2024-2025学年福建省漳州某中学高考考前模拟考试卷数学试题（含解析）

2024-2025学年福建省漳州第八中学高考考前模拟考试卷数学试题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数/(x)=ln(x—1)的定义域为。，命题VxeD,的否定是()

XGGAX

A.V£>,/(%)>%B.3%0D,/(：0)<0

C.\fx^D,/(%)>%D.eD,/(x0)>x0

2.已知函数〃x)="(a>0,且awl)在区间［加,2旬上的值域为加,2间，则。=()

A.yJ2B.—C.—或D.一或4

4164

3.已知在AABC中，角的对边分别为a,4c,若函数/(x)=+g乐2+1(/一卜存在极值，则

角B的取值范围是()

4.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋

味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种(含两种)以上的肉混

合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()

A.20B.24C.25D.26

冗冗

5.已知函/(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,xe,则/(%)的最小值为()

A.2-72B.1C.0D.-72

4A1、2・9

6.己知a=遍，b=\og,—,c=l-I，贝！J()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

7.关于圆周率乃，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通

过下面的随机模拟方法来估计万的值：先用计算机产生2000个数对(x,y),其中x,V都是区间(0』)上的均匀随机

数，再统计X,y能与1构成锐角三角形三边长的数对(羽y)的个数加；最后根据统计数加来估计万的值.若机=435,

则力的估计值为()

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

8.若函数/(%)=—lnx+x+/z,在区间Je上任取三个实数。，b,c均存在以y(a),f(b),/(c)为边长的

三角形，则实数力的取值范围是()

A.1,—B.1—1,e—C.1—l,+oo]D.(e—3,+8)

x+2y<ln

9.设x,y满足约束条件2x+y2-1,若z=—3x+2y的最大值为〃，则qI的展开式中必项的系数为()

x-y<0I

A.60B.80C.90D.120

10.在正方体中，球。1同时与以A为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以G为公共顶点的三

个面相切，且两球相切于点歹.若以r为焦点，A用为准线的抛物线经过a，o2,设球q,a的半径分别为？G，则

)

A.B.73-72C.1—LD.2-73

22

11.已知集合4=卜阳刈丁=/1=},B={(x,y)|y=2x},则A8中元素的个数为()

A.3B.2C.1D.0

22

12.设耳，鸟分别是双曲线二-七=1(“>0/>0)的左右焦点若双曲线上存在点P,使々出=60。，且|P耳|=2俨阊，

ab

则双曲线的离心率为()

A.73B.2C.75D.76

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知AA5C内角A,B,C的对边分别为。，b,c.a=4,b=46,A=一则cos23=.

3

14.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并

且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出

院患者的人数为,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

15.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人

至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数

为.(用数字作答)

16.从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第

一次抽得的卡片上数字整除的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，点C是以为直径的圆。上异于4、5的一点，直角梯形3CDE所在平面与圆。所在平面垂

直，ADEIIBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

——2

（1）证明：EO//平面AC£）；

（2）求点E到平面ABD的距离.

18.（12分）已知函数f（x）=|x-l|+|x—2|.若不等式|a+b|+|a—b囹a|f（x）（a/）,a、beR）恒成立，求实数x的取值范围.

19.(12分)已知函数/(x)=||+1*-2a+31,g(x)=f+利+3.

（1）当“=1时，解关于x的不等式/。）＜6；

（2）若对任意都存在使得不等式/（网）＞g（%）成立，求实数〃的取值范围.

r221

20.（12分）已知椭圆。：=+二v=1（。〉6〉0）的左顶点为A,左、右焦点分别为公,工，离心率为彳，P是椭圆上

ab~2

的一个动点（不与左、右顶点重合），且△「£鸟的周长为6,点尸关于原点的对称点为Q,直线AP,Q£交于点

（1）求椭圆方程；

（2）若直线尸8与椭圆交于另一点N,且=4S&BN，求点尸的坐标.

21.（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方

能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们

出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层

抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联

表:

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关?

（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

n{ad-bcf

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(^K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

x=l+2cos。

22.（10分）在平面直角坐标系九0y中，曲线。的参数方程是..为参数），以原点。为极点，x轴正

y=2sin。

半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos[，+?]=四.

