数学-课堂探究：合情推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一等式与不等式中的归纳推理给出几个等式(或不等式)归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给等式（或不等式）中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律，发现它们与自然数n的内在联系，从而写出一般性结论．【典型例题1】观察下列各式：32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，122＋162＝202.由上述等式能得到怎样的一般性结论?请写出结论并证明．思路分析:观察给出的4个等式中,等号左边和右边各项的特点,数的变化规律，发现其特点，然后得出一般性结论．解：通过观察上面给出的各个式子，可以发现这些等式中蕴涵的基本规律，这个规律可以用一个等式来表示，即(3n)2＋（4n)2＝（5n)2（n∈N＋)．这一结论的证明如下：因为（3n）2＋(4n）2＝n2(32＋42)＝n2·52＝(5n)2，所以（3n）2＋（4n）2＝（5n)2(n∈N＋)．【典型例题2】观察下列不等式：eq\f（1,2）×1≥1×eq\f(1,2），eq\f(1，3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)））≥eq\f（1,2)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）＋\f(1，4）))，eq\f（1，4)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，3）＋\f(1，5）)）≥eq\f(1，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）＋\f（1,4）＋\f(1,6)）)，eq\f（1,5）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3）＋\f（1，5）＋\f(1，7))）≥eq\f（1,4）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）＋\f（1,4）＋\f(1,6)＋\f（1,8))),试写出第n个不等式．思路分析：观察各式不难发现，左侧括号内是连续奇数的倒数之和，右侧括号内是连续偶数的倒数之和，而另一个数与项数有关，从而得出一般性结论．解：第1个不等式为eq\f（1,2)×1≥1×eq\f(1，2），即eq\f（1，1＋1）×1≥1×eq\f(1,2×1）;第2个不等式为eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3）)）≥eq\f（1,2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)）)，即eq\f（1，2＋1）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，2×2－1)）)≥eq\f（1,2)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2×1）＋\f（1,2×2）)）;第3个不等式为eq\f（1,4）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3）＋\f(1，5）))≥eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)＋\f(1，4）＋\f(1，6）)），即eq\f（1，3＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，2×2－1）＋\f(1，2×3－1））)≥eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2×1）＋\f(1,2×2)＋\f（1，2×3））);…猜测第n个不等式为eq\f（1，n＋1）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3）＋\f(1，5）＋…＋\f（1,2n－1)）)≥eq\f(1，n）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)＋\f（1,4）＋\f（1,6)＋…＋\f(1,2n）））(n∈N＋）．探究二数列中的归纳推理在数列问题中,常用归纳推理猜测求解数列的通项公式或前n项和公式，其具体步骤是:(1）通过条件求得数列中的前几项或前几项的和；(2)观察数列的前几项寻找规律，猜测数列的通项公式或前n项和公式并加以证明．【典型例题3】已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝eq\f(2an，an＋2)(n∈N＋）．试归纳猜想{an}的通项公式．思路分析：先根据a1的值和给出的递推公式求出a2，a3，a4，…，然后根据各项的规律猜测an。解:因为a1＝4，所以a2＝eq\f(2a1，a1＋2)＝eq\f(2×4,2＋4）＝eq\f（4,3)，a3＝eq\f(2a2，a2＋2)＝eq\f(2×\f（4,3），\f（4，3)＋2)＝eq\f（4，5），a4＝eq\f（2a3,a3＋2)＝eq\f(2×\f(4,5)，\f(4,5）＋2)＝eq\f（4,7)，由此可猜测an＝eq\f(4，2n－1）(n∈N＋）．探究三平面与空间中结论的类比平面与空间的类比是一种常见的类比，一般地,平面中的点、线与空间中的线、面是类比对象；平面中的三角形、正方形与空间中的四面体、正方体是类比对象；平面中的圆与空间中的球是类比对象、平面中的边长与空间中的面积是类比对象、平面中的面积与空间中的体积是类比对象等．【典型例题4】我们知道，在平面中，如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形．将这一结论推广到空间，你能得到什么结论？你能否证明结论的正确性？思路分析:本题是由平面到空间的推广，平行四边形与平行六面体是类比对象，矩形则和直平行六面体是类比对象．解:平面中的平行四边形可以与空间中的平行六面体相类比，因此可得到结论：如果一个平行六面体的体对角线相等，那么这个平行六面体是直平行六面体．证明如下：如图,在平行六面体ABCD­A1B1C1D1若对角线A1C与AC1则四边形ACC1A1因此A1A⊥AC同理，由BD1＝B1D可得四边形BB1D1D是矩形，因此D1D⊥DB，即A1A⊥DB又因为AC与BD相交，所以A1A⊥底面ABCD故平行六面体是直平行六面体．探究四等差数列与等比数列的类比1．等差数列和等比数列是一对很好的类比对象,它们在很多方面可以进行类比．等差数列中的加、减、倍数通常与等比数列中的乘、除、乘方相对应．2．进行类比推理时，注意比较两个对象的相似之处和不同之处,找到可以类比的两个量，然后加以推测，最好能加以证明，以保证类比的正确性．【典型例题5】若等比数列{an}的公比为q,前n项的积为Tn,那么数列{eq\r(n，Tn)｝为等比数列，且公比为eq\r（q).类似地,在等差数列｛bn｝中，若其公差为d，前n项和为Sn，则相应的结论是什么？加以证明．解：相应的结论是：数列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n）)）为等差数列，公差为eq\f（d，2).证明如下：因为Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2）d.所以eq\f（Sn,n)＝eq\f(na1＋\f(nn－1，2）d,n)＝a1＋eq\f(n－1，2）d＝eq\f（d，2)n＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a1－\f(d,2)）)，于是eq\f(Sn＋1，n＋1）－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2）（n＋1)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))－eq\f(d,2）n－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（a1－\f（d，2）)）＝eq\f（d,2)。故eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(Sn，n))）为等差数列，且公差为eq\f(d,2）.探究五易错辨析易错点：类比推理应用错误【典型例题6】请用类比推理完成下表：平面空间三角形的面积等于任意一边的长度与这条边上的高的乘积的eq\f（1,2)三棱锥的体积等于任一底面的面积与这个底面上的高的乘积的eq\f（1，3)三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积的eq\f(1，2)错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的eq\f（1，3).