2025年高考数学二轮复习：任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式 学案讲义

任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式

知识导引

本专题主要涉及的知识为三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式.在学习过

程中，要会利用定义、公式求解三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式，体会并理解

数形结合、转化与化归的思想方法.

1.弧度制和角度制的换算：180。=万rad;

变形：1。=3也&1坨（1=（侬）°257.3°.

180I万J

弧长公式/=|a|r,扇形的面积公式S.

2.象限角、终边相同的角的集合表示.

3.任意角的三角函数概念.

用单位圆上的点坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数.设尸（X。）

是单位圆与任意角a的终边的交点，贝sina=y,cosa=x,tantz=上.直接用定义研究三角函

X

数的定义域、函数值的符号、诱导公式以及同角三角函数的基本关系.

在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形,得出同角三角函数的

平方关系sin2a+cos2a=1商数关系,由°=tana.

fcosa

（1）三角函数的终边比值定义在平面直角坐标系X。歹中，设P（x,y）是角a的终边上的任意一

(2)同角三角函数的基本关系变形：1+tan2a=—\—u>cos2a=-----J—

cosa1+tana

4.诱导公式

公式一sin(a+2kn)=sina,公式二sin(穴+a)——sina,

cos(a-l~2^7t)=cosa,必£Z,cos(/+a)=—cosa,

tan(a+2kn)=tana.tan(ir+a)=tana.

公式三sin(-a)=­sina»公式四sin("-a)=sina，

单位圆和

cos(-a)=cosa»cos(K-a)="cosa»

三角函数定义

tan(-a)=­tana.tan(穴—a)=-tana.

公式五sin(y-a)=cosa,公式六sin质+a)=cosa,

cos质+a)=_sina.

进阶提升

题目1若角。是第三象限象限角，则且是第象限角.

2一

审题此题为已知角c终边所在象限，求半角2所在象限问题.常用方法为由题目所给的条件

2

先写出a的集合,再求出红的范围,注意对整数先进行讨论.

2

解析1因为角ar是第三象限角，设2k兀+兀＜a＜2k7r+—,keZ，则

2

后乃+匹＜卫＜左乃+^-,keZ.

224

当左=2%〃eZ时，2〃万+三＜2〃万+红，则红是第二象限角；当

2242

左=2〃+l,〃eZ时，2〃万+红〈乌＜2M+江，则红是第四象限角.故且是第二或第四象限

22422

角.

解析2(八卦图法)如图，将平面直角坐标系各象限分成两份，按逆时针方向依次标注记为

1,2,3,4,标满为止.由于角a是第三象限角，现在看标有3的数字在图中哪些象限,注意到第

二、四象限均有3,所以且是第二或第四象限角.

2

回炉已知角。终边所在象限，求半角马终边所在象限，可对整致左分两类讨论，即

2

k=2n,2〃+l(〃eZ).若是求三分之一角告终边所在象限，可对整数左分三类讨论，即

k=3n,3〃+1,3〃+2("eZ);也可用八卦图法,将坐标系各象限分成3份,按逆时针方向依次

标注1,2,3,4,标满为止,然后观察求解.当求2a嬷边所在象限时，不要忽略终边在坐标轴上

的情况.

【相似题1】

已知集合M=[x|x=^+?丘Z],N='|X=¥+?丘z],则

()

A.M=NB.MjNC.N三MD.Mr＞N=0

⑴若a=60。/=10cm,求扇形的弧长I.

(2)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形的圆心角弧度.

⑶若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时,这个扇形的面积最大？

审题已知扇形的圆心角和半径,求解长线和面积时应注意两种度量单位之间的换算,合理运

用计算公式;若已知扇形的周长和面积的值,求圆心角弧度数只要建立关于半径r和弧长/的

等式,解方程组即可.

解析⑴弧长/=ar=U^cm.

(3)由题意得2r+1=20,/=20—2r,

所以扇形的面积S=；lr=-r2+10r=-(r-5)2+25(cm2).

当r=5cm时,面积达到最大,此时弧长/=10cm,圆心角弧度a=2.

回炉解题时注意圆心角弧度值小于2万.

【相似题2】

《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章计算弧田面积所用的经验

弧田(如图)，由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长，'‘矢"等于半径长

与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.

现有圆心角为红、半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为()

3

A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米

【题目3]

已知角a的终边经过点尸(-4加,3冽)(切。0),则2sina+cosa=.

审题任意角的三角函数是用单位圄来定义的，若角a的终边上的点尸不在单位图上,则可考

虑终边比值定义.若角a的终边位置不确定,则需对可能的情况进行分类讨论.

解析点尸到原点的距离/=|。尸|=尸产=5|加|>0.

由三角函数的定义知，sina=—=,cos6Z=—=,

r51m|r5\m\

jr342

若冽>0,则sina=—,cosa=----,故2sina+cosa=—;

555

।卜342

若冽<0,贝sin。=---,coscr=—,故2sina+cosa=-----.

555

练;上口J得,2sina+cosa=±.

5

回炉任意角的三角函数可用终边比值定义，也可用单位圆定义，注意尸|=/>0.本题中

冽w0,应该对加分冽〉0和冽<0两种情况讨论.

