2024-2025学年北京某中学九年级（上）开学数学试卷（附答案）

2024-2025学年北京161中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各式是最简二次根式的是（）

A.<9B.0C.y/~6D.<50

2.在n4BCD中，乙4=70。，则NB的度数为（）

A.110°B.100°C.70°D.20°

3.用配方法解方程它一2久-5=0时，原方程变形正确的是（）

A.（x-I）2=6B.（x-2）2=9C.（x+I）2=6D.（x+2>=9

4.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（）

A.对角线互相平分的四边形B.有三个角是直角的四边形

C.有一组邻边相等的平行四边形D.对角线相等的菱形

5.在平面直角坐标系xOy中，点4（2,%），3（3,%）在函数丫=一7%-4的图象上，则（）

A.为>为B.%=y2C.%<y2D.以上都有可能

6.在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成

绩.去掉这两个分数的前后，一定不发生变化的统计量是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

7.在△ABC中，乙4,Z.B,NC的对边分别是a,b,c.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）

A.Z-A+Z-B=90°B.Z.Az乙B：Z.C=3：4：5

C.a：b：c=3：4：5D.a=b=1,c=V-2

8.如图，乙4cB=90。，ABAC=30°,△4BD和AdCE都是等边三角形，F为中点，DE交AB于G点,下

__________________£

列结论中，正确的结论有（）个.

①EF1AC；

②四边形4DFE是菱形；

（3）AD=4AG；

（4）△DBF=6.EFA.

BC

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.若5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.若关于久的一元二次方程/-2x+m=0有一个根为0,则m的值为.

11.如图所示，△ABC的顶点2、B、。在边长为1的正方形网格的格点上，BD1

4C于点。，则8。的长为.

12.如果一组数据1,2,3,4,5的方差是2,那么一组新数据2,4,6,8,10的方差是

13.如图，在。力BCD中，AD=6,E为4。上一动点，M,N分别为BE,CE的中点，则MN的长为

G器2）的函数称

14.定义：对于给定的一次函数y=ax+b（a、b为常数，且aK0）,把形如y=

为一次函数y=a久+6的“衍生函数”，己知一次函数y=x—1,若点P（—2,巾）在这个一次函数的“衍生

函数”图象上，则小的值是

15.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZX=30°,AB=4,P为射线上一

点，若AACP是等腰三角形，贝的长为

16.如图1,华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全

一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小

矩形木块排列示意图如图2所示.若图2中阴影部分面积为40,则一个小矩形木块的对角线的长为

图I

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题5分）

计算：（兀一1）°-9],+/11—|0一2].

18.(本小题5分)

解方程：2/+3久一3=0.

19.(本小题5分)

如图，平行四边形4BCD的对角线AC、BD相交于点0,E、F分别是04、0C的中点，求证：BE=DF.

20.(本小题5分)

在平面直角坐标系xOy中，一次函数'=/£*+6的图象由函数丫=2刀-2的图象平移得到，且经过点

4(1,4).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点B,求44。B的面积.

21.(本小题5分)

己知：如图，在△28C中，AB=AC.

求作：以4c为对角线的矩形4DCE.

作法：①以点4为圆心，适当长为半径画弧，分别交ZB,AC于点M,N；分别以点M,N为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧在ZB4C的内部相交于点P,作射线4P与BC交于点D；

②以点4为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，2。的长为半径画弧，两弧在4C的右侧交于点E；

③连接2E,CE.

四边形4DCE为所求的矩形.A

(1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成以下证明./\

证明：•••AE^CD,CEAD,/\

••・四边形力DCE为平行四边形().(填推理的依据)/\

由作图可知，

AD平分NBAC,

XvAB=AC,

AD1BC().(填推理的依据)

.­./.ADC=90°.

・•・平行四边形4DCE是矩形().(填推理的依据)

22.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程/-4x+2m-1=0有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若小为正整数，且该方程的根都是整数，求小的值.

23.(本小题6分)

如图，ATIBC中，AB=BC,过4点作BC的平行线与乙4BC的平分线交于点D,连接CD.

(1)求证：四边形4BCD是菱形；

(2)连接4C与8D交于点。，过点D作。E1BC交BC的延长线于E点，连接E。，若EO=2岳,DE=4,求

CE的长.

24.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，点2(1,a)在直线，1：y-kx+3-fc(/c>0)±,直线％：y=比+m过点B(2,3).

(1)求a的值及直线G的表达式；

(2)当尤>一1时，对于久的每一个值，函数y=kx+3-k(k>0)的值大于函数y=尤+nt的值，直接写出k

的取值范围.

