500000106：]4.5.讲义编号NODE50473700030500000107：]讲义编号NODE50473700030500000108：]讲义编号NODE50473700030500000109：讲义编号NODE50473700030500000110：讲义编号NODE50473700030500000111：]讲义编号NODE50473700030500000112：]讲义编号NODE50473700030500000110：讲义编号NODE50473700030500000111：]讲义编号NODE50473700030500000112：]讲义编号NODE50473700030500000113：第06 隐函数求导1.当y解不出来的时候，我们可以把y讲义编号NODE50473700030600000101：例1.已知函数y=y（x）两端关于变量x求导，y讲义编号NODE50473700030600000102：例2.已知函数y=y（x）确定，求y=y（x）在x=0两边关于变量x求导，将y将x=0将x=0，y（0）=1，得讲义编号NODE50473700030600000103：例3.已知函数y=y（x）确定，求曲线y=y（x）在点（0，y（0））将x=0将x=0，y（0）=0两端关于变量x求导，将y，解得讲义编号NODE50473700030500000113：第06 隐函数求导1.当y解不出来的时候，我们可以把y讲义编号NODE50473700030600000101：例1.已知函数y=y（x）两端关于变量x求导，y讲义编号NODE50473700030600000102：例2.已知函数y=y（x）确定，求y=y（x）在x=0两边关于变量x求导，将y将x=0将x=0，y（0）=1，得讲义编号NODE50473700030600000103：例3.已知函数y=y（x）确定，求曲线y=y（x）在点（0，y（0））将x=0将x=0，y（0）=0两端关于变量x求导，将y，解得所以曲线y=y（x）在点（0，y（0））处的切线方程为y=﹣x，法线方程为讲义编号NODE50473700030600000104：例4.求笛卡儿叶形线（如图3-4所示在点（2，4）解：这个方程在点（2，4）附近确定了y是x两端关于变量x求导，将y将x=2，y=4代入上式，得于是笛卡儿叶形线在点（2，4）讲义编号NODE50473700030600000105：第07 对数求导讲义编号NODE50473700030700000101：例上式两边对x讲义编号NODE50473700030700000102：例6.解：这个方程在点（2，4）附近确定了y是x两端关于变量x求导，将y将x=2，y=4代入上式，得于是笛卡儿叶形线在点（2，4）讲义编号NODE50473700030600000105：第07 对数求导讲义编号NODE50473700030700000101：例上式两边对x讲义编号NODE50473700030700000102：例6.两端关于变量x求导，将y讲义编号NODE50473700030700000103：例7.两端关于变量x求导，将y讲义编号NODE50473700030700000104：例8.（1）两端关于变量x求导，将y（2）lny=ln（x-1）+2ln（x-2）+3ln（x-两端关于变量x求导，将y讲义编号NODE50473700030700000105：第08 高阶导3.3.21.我们知道，当运动物体移动的距离S与移动时间t之间的关系式S=S（t）已知时，导数S′（t）该物体在t时刻的瞬时速 ，.该物体在t中的每一点x两端关于变量x求导，将y讲义编号NODE50473700030700000103：例7.两端关于变量x求导，将y讲义编号NODE50473700030700000104：例8.（1）两端关于变量x求导，将y（2）lny=ln（x-1）+2ln（x-2）+3ln（x-两端关于变量x求导，将y讲义编号NODE50473700030700000105：第08 高阶导3.3.21.我们知道，当运动物体移动的距离S与移动时间t之间的关系式S=S（t）已知时，导数S′（t）该物体在t时刻的瞬时速 ，.该物体在t中的每一点x的n讲义编号NODE50473700030800000101：]例9.讲义编号NODE50473700030800000102：例10.讲义编号NO