江苏省如皋市2024-2025学年高三年级上册开学能力测评数学试卷+答案

工作秘密★考试开始前

高三2024-2025学年度上期开学能力测评

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在

答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求

7T71

1.复数z=sin—+icos—的实部与虚部分别为（）

66

A1V3rV31„1V3.nV31.

22222222

2.若｛①瓦可和乙研都为基底，则玩不可以为（）

A.aB.cC.3+cD.a—c

3.若xeN,集合A=｛0,1,2,3｝,3=｛》,％2,3,4｝,则AcB满足（）

A.OeAnBB.leAnB

C.2gAe5D.3wAc5

20242024

4.已知实数5,石,…,工2024，则使ZB一^和ZU-W最小的实数上分别为尤0，4…，尤2024的（）

i=0i=0

A.平均数；平均数B.平均数；中位数

C.中位数；平均数D.标准差；平均数

5.在等差数列｛4｝中，若为+2。9=%=8,则下列说法错误的是（）

A.q=9B.510=45

C.Sn的最大值为45D.满足S八＞0的〃的最大值为19

3Z+

6.若虚数z满足2z+—eR,不等常实数叫〃满足——为定值，则下列说法一定错误的是（)

Z2+〃

32

A.mn=一B.mn=一

23

7.若方程N=ax+A的两实数解石,尤2满足归一司=1，则3a2+8必（

A.存在最小值彳，存在最大值3

O

B.存在最小值木，不存在最大值

O

C.不存在最小值，存在最大值3

D.不存在最小值，不存在最大值

8.若数列｛%｝为正项等比数列，4=1，数列也“｝为公差为6,首项为1的等差数列，则数列前5

项和的最小值为()

187167147

A.-----B.-----C.-----D.65

444

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分.

]_2—3

9.随机事件A3满足P(A)=—,尸(耳)=—,尸(⑷B)=—,则下列说法正确的是()

234

A.事件A,8互不独立

——3

B.P(AB)=-

8

D.P(AB\A+B)P(AB)=P2(A)P2(B)

10.由不重合的两正四面体P-ABC和Q-ABC组成六面体N分别为PC,BC上的动点，且

PA=CM+CN=1.下列说法正确的是()

A.六面体。的体积为立

B.二面角P-AB-Q的正切值为—逑

7

C.MP+MQ的最小值为o+走

3

17

D.M,N到AB的距离平方和的最小值为—

28

11.已知圆M:必+J=16,圆N:（x-4）2+y?=36,圆尸与圆M,N都相切，记P点的轨迹为曲线

「，点A,3（XA<0<XB）在曲线「上.下列说法错误的是（）

A.直线丁="与曲线「的交点个数可以为2,3,4

B.存在上|<1使得直线x=/与曲线「只有2个交点

C.若存在3或6条直线AB满足AO=kOB>则上的取值范围为［/°H

D.若存在4条直线AB满足AO=kOB>则上的取值范围为［亍,亍］口

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知焦点为尸的抛物线y2=2x上48两点满足4/=BF+1=4,则AB中点的横坐标为.

13.关于自然数x,%z的方程x（2y+7）+（x+5）z=253—10y的解的个数为.

14.已知半径为1的球面上有不重合的四点A,8,C,£）,则通.就+前1.而+而.通和

ABBC+BCCD+CDDA+DAAB的取值范围分别为和.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明和证明过程.

15.（本小题共13分）

在四棱锥尸―A3CD中，ZACB=ZADC=90°,AD=BP,AC=2BC=2,AC，DE,PC，平面

ABC£),E为AP中点.

E

（1）求四棱锥P—A3CD的体积；

（2）求平面与平面PAD夹角的余弦值.

16.（本小题共15分）

在口ABC中，内角A,B,C满足cos2B+cos2C-1=cos2A+2sinBsinC.

（1）求角A的大小；

（2）若3c上有一点。满足ABI.A。，且AB=C£>,求'-的值.

cosB

17.（本小题共15分）

已知圆O:f+y2=4交X轴于A3两点，椭圆C以AB为长轴，椭圆上有一动点P,且西.丽的最小

值为-1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线乙：y=《X与勾：丁=分别平分直线/与椭圆。和圆。的交线段，

①证明：存在实数2使得%=2左2恒成立，并求出实数2的值；

②求直线『4与椭圆C的交点构成的四边形面积的最大值.

18.（本小题共17分）

已知函数/（x）=xlnx,g（x）=l--,//（%）=x2g（x）.

（1）判断/（X）与人（X）的大小并证明；

/（X）21

（2）若不等式—<or+彳x恒成立，求实数。的取值范围；

g（x）2

八"+1

（3）已知数列｛4｝满足Aina,+ln（〃!）=/（〃+l）,〃eN”，证明：2>g；g因<L

z=lk=2

19.（本小题共17分）

若数列｛4｝只由。个1和6个0组成，且第一个1之前有偶数（可为零）个0,此后每两个相邻的1之间

有奇数个0,则称数列｛4｝为（氏。）-甲型布尔数列.

