江苏省泰州市2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在正方体中，AC与BG所成的角为（）

A.30°B.60°C.90D.120

2.记VABC的内角A,反C的对边分别为a,6,c.已知c=4,A=45,若角8有两解，则。的值

可以是（）

A.2B.2A/2C.D.4

3.在VA2C中，A（1,-2）,C（M）,AB=（2,6）,则（）

31

A.t卡——B.t丰——

42

C.tD.，w2

3

4.设甲：直线。与平面a内两条直线垂直，乙：直线平面a,则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.复数z与复平面内的点（3,T）对应，则丁=（）

A.-7+24iB.25+24iC.2D.25

6.己知互不相等的一组数百,马，尤3，，再。的平均数为占0，方差为s；,王，尤2，W，L,居的方差

为学，则（）

A.s；＞s；B.s；=s；

C.D.s；与s；大小关系不确定

7.已知圆锥底面半径为3,体积为3兀，若圆锥底面圆周和顶点都在球。的表面上，则球。

的表面积为（）

A.1007TB.40TIC.—VioD.

33

8.在VA3C中，BC=8,2sinA+3cosBcosC=4,则VABC的面积为（）

A.4B.8C.24D.32

二、多选题

9.已知Zi^eC,方程尤2+尤+1=0的两个根为4*2，则（）

A.z；=z2B.|zi|=|z2|

C.IzJ"=ZjZ2D.z：=z,

10.已知事件AB满足P（A）=；，尸（3）=:,则（）

A.若A8互斥，贝lJP（AB）=g

B.若A,2互斥，则尸（A+3）=i

C.若A,B独立，贝lJP（A3）=k

D.若A2独立，贝l]P（A+B）=§

11.如图，在三棱柱A8C-A4G中，BC=4C,AC=CG=2,O为四边形ACGA对角线的

交点.若歹为棱B片的中点，平面8CG瓦，贝I]（）

A.CF1AB

B.BQ±A,B,

C.三棱锥b-ABC的体积小于三棱锥3-OAG的体积

D.三棱柱ABC-A4G的体积的最大值为2

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.抛掷两颗质地均匀的骰子，记“第一颗骰子结果向上的点数为偶数”为事件A,记“第二

颗骰子结果向上的点数为5或6”为事件8,则P（AB）=.

13.已知向量。4=（1,2）,。3=（4,3）,。。=（3,加）.若法工况，则向量在向量08上的投

影向量的坐标为.

14.如图，设草地与山坡所成二面角F-AB-D的平面角为，，且tan6>=-A.山脚线上

有一个标志物/,猎人在/点的正东方向100米的G点处，一只兔子在/点的正北方向100

米的J点处.若兔子沿垂直于AB的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达H点,

同时被猎人击中，则点G与点H之间的距离为米：猎人行走至H点的最短路程是一

米.

四、解答题

15.已知万<。〈也4

sincr=--,求下列各式的值:

2

2sin2a+sin2a

(1)

cos2a

5乃

(2)tanl6Z--

16.某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据（均为整数），分成［59.5,69.5）,

[69.5,79.5),[79.5,89.5),[89.5,99.5),[99.5,109.5]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

频率

(1)求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数；

(2)为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再从6人

中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率.

17.在VABC中，角A,民C的对边分别是a,6,c,从下面的三个条件中选取适当的一个并解

答如下问题.

①—―-=a,~二；②c-acosB=asinB；③acosB+bcosA=2ccosB.

cb~+c2-a^3

⑴求A；

(2)若a=2,求从+c?的取值范围.

18.如图，在四棱柱ABC。-A耳GR中，四边形ABC。为直角梯形，AB//CD,AB>CD,

ABC=90.过点C1作G。，平面垂足为0,03=OC,又是CQ的中点.

(1)在四边形ABCD内，过点。作垂足为E.

(i)求证：平面OEG，平面AD2A；

(ii)判断o,E,q，G是否共面，并证明.

(2)在棱BC上是否存在一点N,使得AG〃平面0MN?若存在，给出证明：若不存在，请

说明理由.

