数学互动课堂学案：两角和与差的余弦_第1页
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学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1.两角差的余弦公式把cos(α-β）看成是两个向量夹角的余弦,可以考虑利用两个向量的数量积来研究,如下图,设α,β的终边分别与单位圆交于点P1（cosα,sinα),P2(cosβ，sinβ）,由于余弦函数是周期为2π的偶函数,所以我们只考虑0≤α-β＜π的情况。设向量a==（cosα，sinα）,b==(cosβ，sinβ）,则a·b=｜a|｜b|·cos(α-β)=cos（α-β)。另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，∴cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是，对于任意的α、β，都有上述式子成立。2。两角和的余弦公式比较cos（α—β）与cos（α+β），并且注意到α+β与α-β之间的关系：α+β=α—(—β),则由两角差的公式得:cos（α+β）=cos［α—(-β）］=cosαcos（-β)+sinαsin(—β）=cosα·cosβ—sinαsinβ，即cos(α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ。3。对两角和与差的公式的理解和记忆（1）上述公式中的α、β都是任意角。(2)公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.（3)要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧。如2α=（α+β）+（α—β），α=(α+β)—β,α=（α-β)+β。活学巧用【例1】利用公式Cα-β,Cα+β证明下列等式。（1）cos（π-α）=—cosx；(2)cos(—α）=—sinα。解析：(1）cos(π—α）=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα.(2)cos（—α）=coscosα+sin·sinα=0·cosα—sinα=-sinα。【例2】已知sinα=，cosβ=，α、β均为第二象限角，求cos(α-β）,cos（α+β）.解析:由sinα=，α为第二象限角,∴cosα=。又由cosβ=—，β为第二象限角，∴sinβ=.∴cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（—)×（)+×=.【例3】已知＜β＜α＜，cos(α—β）=,sin(α+β)=,求cos2α与cos2β。解析：∵＜β＜α＜,∴0＜α-β＜，π＜α+β＜,∴sin（α—β)=，cos（α+β）=，∴cos2β=cos［（α+β）-（α—β）]=cos(α+β)cos（α-β）+sin(α+β)sin（α-β)=—×+(）×=-.c

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