⑴写出所有的（2,3）-中型布尔数列和所有的（2,4）-甲型布尔数列；

（2）记甲型布尔数列的总个数为N（a,。）；

①证明：N（2x,2y-l）=N（2x,2y）,其中x,yeN*且送V；

〃]m+1

②令b〃=+,其中私〃wN且相22,证明：V—<-----

torn-1

高三2024-2025学年度上期开学能力测评

参考答案

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

题号12345678

答案ACCCDBBA

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

题号91011

答案ACDBCDBCD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题两个答案分别为2分、3分）

题号121314

答案375(-16,0]

四、解答题（本题共5小题，共77分）

15.（本小题共13分，两个问分别为5分、8分）

（1）解：取AC中点连接。F,EF,

由于E为4尸中点，PCmABCD,

则EF//AP,EF1平面ABCD,

则ACLEF,而ACLDE,DEcEF=E,

则AC，平面DEF,AC1.DF,而AP=FC,ZADC=90°

则PB=AD=CD==V2,PC=yJPB2-BC2=1，

所以四棱锥P—ABCD的体积V=gx[gx2xl+；x®x拒]xl=g；

（2）解:由PC,平面ABCD,/ACB=90°,可得AC,BC,PC两两垂直，

所以以C为坐标原点，EA,而，而方向为x，%z正半轴方向建立如图空间直角坐标系,

设平面与平面PAD的一个法向量分别为4=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

由于丽=(—2,1,0),而=(—2,0,1),而1,0),

Tp.n=0fAP.n=n

且—J，一j，得力可以为(1,2,2),拓2可以为(LT2)

AB•元］=0AD•元2=0

记平面PAB与平面PAD的夹角为。，

I3IV6

贝!!cos0=|cos=

\3X46\6

所以平面PAB与平面PAD的夹角余弦值为逅.

6

16.(本小题共15分，两问分别为6分、9分)

(1)解：由于cos2B+cos2C-l=cos2A+2siaBsinC,

则l-2sin2jB+l-2sin2C-l=l-2sin2A+2siaBsinC，

abc

即sin2B+sin2C=sin2A-sinBsinC根据正弦定理―——，

JsinAsinBsinC

72,2_2

得/+°2_/=_儿，根据余弦定理有cosA='一。所以A=

2bc23

(2)解：设A8=O)=LBD=—=f,/ADB=a,由于A3,A。,

cosB

…tii,由于ae[o,]

根据上文正弦定理'得sin90。=/?Z'sin30°

sinCsin(6Z-3O°

11

则由上式可得sin(a-30°)=飞-sina-—costz

22

带入得1犷=7=犷=,即二7«+i),

化简得r+2尸—2f—4=0,

即仔―2）（/+2）=0,解得实数y蚯或一2（舍），所以'=蚯.

'/cos5

17.（本小题共15分，第一问3分，第二问的一二小问分别为5分、7分）

24勿2

（1）解：显然AB=4,则椭圆C的标准方程为工+=1,设尸（相，孔），加2=4一宕-

4

4n2

则PA•PB=w?_4+“2="n2,而一。则丽4=—i，

22

得b=6,所以椭圆c的标准方程为三+乙=1；

43

（2）①解：显然直线/与4垂直，设直线/：x=M_y,直线/与椭圆交于M（XI，%）,N（X2，V2）

由于直线4：丁=左2兀平分直线/与圆。的交线段，

则有％2=一加，＜

2nI,3

于是3（X]—=-4（x-%）————,由于机二」----1------,则勺=――m

2%一%%%4

2

3

所以存在实数％=z使得及=Ak2恒成立.

3x2+4y2=1212

②解：令＜,，得x=土,—F—,直线（与椭圆交线长为4二2

y=k[X，IIJ

12

同理可得直线乙与椭圆的一个交点。

4月+3'

则Q到直线乙的距离，

a

四边形面积S=Ld=,当上2=0四边形不存在，

_____咨_________1212______迪

当与"0时____J(9行+12)：4月+3),36四+乃+歹45+2历7

所以四边形面积的最大值为速，在左2=土1时取到.

7

18.(本小题共17分，三个问分别为3分、6分、8分)

(1)/(x)=xinx,/?(x)=x2-x,有〃x)Wg(x),当且仅当x=l时取等.

证：要证xlnxWx2—x,即证lux—x+IWO，

令函数〃，(.丫)=111*-*+1,7〃'(1)=1一1,7〃(*)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

则7〃(X)27〃(1)=O,证毕.

f(x)、1hir1口i11/八

(2)解：若一则nl----<〃+——,即Inxcax————4+—

g(x)2x-12x2x2

lux>ax---—4--(x<1),令函数〃(x)=Inx-QXH■-—+rz--,由于〃(1)=0,

2x22x2

EI、,七，/八c，/'11—2〃叉？+2x—1/—2。+11

则必有〃〃(x)=——-7—〃=-------5----(1)=x---------<0，得

x2x2x22

下面验证工的充分性：当工时，"(x)=lnx+，--J+|(x-l),

222x2(2。

令左(x)=lnx+l-_£Mx)=「d+：x二1=Y11)%0,左(x)在(。，+8)上单调递减，

2x22x2x

而左⑴=0,则当xe(0,l)时左(x)〉0,当xe(l,+a?)时左(x)<0,

而则当xe(0,l)时—1)20,当xe(L+e)时(；一。(x-l)^O,

此时Iwc<ax-°--a+—(x>1),hix>ax---a+—(x<1),所以。的范围为1

一,+8

2x22x22

〃+1〃+1

(3)证：要证明的命题等价于Zln2g/)<1n2勺，先证明Zin2g(左)<1,再证明山2a/I,

k=2k=2

由⑵可得0>21nx>%—'(X<1),即。〉lnx〉4—令％=g(女)=1一,

xvxk

可得O〉lng⑻〉而匕，于是0<ln2g(左)<招甲0-1

〃+1111111n+\

所以Zin2g(左)<1-7+7-7+…+----------=1-------l，Z]n2g(2)<1证毕；

H223nn+1n+1比

再证明lYa/l,可以证明ln%2l,当〃=1时，ln%=21n2>l,

当时，]nan=/(n+1)-/(n)-Inn=(n+1)In=-(n+l)ln^—,

由⑴可得InxG—l，则111〃/一(〃+1)[—^-1]=1,1112〃/1证毕，

,+i

所以2g(QclMa”，证毕.

k=2

19.(本小题共17分，第一问2分，第二问的一二小问分别为6分、