19.在VA5c中，AB=1,过点A分别作4C,AB的垂线4，，点8关于4的对称点为4，

点c关于6的对称点为G.

⑴若/BAC=^,AC=^3,尸是VABC所在平面内的任意一点，求P4仍4+PC)的最小值;

⑵(i)若瓦是.BCG的重心，求AC的值；

3

(ii)若A4=xA3+wAC,AG=yAB+zAC,x,z为实数，》为正整数，求cos/ACB的值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BCDBACABABCBCD

题号11

答案AD

1.B

【难度】0.85

【知识点】求异面直线所成的角

【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解.

【详解】因为AG//AC,所以异面直线AC与BG所成的角就是AG与BG所成的角，即

/BGA或其补角，

△2G4是等边三角形，/BGA=60,

所以异面直线AC与BG所成的角为60°.

故选：B

2.C

【难度】0.85

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】由正弦定理先计算出sinC,而角B有两解，则需要满足sinC<l且c是最大边进而

求出。的范围.

【详解】角8有两解，即角C有两解，由正弦定理可知：

4X^

ac.「csinA720,

------=-------=>sinC=---------=-------=

sinAsinCaaa

角c要有两解，则需满足a<c且sinC=——<1，解得：2^5<Q<4.

a

答案第1页，共14页

故选：c

3.D

【难度】0.85

【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示

【分析】根据向量共线的坐标表示的充要条件求解，再取补集即可

【详解】A（1,-2）,C（M）,得AC=（r-l,3）,

因为A8,AC是VA5c的两条边，所以AB,AC不共线，

所以2x3w6«-l）=tw2

故选：D

4.B

【难度】0.85

【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断线面是否垂直、判断命题的必要不充分条件

【分析】根据线面垂直的判断定理和性质定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.

【详解】甲：没有说明平面。内的两条直线相交，所以甲推不出乙，

反过来，若乙成立，则”与平面。内的任意直线垂直，则乙能推出甲，

所以甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

5.A

【难度】0.85

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数的乘方、复数的坐标表示

【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共辗复数，代入计算即可.

【详解】由题意复数z与复平面内的点（3,-4）对应，

所以z=3-4i,

所以。=3+4i,所以/=（3+4i）2=-7+24i.

故选：A.

6.C

【难度】0.85

【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数

答案第2页，共14页

【分析】首先计算第二组数据的平均数，再代入方差的定义，即可判断.

【详解】由题意可知，西+尤22…+/=%,所以玉+々+…+与=9%,

则…+西=%,所以数据为,%,工3，.»9的平均数是均，

（菁一Xo）2+（%2一%0）2+・・・+（占0一%10）2:

§；=

10

+...+（莅—x10）

9

S；与S；的分子相同,比较分母，可知,

故选：C

7.A

【难度】。.85

【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、球的截面的性质及计算

【分析】根据题意，求得圆锥的高//=1,结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，

即可求解.

【详解】设圆锥的高为万，因为圆锥的体积为3兀，可得；兀*32义力=3兀，解得无=1,

设圆锥的外接球的半径为R,可得管2=产+（昧一月2,即R2=32+（R-1）2,

解得R=5,所以夕卜接球的表面积为S=4TTR2=4兀X5?=100小

故选：A.

【难度】0.65

【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、积化和差公式、三角形面积公式及

其应用、余弦定理解三角形

【分析】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系,

答案第3页，共14页

再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解.

3

【详解】由题意可知，2sinA+-[cos(B+C)+cos(B-C)]=4,

即4sinA+3cos(8+C)+3cos(3—C)=8,

贝!]4sinA—3cosA+3cos=8,

a

即5$111(4-。)+303$(3-(7)=8,其中tanp="sinp=|,cos<p—|

其中sin(A-Q)和cos(B-C)的最大值为1,只有当A-°=g,8=C时，等号成立,

...(ny4(it\.-3

sinA=sinI—+I=cos(P=~，cos=cos+^l=-sin^=~，

设6=c=x,a2=b2+c2-2bccosA=2,x2—2x2.g]==64,

则x=2非,所以VABC的面积为56csinA=—x20x—=8.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过函数的最值，确定角的关系，从而确定三角形.