【相似题3】

若角a的终边过点尸（-8加,-6sin30。），且cosa=-9,则小的值为（）

A.-J-B.工C.-昱D.昱

2222

【题目4】

若sina<0,且tana>0,贝！|a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限

角

审题任意角的三角函数涉及角所在的象限、函数名、符号.由角a某一三角函数符号判定其

所在象限时，注意口诀"-全正、二正弦、三正切、四余弦”.

解析由sine<0可知,角a的终边在第三象限或y轴负半轴或第四象限.

由tanc>0可知，角a的终边在第一象限或第三象限.

综上可得,角a的终边在第三象限,故选C.

回炉三角函数在各个象限的符号规律为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.当sina<0时,

注意角c的终边可能会在y轴负半轴上;当sina>0时，角a的终边可能会在y轴正半轴上.

余弦值也类似.

【相似题4】

若点P（tanO,cosO-sin。）在第四象限,则［0,2加内的0的取值范围是（）

满足cos%-段的角a的集合为.

审题由某一三角函数值的范围求相应角的范围，常借助单位圆中的三角函数线或三角函数图

象进行求解.

解析已知cosa”-；，如图.

当cosa---^且a£[0,2TT]时，a=2^或o=.

233

由角a的终边与单位圆交点的横坐标得

2k兀+——tz„2k7i+——,左£Z.

33

所以角a的集合为1|2k兀+6Z„2k兀+,kez|.

回炉解三角不等式可用单位圆法或三角函数图象法.对单位圆中的三角函数线可进行拓展学

习，注意正弦线、余弦线、正切线的位置和方向.

【相似题5】

函数＞=1g(3-dsin?x)的定义域为.

题目6

已矢口aGE,sina+2cosa=邪,则tana=.

审题已知角。的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.本

题涉及角a两个三角函数值的关系，借助“知二求一”的规律进行解方程组求解.解析1(利

用平方关系和解方程(组)思想)

,fsina+2cosa=,一n

由｛得(6-2cosa)2+cos2a=1,即

sin2a+cos2a=1

5cos2-4V5cosa+4=0,

解得cosa=—^=2叵.于是sina="：,tana=—

V5552

解析2(化齐次式和“1”的代换)

等号两边平方得(sina+2cosa)2=5,

nnsin2a+4sinacosa+4cos2a二tan2a+4tana+4夕

即---------------2-------------二5,-----------2------；-------二5，

sma+cosatana+1

整理得4tan2a-4tana+1=0,解得tana-—

2

另外，由(sina+2cosa)2=5得

sin2a+4sinacosa+4cos之a=5^sin2a+cos2a),

即4sin2a-Asinacosa+cos2a=0,2sina-cosa=0,解得tana=—,

2

解析3

(构造对偶式)

利用(sina+2cosa)2+(cos6Z-2sin6Z)2=5,得cosa=2sina,于是tana=—.

解析4

(利用辅助角公式)

因为sina+2cosa-"(sina•3r+cosa-"sin(a+cp)能取最大值，

i2]

以sina=~,cosa=~,角牛tana——.

V5V52

*解析5(极值处导数值为0)

利用辅助角公式，sin。+2cosa能取最大值V5,则最大值处导数值为0.

等号两边求导得coscr-2sincr=0,即tana=—.

2

回炉本题利用弦切互化解方程的常规思路可求；由于条件给出的是特殊形式,考虑将等号两

边平方，转化成齐次式，通过齐次式求解；若满足asina+bcosa=±y1a2+b2的形式，则

tana=2;从导数的角度很容易理解，/(x)=Qsinx+bcosx(x£R),若/(a)取得最值或极值,

b

则必有r(a)=0.解题时应注意角的范围及三角函数值的符号.

【相似题6】

定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为尸，过点P作

尸片，x轴于点々，直线期与y=sinx的图象交于点P2,则线段PR2的长为.

【题目7]

已知tana=2,求：

(1)4sina-2cosa的值.

5sina+3cosa

(2)5sin2cr+3sincrcosa-2的值.

审题已知角a的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.已

知tana=2>0,得sina=2cosa,结合平方关系，分角a位于-、三象限进行讨论，求解

sina,cosa,该方法较烦琐;本题中已知tana=2,常规方法为“切化弦”，巧用平方关系，进

行“1”的代换.

解析⑴解析1由tana=2得sina=2cosa.

换4sina-2cosa_4x2cosa-2cosa_6

5sina+3cosa5x2cosa+3cosa13

解析2原式分子、分母同除以cosa(cosc工0)得生出包二2=_L.

5tana+313

5sin2a+3sinacosa"(sin?a+cos2a]

⑵原式除以sin2a+cos2a得-----------------------------------

sina+cosa

_3sin：a+3sinacosa-2cos」a_3tan』a+3tana-2_16

sin2a+cos2atan2a+15

回炉在同角三角函数关系中，已知角的正切值,求齐次式的值有两种常见类型：

类型1:分式型“sina+6costz,分子、分母同除以c°sa(cose片0),得到与正切有关的分式；

sina+dcosa

类型2:二次齐次型asin2a+6sinacosa+c,分母1化为sin?a+cos2a,然后将分子、分母

同除以cos2a(cosawO),得到与正切有关的分式.

【相似题7】

若。是第四象限角且$出。=正金,W«。=±比,则典且士1=__________.

k+5左+5tan0

题目8