2025年高考数学一轮知识点复习：余弦定理、正弦定理应用举例-专项训练【含解析】

余弦定理、正弦定理应用举例-专项训练（原卷版）

【基础落实练】

1.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的

雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12。角的方向飞行，飞行

到中途。点，再沿与原来的飞行方向AB成18。角的方向继续飞行到终点B这样飞

机的飞行路程比原来的路程500km大约多了（sin12°~0.21,sin18°~0.31）（）

C

12°500km

A.10kmB.20kmC.30kmD.40km

【加练备选】

一船以每小时15或km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔5在北偏东

60。,行驶4小时后，船到达。处，看到这个灯塔在北偏东15。,这时船与灯塔的距离

为（）

A.60kmB.60V2km

C.30V2kmD.30km

2.《墨经•经说下》中有这样一段记载:“光之人,煦若射.下者之人也高，高者之人也

下.足蔽下光,故成景于上;首蔽上光，故成景于下.在远近有端，与于光，故景库内也

这对小孔成像有了第一次的描述.如图为一次小孔成像实验，已知物距..像距=6/

1,04=05=12,cosNAO夕=||,则像高为（）

3.宝塔山是延安的标志也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老

百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为夕:3（坡度比即坡面的垂直

高度和水平宽度的比）,在山坡A处测得NC4Z）=15。,从A处沿山坡往上前进66m

到达B处,在山坡B处测得NC5D=30。厕宝塔CD的高为（）

A.44mB.42mC.48mD.46m

4.如图是国家博物馆.欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度0尸（点0

在柱楼底部），现从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别为30。,45。,且N

ABO=60°AB=6042m,贝UOP=（）

A.40mB.30m

C.30V2mD.30V3m

5.（多选题）如图5A,5两点在河的同侧，且A,5两点均不可到达,要测出A,B的距离,

测量者可以在河岸边选定两点CQ,若测得CD=fkm,ZADB=ZCDB=30°,Z

48=60。,NACB=45。,则下列计算结果正确的有（）

A.AC=——kmB.BC=—km

C.ZDBC=45°D.AB=—km

4

6.（多选题）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75。,距离12V6nmile;在A处看

灯塔。在货轮北偏西30。,距离8V3nmile.货轮由A处向正北航行到。处时，再看

灯塔B在南偏东60。,则下列说法正确的是（）

A.A处与D处之间的距离是24nmile

B.灯塔C与D处之间的距离是16nmile

C.灯塔。在。处的西偏南60°

D.Z）在灯塔5的北偏西30°

7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行,30

分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,

在B处观察灯塔，其方向是北偏东65。,则B,C两点间的距离是海里.

8.甲船在A处发现乙船在其北偏东60。方向上的B处，乙船正在以anmile/h的速

度向北行驶，已知甲船的速度是旧。nmile/h,则甲船应沿着方向前进，

才能最快与乙船相遇.

9.为了测出图中草坪边缘A,B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与

D（A,B,C,D四点共面），测得4C=L6m,CD=2m,BD=1.8m,已知cosZBDC=--,tan

4

ZACD=3V7.

（l）^CAACD的面积；

（2）求A,B两点间的距离.

【能力提升练】

10.（多选题）如图，某校测绘兴趣小组为测量干厮门大桥桥墩底部到顶端的高度

A民选取与点B在同一水平面内的两点C与D（B,C,D不在同一直线上），画一条基

线，测得8=s,测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有:ZACB,ZACD,ZBCD,Z

4。氏/人。。,/5。。,则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是

A.s,ZACB,ZBCD,ZBDC

B.s,ZACB,ZBCD,ZACD

C.s,ZACB,ZACD,ZADC

D.s,ZACB,ZBCD,ZADC

【加练备选】

小李在某大学测绘专业学习，节日回家,来到村头的一个池塘（如图中阴影部

分所示）,为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离，除了观测点C,D外，他又选了两

个观测点尸1,尸2,且尸1尸2=。,已经测得两个角NP/2D=a,N尸2P四由于条件不足

需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就

可以求出间距离的是（）

PiA

①尸C和NDCP;②NRP2C和NBCP2；③NPQC和NOCP.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.源口潮口③

11.如图，据气象部门预报,在距离某码头南偏东45。方向600kmA处的热带风暴中

心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到

影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）

北

码头

45、。''：、、

\!

4壬

热带血累中心

A.14hB.15hC.16hD.17h

12.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积,进行了一些测量工作，最后将此绿

化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示,A5=2km,BC=lkm,

/班。=45。,/5=60。,/5。。=105。,则该绿化区域的面积是km2.