9.ABC

【难度】0.65

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、求复

数的模

【分析】先根据求根公式求出方程尤2+犬+1=0的两个根，再根据选项依次计算即可.

【详解】由求根公式可知，方程/+*+1=。的两个根分另ij为」+立i、一二一旦,

2222

两根互为共辗复数，即JZ2互为共轨复数，故A正确；

两根的模长相等且均为1,故B正确;

222

1A/3.1百.(161

———]_..———j=1,---------1I=1,

2222I2222J

即|z『二七『="2，故C正确;

、2

[1技=！_叵_3=」_叵

1lf

I227~4―_r4~~2~^

、2

」+回二」+金

742422

答案第4页，共14页

所以Z；=」_3i或一工+在i,而平2=1,

2222

所以Z：WZK，故D错误.

故选：ABC.

10.BCD

【难度】0.65

【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公

式

【分析】利用互斥事件的定义判断AB,利用相互独立事件的定义判断CD.

【详解】对于A,若A,8互斥，则P（AB）=0,故A错误；

对于B,若A,B互斥，则Aq瓦则P（A+与）=P（N=1-P（B）=；,故B正确；

对于C,若AB独立，则P（4）=尸（A）尸（国=尸（4）口-尸（B）］=g,故C正确；

对于D,若A8独立，则

111?

P（A+JB）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---=-,故D正确.

故选：BCD.

11.AD

【难度】0.65

【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、锥体体积的有关计算

【分析】A选项，根据等腰三角形的性质得到CB_LZ?A，然后利用线面垂直的性质和判定

定理得到CFLAB；B选项，先假设3CJA与成立，然后根据8CJAS和A/LBG得到

平面A3片A，然后结合A选项的结论即可得到平面山珥A不成立，即可说明

BG，A耳不成立；c选项，将三棱锥3-OAG的体积转化为三棱锥。―ABC的体积，然后

结合。尸为ACB耳中点，即可得到体积相等；D选项，将三棱柱的体积转化为3倍的三棱

锥用-ABC的体积，然后设AF=x,计算体积，利用基本不等式求最大值即可.

【详解】

答案第5页，共14页

连接CF,CF,ABltC4，

因为8C=BC，F为中点,所以C尸，8瓦，

因为AFL平面BCC4,bu平面BCGA，所以AFLCF,

因为4/门84=尸，A£8与u平面ABB|A，所以C/L平面AB与A，

因为ABu平面ABB|A，所以CVLAB,故A正确；

若BG，A4，则BG^AB,

因为AFL平面BCC4,84匚平面8口?中，所以A尸，8G，

因为ARABu平面ABB】A,AFc^AB=A,所以BC；_L平面ABBM,

由A选项可知，BG不可能垂直平面ABB]A，故B错；

由题意得SvAOC=Svo4G，所以^B-AOC=^O-ABC~,

因为。为四边形ACGA的交点，所以。为AC的中点，

又尸为8片中点，所以点尸,。到底面ABC的距离相等，

所以^F-ABC=^O-ABC二匕—OAG，故c错；

由题意得匕BC-4BiG=35_ABC=3(Vg_AFC+%-A")，

因为AFL平面BCC4,u平面BCG瓦，所以A尸，5男，

因为AFcCF=尸，A£bu平面Ab,所以B瓦，平面

设AF=x,则CF="-X2，

KlBC-4B,G=3(YB-AFC+峪-AFC)

答案第6页，共14页

=SvAFC,BF+SNAFC•B、F

=SvAFC,BB[

=-x-^4-x2-2

2

=次(4一-)二+尸2=2,当且仅当x=0时等号成立，故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点睛：本题CD选项解题关键在于进行体积的转化，将三棱锥B-OAG的体

积转化为三棱锥O-ABC的体积，三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥与-A3C的体积，然后

去计算即可.

【难度】0.85

【知识点】独立事件的乘法公式

【分析】根据题意，根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.

【详解】由题意，可得P(A)=J3=：1,且P(B)=2：=g1

6263

根据相互独立事件的概率乘法公式，可得尸(4B)=P(A)PCB)=(X!=J.