（I）求曲线C的普通方程与直线/的直角坐标方程；

（II）已知直线/与曲线。交于4,3两点，与x轴交于点p,求|/列卜忸到

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】

因为0：D,是全称命题，

所以其否定是特称命题，即m/eD,/(%)>%.

故选：D

本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

2.C

【解析】

对。进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.

【详解】

ln,

[a"=m「[a=2m

分析知，相>0.讨论：当时，〈,所以d"=2,m=2,所以a=J5；当0<a<l时，，所

a29"1=2m、[a2m=m

以a"'=L,m=—,所以。=」-.综上，。=1-或。=正，故选C.

241616

本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素

养.

3.C

【解析】

求出导函数/‘(X),由/'(%)=。有不等的两实根，即/>0可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结

论.

【详解】

f(x)—+](/+c?—x9f\x)—%2+bx+—+c?-.

若/(X)存在极值，则廿一4xL(/+c2一砒)>0,.../+。2一62<死

4''

„Cl^+—b1_/„\K

又cosB=----------,:.cosB<—.又n--<B<71.

lac23

故选：C.

本题考查导数与极值，考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.

4.D

【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为+C：+C；+C；,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.

【详解】

混合后可以组成的所有不同的滋味种数为=20+5+1=26(种)，

故选：D.

本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.

5.B

【解析】

jr7T\jr

/(x)=V2sin(2x+^-)+2,xe,-生42%+生《卫利用整体换元法求最小值.

444

【详解】

由己知，/(x)=l+2sinxcosx+2cos2a=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+—)+2,

4

「兀,,兀乃一乃3不

又——<x<—,---<2%H-一<——,故当2x+7=—二，即x=—二时，f(-^)^—1.

44444444

故选：B.

本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.

6.B

【解析】

后=6：>6°=1,Z?=log51i<log51=a0<c=Q)<(J=1再判

先将三个数通过指数，对数运算变形a=4

断.

【详解】

14:*1=0,0<口『<(口=1,

因为。=痣=61〉6°=「匕=l0g5W7<

4乙i

所以a>c>b,

故选：B.

本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.

7.B

【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出x,y能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到％,y

能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出万.

【详解】

因为x,y都是区间(0,1)上的均匀随机数，所以有0<x<l,0<y<l,若x,y能与1构成锐角三角形三边长，

X+V>11x1--

则22J由几何概型的概率计算公式知D41乃加435,

〔V1x14n2000

435

所以乃=4x(1—--)=3.13.

2000

故选：B.

本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.

8.D

【解析】

利用导数求得/(%)在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得/z的取值

范围.

【详解】

1X—\

/(%)的定义域为(0,+。)，/(%)=—+1=^,

所以/(%)在U上递减，在(l,e)上递增，/(%)在x=l处取得极小值也即是最小值，/(l)=-lnl+l+/z=l+/z,

斗—+1+3

/(e)=-lne+e+/z=e-l+/z,/-</(e),

\e)eee

所以/(%)在区间(，e上的最大值为/(e)=e—l+/z.

要使在区间上任取三个实数。，b,c均存在以7(a),f(^b),〃c)为边长的三角形,

则需/(a)+/e)>/(c)恒成立，且/•⑴>0,

也即也即当a=6=l、c=e时，2/(l)>/(e)成立,

即2(l+/z)>e—1+6且/⑴>0,解得〃〉e—3.所以/z的取值范围是(e—3,+s).

故选：D

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.

9.B

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到〃=5,再利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

32

z=-3x+2y,即丁二万%十万，故z表示直线与y截距的2倍，

根据图像知：当x=—l,y=l时，z=-3x+2y的最大值为5,故〃=5.

2x—十]展开式的通项为：&=C](2x)“[—5]=C；-25-r-(-l)r-x^,

取厂=2得到。项的系数为:C125-2.(—1)2=80.

故选：B.