13.如图，曲柄连杆结构中，曲柄CB绕。点旋转时，通过连杆A5的传递，活塞做直线

往复运动.当曲柄在CBo位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在Ao处.设

连杆AB长200mm,曲柄CB长70mm,则曲柄自按顺时针方向旋转53.2。时,

活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AoA）约为mm.（结果保留整

数X参考数据:sin53.2^0.8）

14.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45。方向，相距12n

mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75。方向前

进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45。+&方向拦截蓝方的小艇.

若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角a的正弦值.

15.某人在塔的正东沿着南偏西60。的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿

途测得塔顶的最大仰角为30。,求塔高.

【创新思维练】

16.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括

一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长

尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度

最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据某市

的地理位置设计的圭表的示意图，已知该市冬至正午太阳高度角（即NA5。约为

32.5。,夏至正午太阳高度角很口NAZ）。约为79.5。,圭面上冬至线与夏至线之间的

距离（即DB的长）为14米,则表高（即AC的长）约为（）

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

余弦定理、正弦定理应用举例-专项训练(解析版)

【基础落实练】

1.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的

雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12。角的方向飞行，飞行

到中途。点，再沿与原来的飞行方向AB成18。角的方向继续飞行到终点B这样飞

机的飞行路程比原来的路程500km大约多了(sin12°~0.21,sin18°~0.31)()

A.10kmB.20kmC.30kmD.40km

【解析】选B.在"5。中，由A=12。方=18。,得。=150。,由正弦定理得

500__4C

sinl50。-sinl2。-sinl8。'

所以孚u反，所以AC-310km,5a210km,所以AC+BC-AB^2Qkm.

—0.210.31

2

【加练备选】

一船以每小时15夜km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔5在北偏东

60。,行驶4小时后，船到达。处，看到这个灯塔在北偏东15。,这时船与灯塔的距离

为()

A.60kmB.60V2km

C.30V2kmD.30km

【解析】选A.画出图形如图所示，在△人吕。中,/胡。=30。2。=4*15鱼=60近，

N5=45。,由正弦定理得

sinBsmZ.BAC

2.《墨经・经说下》中有这样一段记载:“光之人,煦若射.下者之人也高，高者之人也

下.足蔽下光,故成景于上;首蔽上光，故成景于下.在远近有端，与于光，故景库内也

这对小孔成像有了第一次的描述.如图为一次小孔成像实验，已知物距..像距=6/

l,OA=O5=12,cosN4O£=||,则像高为()

被成

B像物

像的一被成的高

高度一度度

4

on

A.lB.-C.—D.上

222

【解析】选B.由cosN4M=|j,

贝Ucos/AO5=||,又04=05=12,贝UAB2=OA2+OB2-2OA-OBX||=81,BPAB=9,

又物距.'像距=6；1,即AB，=；xAB=；，即像局］为

3.宝塔山是延安的标志也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老

百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为V7:3（坡度比即坡面的垂直

高度和水平宽度的比）,在山坡A处测得NCAZ）=15。,从A处沿山坡往上前进66m

到达B处,在山坡B处测得NC5D=30。厕宝塔CD的高为（）

A.44mB.42mC.48mD.46m

【解析】选A.由题可知/04。=15。,/。&)=30。,则/4。5=15。,所以5。=45=66,

设坡角为。，则由题可得tan。=4,则可求得cos。喙在△58中,/夙)。=。+三，

由正弦定理可得』

sin30°sin(0+-)

即孚=白=票，解得8=44,2

—cost/—

24

故宝塔CD的高为44m.

4.如图是国家博物馆.欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度。尸(点0

在柱楼底部)，现从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别为30。,45。，且/

ABO=60°,AB=6042m,贝U0P=()

BA

A.40mB.30m

C.30V2mD.30V3m

【解析】选C.设0尸=力,由题意知,NOAP=3(r,NO5尸=45。.

在RtAAOP中,。4二渭『哥，

11a1,U

在RtABOP^,OB=OP=h.

在△A50中油余弦定理得4。2=542+052-2540氏0560°,

即/Z2+30V2/Z-3600=0,

解得/z=30V2(m).

5.（多选题）如图,A,5两点在河的同侧，且A,B两点均不可到达,要测出A,B的距离,

测量者可以在河岸边选定两点CQ,若测得CD=与km,ZADB=ZCDB=30°,Z

ACD=60。,/AC5=45。厕下歹U计算结果正确的有（）

A____B

A.AC=—kmB.BC=一km

4

C.ZDBC=45°D.AB=—km

【解析】选CD.在ZLBCD中,

由正弦定理得~—sinZBDC=—^~sin30。=一（km）.

smZ-DBCsin4504

在△AC。中，因为ZADC=ZADB+ZCDB=60°,ZACD=6Q°,

所以ND4C=60。,所以4。=。。=产km,

在及钻。中，由余弦定理得:A戌UAC2+^CDAGBCCOS45。=三+三-2x亚x渔x立二.所

482428

以km.

