数学互动课堂学案：两角和与差的正弦

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1.两角和与差的正弦公式sin（α—β)=cos（-α+β)=cos［（-α)+β］=cos（-α)cosβ—sin(—α)sinβ=sinαcosβ—cosαsinβ，即sin(α-β）=sinαcosβ—cosαsinβ.在上式中，以—β代β可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。2.正确理解和差角的正弦公式（1）公式对于任意的角α、β都成立。(2）搞清sin(α±β）的意义，例如sin（α+β)是两角α与β的和的正弦，它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比，在一般情况下，sin（α+β）≠sinα+sinβ，如α=,β=时,sin（+）=sin=1，sin+sin=+=≠1,∴sin(+）≠sin+sin.只有在某些特殊情况下，sin（α+β）=sinα+sinβ.例如，当α=0，β=时，sin（0+）=sin=，sin0+sin=0+=，sin（0+）=sin0+sin。在学习时一定要注意:不能把sin（α+β）按分配律展开.（3）牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°—sin70°cos40°,能观察出此式等于sin（20°-50°）=—sin30°=-.（4)灵活运用和（差）角公式,例如化简sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，不要将sin（α+β）,cos(α+β)展开，而应就整个式子,直接运用公式sin[（α+β）—β］=sinα,这也是公式的逆用。3。有关点（向量）的一组旋转公式已知点P(x，y)，与原点距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′(x′，y′）,则公式推导如下：如下图所示：设∠xOP=α,则cosα=,sinα=。∴x′=rcos（α+θ)=r(cosαcosθ—sinαsinθ）=xcosθ-ysinθ，y′=rsin(α+θ）=r(sinαcosθ+cosαsinθ)=xsinθ+ycosθ。即4.形如asinx+bcosx(a，b不同时为零）的三角函数式可化为一个角的一个三角函数式。记住以下重要结论：asinx+bcosx=sin（x+θ)其中sinθ=，cosθ=，推导如下：考察以（a，b）为坐标的点P（a,b），设以OP为终边的一个角为θ，则cosθ=,sinθ=。于是asinx+bcosx=(sinx+cosx)=a2+b2(cosθsinx+sinθcosx）=sin（x+-θ)。其中sinθ=,cosθ=.活学巧用【例1】化简下列各式（1）cos（80°+3α）cos(35°+3α）+sin(80°+3α)cos（55°—3α）;(2）sin(x+)+2sin（x—）-cos(-x）;(3）.解析：（1）原式=cos(80°+3α）cos（35°+3α)+sin（80°+3α)sin(35°+3α)=cos［（80°+3α)—(35°+3α）］=cos45°=。（2)原式=sin(x+）+2sin(x—）-cos［π—（x+）］=［sin（x+）+cos(x+)］+2sin(x-）=2［sin(x+）·+cos（x+)·］+2sin（x—）=2[sin(x+）cos+cos（x+）sin］+2sin(x—）=2sin［(x+)+]+2sin（x-)=2sin(x+π）+2sin(x—)=2sin［π—(—x)］+2sin(x-)=2sin(-x)+2sin（x—）=0。（3）原式===tan（α—β）.【例2】已知cos（α+β）=，cos2α=—，α、β均为钝角,求sin（α-β）.∵α、β∈（90°,180°)，∴α+β,2α∈（180°，360°).∵cos(α+β)=—＜0,cos2α=—＜0。∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=，sin2α=。∴sin(α—β）=sin[2α-（α+β）］=sin2αcos（α+β）-cos2α·sin（α+β）=(—）×（—)-(—)(）=.【例3】已知向量=（3,4),绕原点旋转30°到的位置，求点P′（x′,y′)的坐标。解析：x′=xcosθ-ysinθ=3cos30°—4sin30°=3×-4×,y′=xsinθ+ycosθ=3sin30°+4cos30°=3×∴P′的坐标（，).【例4】将下列各式化成Asin（x+φ）的形式.(1）sinx+cosx；(2)(sinx—cosx）；(3）sin（-x)+cos(-x）。解析：(1）sinx+cosx=(sinx·+cosx·)=（sinxcos+cosxsin）=2sin(x+).（2)(sinx-cosx)=·（sinx·-cosx·）=2（sinxcos-cosxsin）=2sin（x-