本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

10.D

【解析】

由题先画出立体图，再画出平面AB]。。处的截面图，由抛物线第一定义可知，点。2到点口的距离即半径4,也即

点。2到面CDRG的距离，点02到直线AB］的距离即点。2到面A544的距离因此球。2内切于正方体，设&=1,

两球球心和公切点都在体对角线AG上，通过几何关系可转化出"进而求解

【详解】

根据抛物线的定义，点。2到点口的距离与到直线AB1的距离相等，其中点。2到点尸的距离即半径弓，也即点。2到

面CD2G的距离，点已到直线4月的距离即点。2到面A5与4的距离，因此球。2内切于正方体，不妨设弓=1,两

个球心9,©和两球的切点F均在体对角线AG上，两个球在平面AB.QD处的截面如图所示，则

O2F=r2=l,&02=苧=石，所以4尸=402-02尸=退-1・又因为4/=4。|+QF=^+z;,因此+=A/3-1,

得钎2-6,所以乌=2-8.

故选：D

本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数

学运算的核心素养

11.C

【解析】

集合A表示半圆上的点，集合3表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.

【详解】

由题可知：集合A表示半圆上的点，集合3表示直线上的点，

联立y—J1—与y=2x,

可得而二7=2%，整理得%2=1，

即》=土好，

当x=—正时，y=2x<0,不满足题意;

5

故方程组有唯一的解(4\5，-2^一0-

故=芋］,.

A5Z

故选：C.

本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.

12.A

【解析】

由归国=2归闾及双曲线定义得|尸国和归闾(用。表示)，然后由余弦定理得出区。的齐次等式后可得离心率.

【详解】

由题意尸耳］=2|尸周，由双曲线定义得归图一|尸闾=2a,从而得|尸耳|=4a,|Pr=2a,

在AP耳月中，由余弦定理得(2c)2=(4ay+(2a)2—2x4ax2acos60。，化简得e=£=JL

a

故选：A.

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用，表示出。到两焦点的距离，再由余弦定理得出心。的齐

次式.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7

13.—

16

【解析】

利用正弦定理求得角8,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【详解】

4_V6

由正弦定理得为一sinB，

V

342cdJ8_7

..sinBD=——,cos2B—1—2x――———.

86416

7

故答案为：——.

16

本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.

14.161

【解析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列，由此可求结果.

【详解】

某医院一次性收治患者127人.

第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.

且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，

.•・从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，

则第19天治愈出院患者的人数为名=1x24=16,

解得〃=7,

.,・第7+15-1=21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

故答案为：16,1.

本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中

档题.

15.5040.

【解析】

分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为N=+=1440+3600=5040。填5040.

利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于

特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。

1

16.-

2

【解析】

基本事件总数"=4x4=16,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求

出概率.

【详解】

解：从编号为1，2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，

基本事件总数〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：(1,1),(1,2),(1,3)，(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为p=4=-.

故答案为—.

2

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)鼠8

41

【解析】

(1)取的中点“，证明。四〃4。,石河//。,则平面0M£〃平面4。£),则可证EO//平面ACD.

EBDABOE

(2)利用=匕—，AC是平面BED的高，容易求.S=g/5ExCZ)=gx2x3=3,再求SABD,则点E

到平面的距离可求.

【详解】

解：(1)如图：

D

取的中点M，连接OM、ME.

在乙ABC中，。是AB的中点，"是的中点，

OM〃人。,4。a平面矶/。，“9<=平面£200，故AC〃平面曲始

在直角梯形3CDE中，DECB,且DE=CM,

四边形MCDE是平行四边形，：.EM//CD,同理CD〃平面

又CDcAC=C,故平面£MO〃平面ACD,

又•.EOu平面EM。，£0〃平面ACD.

(2)QAB是圆。的直径，点。是圆。上异于4、3的一点，

:.AC±BC

又•平面3CDE_L平面ABC,平面3cDEc平面ABC=5。

」.AC，平面BCDE,

可得AC是三棱锥A-BDE的高线.

在直角梯形3CDE中，SABDE=DExCD=^-x2x3=3.