236

故答案为：—.

6

【难度】0.65

【知识点】求投影向量、利用向量垂直求参数、向量模的坐标表示

【分析】根据向量垂直的坐标表示条件求出机的值，进而求出AC，向量AC在向量QB上

AC-OB

的投影向量为•08计算可得.

,./、uumUUU.

【详解】由。5=(4,3),。。=(3,机)，又OB,OC，

所以12+3m=0nm=Y,得AC=（2,-6）,

AC.OB=2x4-3x6=-10>|ofi|=742+32=5

答案第7页，共14页

AC・OB-IQ（43）f86、

则向量AC在向量03上的投影向量的坐标为一7―=——•—--=，

\OB\55<55；

故答案为：-2

14.100650则

【难度】0.65

【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、余弦定理解三角形

【分析】先根据二面角结合余弦定理求出两点间距离，再根据展开图结合三角形求边长即可.

【详解】过J作/G的平行线，且/G=JT,

因为所以/H/T为/一的平面角。，印=10x15=150,

由tan0=-J15cos0——~t

在."/T中，由余弦定理可得：

HT2=H72+JT2-2xH/xjrxcos6>=1502+1002+2x150x100x1=2002

4

所以，"7=200,

因为/G//JT,/G=JT,所以四边形〃TG是平行四边形，所以7U〃AB,

又因为以/，48,17,4民以7门/7=/,//（=平面田7,7<=平面”/7,所以AB,平面

HJT,

所以TG，平面WT,HTu平面切,所以TG，,

22222

在tHGT中，HG=HT+GT=200+100=50000，所以HG=100小，

把二面角展开成一个平面，"T="/+JT=150+100=250,GT=100

在.HGT中，HG2=HT-+TG2=2502+1002=72500

所以HG=5()a.

故答案为：100石；50回.

答案第8页，共14页

15.(1)-8

⑵;

【难度】0.85

【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正

切、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系

【分析】（1）利用同角的三角函数关系式求出tana的值，再利用正弦余弦的二倍角公式,

结合同角三角函数关系中的商关系进行求解即可;

（2）利用两角差的正切公式进行求解即可.

37r4

【详解】（1）因为sina=-

5

3

所以cosa=一Jl-sin2a=-.—，

5

essmcr4

因止匕tana=-------

cosa3

2x—+2x-

2sin2cr+sinla2sin2a+2sinicoscr2tan2a+2tan。

_3=_8.

cos2acos2cr-sin2a1-tan2a1一3’

9

5%

tana-tan——加

5711

(2)tana43

主

41+tanotanl+-xl7

43

16.(1)70,84

【难度】0.65

【知识点】总体百分位数的估计、计算古典概型问题的概率、写出基本事件、由频率分布直

方图估计平均数

【分析】（1）根据百分位数和平均数的求法即可求解；

（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】（1）89.5的百分位数为100x[l-（0.2+0.1）]=70,

设心跳次数为x,

答案第9页，共14页

贝1JX=64.5X0.1+74.5xO.25+84.5x0.35+94.5x0.2+104.5x0.1=84，

所以这批志愿者的心跳数的平均数为84；

(2)由从高于89.5次的检测者中分层抽样6人得

[89.5,99.5)抽4人，记为A,B,C,D,

[99.5,109.5]抽2人,记为E,F,

记“抽中的2人心跳数高于99.5”为事件M,

从6人中任取2人有A8,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,

CE,CF,DE,DF,EF,共15种，2人心跳数高于99.5有所，1种，

则P(M)=-L,即抽中的2人心跳数高于99.5的概率为g.

7T

17.(1)条件选择见解析，A=-

⑵(4,8]

【难度】0.65

【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求

值、用和、差角的余弦公式化简、求值

【分析】(1)若选①，由余弦定理化简可得生二=学*,再根据正弦定理化简计算即

c2bccosA

可；若选②，由正弦定理化简即可；若选③，由正弦定理化简即可；

(2)由余弦定理可得》2+C2=26CCOSA+/,根据正弦定理及两角差的余弦公式化简，再根

据2-Ce(-2予7r学24求解即可.