4

6.（多选题）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75。,距离12-\/6nmile;在A处看

灯塔C在货轮北偏西30。,距离8V3nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看

灯塔B在南偏东60。,则下列说法正确的是（）

A.A处与D处之间的距离是24nmile

B.灯塔C与D处之间的距离是16nmile

C.灯塔。在Z）处的西偏南60°

D.Q在灯塔5的北偏西30°

【解析】选AC.由题意可知/人。5=60。,/91。=75。,/。1。=30。,所以

fi=180°-60o-75o=45°4fi=12V6,AC=8V3,

北

在及钻。中，由正弦定理得禺=一^启所以AD=—9^=24(11mile),故A正确；

sinBs\nz.ADBV3

2

在△AC。中,由余弦定理得

CD=^AC2+AD2-2AC-ADcos^CAD,

即CD=J(8V3)2+242-2x8gx24xy=8V3(nmile),故B错误；

因为CO=AC,所以NCD4=NCAO=30。,所以灯塔。在。处的西偏南60。,故C正

确；

由NAQ5=60。,。在灯塔B的北偏西60。处，故D错误.

7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行,30

分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,

在B处观察灯塔，其方向是北偏东65。,则反。两点间的距离是海里.

【解析】如图所示,易知，

在△A5C^AB=2Q,ZCAB=3Q°,ZACB=45°,^ABC中，根据正弦定理得

BC

二而，解得叱=1°夜(海里)•

sin30°

答案：10近

8.甲船在A处发现乙船在其北偏东60。方向上的B处，乙船正在以anmile/h的速

度向北行驶，已知甲船的速度是旧。nmile/h,则甲船应沿着方向前进,

才能最快与乙船相遇.

【解析】如图所示,设经过th两船在。点相遇.

北

DfC

A

在及钻。中,5。=。»。=逐西5=180°-60°=120°.

BCAC/日./BCsinBatsinl2001

由------二^得SHI/CAB=-----=-——=-.

sm^CABsmBACyF/3at2

因为0。</。45<60。,所以NCAB=30。，

所以/。4。=60。-30。=30。,即甲船应沿北偏东30。的方向前进，才能最快与乙船相

遇.

答案:北偏东30°

9.为了测出图中草坪边缘A,B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与

D（A,B,C,D四点共面），测得AC=1.6m,CD=2m,50=1.8m,已知cosZfiDC=--,tan

4

ZACD=3V7.

⑴求△AC。的面积；

⑵求A,B两点间的距离.

【解析】⑴如图所示，因为tanNACZ）=3V7,可得sinZACD=^-,

O

B

D

A

C

所以S^ACD=lACCDsinZACD=

(2)因为tanNACD=3V7,所以cosNAC。',所以加》=1.62+22-2x1.6x2x^=5.76,则

88

AD=2A,

AD2+CD2-AC23

因为cosZADC=

2ADCD4’

所以sinNA。。邛，

4

又cos/KDC=-土所以NAZ)5=U,所以AB=y/AD2+BD2=V2.42+1.82=3(m).

42

【能力提升练】

10.（多选题）如图，某校测绘兴趣小组为测量千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度

A民选取与点B在同一水平面内的两点C与D（B,C,D不在同一直线上），画一条基

线，测得8=s,测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有:ZACB,ZACD,ZBCD,Z

A。民NAOCN5DC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是

()

A.s,ZACB,ZBCD,ZBDC

B.s,ZACB,ZBCD,ZACD

C.s,ZACB,ZACD,ZADC

D.s,ZACB,ZBCD,ZADC

【解析】选ACD.A:根据由正弦定理求5C,再结合NAC5可求

AB的高度，正确；

B:在△AC0A5C。中都已知一边一角，不能求出其他角或边,无法求A5的高度，错

误；

C:根据s,NACRNA。。,由正弦定理求AC,再结合N4C5可求AB的高度，正确；

D:如图，过B作连接A区由于cosZACB=—,cosZBCD=—,

ACBC

cr

cos/ACE=—,

AC

所以35/人。石=（：05/4。8（：05/5。。,所以由/4。尻/5。。可求NACO,结合N

ADC由正弦定理求AC,再由ZACB可求A5的高度，正确.