设E到平面ABD的距离为h,则VE_ABD=VA_EBD,即1S.BD-h=jSAEBD.AC

由已知得AB=5,BD=5,AD=30,

cosZABD=士，则S=^ABBDsinNABD=

由余弦定理易知:AABD

解得/2=g叵，即点E到平面的的距离为也

4141

6A/41

故答案为:

41

考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.

15

18.—<x<­

2一一2

【解析】

\a—Z?|+|^+Z?|a一b+

由题知，|x—l|+|x—2|<------p;-----1恒成立，故|x—l|+|x—2|不大于——7T——1的最小值.

\'|a+b|+|a—b|>|a+b+a—b|=2|a|,当且仅当(a+b>(a—b)K)时取等号,

\a—Z?|+|a+Z?|

的最小值等于2.

1«1

••.X的范围即为不等式|X—11+lx—2区2的解，解不等式得;WXW,.

19.(1){%|-3<x<3}；(2)

【解析】

(1)分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.

(2)因为对任意都存在々eR，使得不等式/(%)>g(%)成立，等价于/(防旭AgOOmin，/(泅1nhi根据绝

对值不等式易求，g(X)min根据二次函数易求,

然后解不等式即可.

【详解】

—2x,x<—1,

解：(1)当。=1时，y(x)=|x-l|+|x+l|,贝|J/(x)=<2,—L,x<l,

2x,x..1.

当x<-l时，由/(x)”6得，一2%,6,解得一3,,%<-1；

当—L,%<1时，/(%),,6恒成立;

当X..1时，由/(x),,6得,2茗，6,解得啜此3.

所以/(%)„6的解集为{x\-3<x<3}

(2)对任意玉£尺，都存在得/a)>g(%2)成立，等价于>gfXU・

因为4—2a+3=(a—1>+2〉0,所以〃>2。—3,

且|卜-11%-2〃+31..j(x-片)—(%—2〃+3)|=[a?-2〃+

—Q?—2cl+3，①

当2a—/时，①式等号成立，即/(X)1nhi=。2一2。+3.

22

又因为/+以+3=(x+2『+3—幺..3-幺，②

244

2

当x=-£时，②式等号成立，即85)皿=3-?

2

所以/一2。+3〉3—幺，即5a2一8。>0

4

_啊。)

即。的取值范围为:•

知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决

问题的能力以及运算求解能力；中档题.

22fl3⑹3⑹

20.(1)—+^=1；(2)或一,-----

43["J[24J

【解析】

(1)根据耳玛的周长为2a+2c,结合离心率，求出。，。，即可求出方程;

(2)设尸(私")，则Q(-%-〃)，求出直线4W方程，若。8斜率不存在，求出”,P,N坐标，直接验证是否满足题

点共

意，若QB斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点”坐标，根据5。尸2M=4S4&N和尸,g,N

线，将点N坐标用以〃表示，RN坐标代入椭圆方程，即可求解.

【详解】

(1)因为椭圆的离心率为工，△尸£月的周长为6,

2-

2〃+2c=6,

c1

设椭圆的焦距为2c,则=不

a2

Z?2+c2=a2,

解得a=2,c=l,b-A/3，

22

所以椭圆方程为土+乙=1.

43

(2)设PO,〃)，则竺+。=1,且。(一加,一〃)，

43

所以AP的方程为丁=-^(x+2)①.

m+2

若771=—1,则。工的方程为X=1②，由对称性不妨令点P在X轴上方,

X=1,

联立①,②解得9即加

、=不，

3

PF2的方程为y=-1(x-l),代入椭圆方程得

9

3%2+-(%-1)2=12,整理得7X2—613=0,

4

13(13

尤=—1或%=上，...N7

717

19……

C—X-X|AFy|

渣处=六1----------=7。4,不符合条件.

,△AF?N-X^X\AF2I

—n

若加w—1,则。鸟的方程为y=--------(x-1),

—m—l

即y=------(x-1)③.

m+1

x=3m+4,

联立①，③可解得《所以M(3m+4,3n).

y=3"，

因为=4s”尸2汽，设N(XN,yN)

所以gx|A£|x|yM=4><g><|Aej><M|，即区|=4区|­

3n

又因为M,N位于x轴异侧，所以yN=—1.

因为P,6