【详解】(1)若选①，根据余弦定理得丝二:仍,

c2/?ccosA

由正弦定理可得2sin58sA=cosCsinA+sinCcosA,即2sinBcosA=sin(A+C).

因为A+C=7i—_B,所以2sin5cosA=sin(兀一B)=sin5.

又sin5w0,所以COSA=5，又AE(0,TI),所以A=].

若选②，因为c-〃cos3=*〃sin3,所以由正弦定理，

可得sinC-sinAcos3=sinAsinB,

答案第10页，共14页

即sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,整理得cosAsinB=%sinAsinB,

因为BE(0,兀)，所以sinB〉。，可得cosA=sinA,即tanA=g,

因为Ae(O,7T),所以4

若选③，因为。cosA+QcosC=2bcosA

所以由正弦定理可得：sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB=2sinBcosA,

因为㈤,所以sinB〉0；

可得cosA=

2

又A«0,兀)，故A=,

2Z?c

TT_____4_A/3、__________

(2)由(1)得A=z，因a=2,由正弦定理，.7i~3~sinB-sinC»

3sin—

3

Ulll746.n.

})v]b=----sinB,c=----sinC,

33

b2+c2=2bccosA+a2=Z?c+4=号sin3sinC+4

QQ1Z：

=—[cos(B-C)-cos(B+C)]+--cos(B-C)+—,

因为民且B+C=g,

所以曰，所以cos(8-C)+g,l,所以从+C2的取值范围为(4,8].

18.(1)(i)证明见解析；(ii)不共面，证明见解析

(2)存在，证明见解析

【难度】0.65

【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、面面平行证明线面平行、空间中的点(线)

共面问题

【分析】(1)(i)由线面垂直的性质可得GO，A£>,然后由面面垂直的判定可证，(ii)利

用反证法，假设结论的反面成立，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确

(2)利用面面平行的判定可得平面0MN〃平面ABG，然后利用线面平行的定义得证

【详解】(1)(i)由G。，平面ABCO,ADu平面ABC。，则G。，AD，

答案第11页，共14页

又OE_LAD,OEOCt=O,则AD,平面OEC-

因为A£>u平面A£>AA，所以平面OEG，平面ADRA;

(ii)O,E,Q，G不共面,

假设O,及R,G共面于a,

由四棱柱A8C£>-A用CQi,得平面A3CD〃平面A]B1G2，

又ABCDa=OE,AlBlCiD,a=CxD,所以OE//G0,

又CD//G2，所以OE//CD,又OE1.AD,即CDLAD,

又NABC=90,且ZADC=90°,ABI/CD,

从而四边形ABC。为矩形，与AB>CD矛盾！

所以O,及R,G不共面；

(2)取BC的中点N,连接CO并延长交48于P,

因为NABC=90。，OB=OC,所以。为CP的中点，ON//AB,

因为ONZ平面ABC1，ABu平面ASG，所以ON〃平面ABC一

由“是CG的中点，肱7//2。”小0平面426,8Gu平面4BG，

所以MN〃平面ABC1，

因为ONcMN=N,ON,MNu平面OMN,所以平面OMN〃平面4BG,

因为AQu平面ABC一所以AC"/平面OMN.

19.(1)-1

⑵(i)石；(ii)姮或:

138

答案第12页，共14页

【难度】0.65

【知识点】正弦定理解三角形、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用

【分析】（1）利用平面几何知识得NGA耳=],然后根据向量的加法法则求得=

再转化为PA•（尸耳+PG）=2[/W?2—g可得

（2）⑴首先建立直角坐标系，利用参方程和重心公式可得，（ii）利用已知条件求出y=1,2,

然后利用正弦定理和三角函数知识分别求出cos/ACB即可

【详解】（1）

由题意得台4ACnZACB=CBB-又乙8"=汰

6

S1T7T

所以NAC5+NABC=7i——=—

66

所以在中，ZBAD=---=-,

263

ZCAq=ZBABj=2ZBAD=-y,

r-Lt、t/c4-27r57r兀

所以/月=--x2—~—二—,

3o2

|坐+AG卜｛AB：+AC：+2AB】.AC