【加练备选】

小李在某大学测绘专业学习，节日回家,来到村头的一个池塘（如图中阴影部

分所示）,为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离，除了观测点C,D外，他又选了两

个观测点尸1,尸2,且尸1尸2=。,已经测得两个角/尸1尸山=氏/尸2尸1八=四由于条件不足

需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就

可以求出间距离的是（）

①NDP1C和NDCP;②NP1尸2。和NPCP；③NP1。。和NQCR.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.源口潮口③

【解析】选D.根据题意,APP?。的三个角和三条边，由正弦定理均可以求出，

加故。。乙产凶：£尸，故何以求出8梏0件等价②

smZ.DPrCsinzDCPisinDCP1

中，在△P1P2C中.K故PC=竺嘤等，在△PC。中,利用余弦定理

乙

smz.P1CP2sinP1P2csinzP1CP2

求解CD即可.

11.如图，据气象部门预报,在距离某码头南偏东45。方向600kmA处的热带风暴中

心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到

影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()

北

码头

、'、、''[8

A；、S

热带应嘉中心

A.14hB.15hC.16hD.17h

【解析】选B.th后热带风暴中心到达点B位置，在△0A5中。A=600km,AB=20t

km,NOA5=45。,由余弦定理得OB2=6002+400^-2x20?x600OS2<4502,gP

4人120岳+1575S0,解得沙产装迎产

所以该码头将受到热带风暴影响的时间为管竺-等竺=15(h).

12.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积,进行了一些测量工作，最后将此绿

化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示25=2km,BC=lkm,

/胡。=45。,/5=60。,/5。。=105。,则该绿化区域的面积是km2.

C

D

1km

45。60°

42kmB

【解析】如图，连接4C由余弦定理可知AC=7AB2+BC2-2ABBC-COSB=

V3(km),i^ZACB=90o,ZCAB=30o,ZDAC=ZDCA=15o,ZADC=150°.

由正弦定理彳导，即AD=ACxsinZ.DCA

sinZ-ADCsinZ-DCAsinZ-ADC

Z^7^1O5°\1km

60*

A2kmB

故S四边形ABCD=SAA8C+SAADC=:义］xg+：X(3f逐)2义：=.(km2).

答案:

13.如图，曲柄连杆结构中，曲柄CB绕。点旋转时，通过连杆A5的传递，活塞做直线

往复运动.当曲柄在CBo位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在Ao处.设

连杆AB长200mm,曲柄CB长70mm,则曲柄自C5o按顺时针方向旋转53.2。时,

活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AoA）约为mm.（结果保留整

数X参考数据:sin53.2°~0.8）

嬴2c

【解析】在△4吕。中,45=200,50=70,NAC5=53.2。,sinNAC^W，由正弦定理彳导sin

N5AC=BCsi：丁CB=/因为A5〉5C,所以NAC5AN5AC,故N5AC为锐角，所以cos

ADZD

ZBAC^

所以sin/A5C=sin(/AC5+N5AoWx|^+|x(=%，所以

AC=竺画吆竺耍200xUZY=234.故44=(4)氏+为045200+70)-234=36(111111).

sinZ-ACB1254

所以曲柄自。瓦按顺时针方向旋转53.2。时活塞移动的距离约为36mm.

答案：36

14.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45。方向，相距12n

mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75。方向前

进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45。+a方向拦截蓝方的小艇.

若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角a的正弦值.

【解析】如图,设红方侦察艇经过％小时后在。处追上蓝方的小艇,

A

贝UAC=14x,BC=lQx,ZABC=nQ°.

根据余弦定理得(14x)2=122+(lOx)2-

240xcos120。,解得x=2.

故AC=28,5C=20.

根据正弦定理得旦=3；

sinasml20°

20sinl20°5V3

所以sina=---------------

2814,

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角«的正弦值为警.

15.某人在塔的正东沿着南偏西60。的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿

途测得塔顶的最大仰角为30。,求塔高.

【解题指南】依题意画图,某人在C处,A5为塔高，他沿CD前进,8=40米，此时

NQ5尸=45。,从。到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最

大，这是因为tanNAEB=喘,A5为定值方E最小时，仰角最大，要求出塔高A民必须先

BE

求5E,而求3瓦需先求5。（或BQ.

【解析】如图所示,某人在。处,AB为塔高，他沿8前进,8=40,此时N05尸=45。,

过点B作BELCD于E,贝U/AE5=30。.在中,。。=40,/5。。=30。,/

DBC=135°.

由正弦定理彳导CDBD

smZ-DBCsmZ-BCD

所以BD=40sin30°=20V2.

sinl35°

ZfiDE=180o-135°-30o=15°.

在RtABED^,BE=DBsin15