25.(本小题5分)

为了解我国2022年第一季度25个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业

务收入(单位：亿元)的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息.

a.排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：534.9,437.0,270.3,187.7,104.0

反其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：

20<%40<%60<%

快递业务收入久0<%<20

<40<60<80

频数61013

c.第一季度快递业务收入的数据在20Wx<40这一组的是：20.2,20.4,22.4,24.2,26,1,26.5,28.5,

34.4,39.1,39.8

d.排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如

下：

前5位的地区其余20个地区全部25个地区

平均数306.829.9n

中位数270.3m28.5

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表中小的值为；

(2)在下面的3个数中，与表中几的值最接近的是(填写序号)；

①30②85③150

(3)根据(2)中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为亿元.

26.(本小题6分)

北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园.小田和小旭

在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图1所示.

记录得到以下信息：

a.小田和小旭从永定塔出发行走的路程y1和火弹位：km)与游览时间穴单位：m讥)的对应关系如图2：

b.在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如表：

景点济南园忆江南北京园锦绣谷

路程(km)122.53

根据以上信息，回答下列问题：

(1)在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为km；

(2)小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在_____相遇(填写景点名称)，此时距出发经过了

min；

(3)下面有三个推断：

①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是备km/爪讥;

②小旭比小田晚到达国际展园30nl讥;

③60nli71时，小田比小旭多走了|km.

所有合理推断的序号是.

27.(本小题7分)

如图，E为正方形4BCD内部一点，且2E=4B,BE的延长线交CD于点尸.

(1)求证：4CBF=

(2)作FG148于点G,交4E于点H,用等式表示线段AH,BG,FH的数量关系，并证明.

28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，力(0,2),C(4,0).若P为矩形ABC。内(不包括边界)一点，过点P分别作“

轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABC。为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于

。4的长，则称P点为矩形4BC。的矩宽点.

例如：图中的点P(|,|)为矩形ABC。的一个矩宽点.

(1)在点E(|,|),F(*|)中，矩形ABCO的矩宽点是；

(2)若点G(m,：)为矩形2BC0的矩宽点，求m的值；

(3)若直线y=k(x+1)-1上只存在一个矩形4BC。的矩宽点，贝心的取值范围是

参考答案

1.C

2.A

3.4

4.D

5.4

6.B

1.B

8.C

9.x>5

10.0

11.3

12.8

13.3

14.1

15.2盾或2或6

16.275

17.解：(7T-1)°-9Jj+712-|73-2|

=1-9x苧+2<3+AA3-2

=1-3/3+2/3+/3-2

=-1.

18.解：2%2+3%—3=0,

•••a=2,b=3,c=—3,

・"=核-4ac=32-4x2x(-3)=33>0,

_b2-4ac_-3±/33

•••*=2a=-4-'

名刀4日—3—V33—3+V33

解得X1=-7—,x2=--—.

19.证明：连接BF、DE,如图所示:

•••四边形4BCD是平行四边形，

0A—0C,0B—0D,

•・・£、F分别是。4、。。的中点，

11

・•・OE=^0A,OF=^0C,

・•.OE=OF,

・•・四边形BEDE是平行四边形，

BE=DF.

20.解：(1)・・•一次函数y=kx+b的图象由函数y=2%—2的图象平移得到,

；•k=2,

・•・函数图象经过点力(1,4),

•••4=2x1+b,

解得b=2,

一次函数的解析式为y=2x+2；

(2)•••一次函数的解析式为y=2x+2,

.•.当y=。时，x=-1,

OB=lf

・•・2(1,4),

1

.•.△NOB的面积=5x1x4=2.

21.两组对边分别相等的四边形是平行四边形三线合一有一个角是90。的平行四边形是矩形

22.解：(1)•.•依题意，得/=16—4(2m一1)>0.

5

m<

2-

即m的取值范围是m

(2)•••山为正整数，

m=1.或2,

当772=1时，方程为％2—4%+1=0的根％=2±不是整数;

当m=2时，方程为/一4x+3=0的根=1,久2=3,都是整数.

综上所述，m=2.

23.(1)证明：•••BD平分〃BC,

•••Z.ABD=乙DBC,

•・•AD//BC,

•••Z.ADB=Z.DBC,

・•.Z.ABD=Z.ADB

AB=AD,

•・,AB=BC,

AD=BC,

••・四边形4BCD是平行四边形，

•••AB=BC,

••・四边形4BCD是菱形.

(2)解：•••四边形4BCD是菱形，

BO=DO,

DE1BC,

OE=^BD=2y/~5,

：.BD=4A<5,

BE=yjBD2-DE2=J(4/5)2-42=8,

设CE=x,则BCBE-CE=8-x,

CD=BC=8—x,

在中，CD2=CE2+DE2,

(8-%)2=%2+42,

解得：%=3,

・•・CE的长为3.

24.解:(1)•・•点4(1,a)在直线人：y=kx+3-fc(fc>0)_b,而直线小y=kx+3-k=fc(x-1)+3,

・,・直线小y=k%+3-k经过点(1,3),

•••a=3；

,・,直线%：y=%+m过点8(2,3).

3=2+m,

•••m=1,

・,・直线%：y=%+1；

(2)把％=-1代入y=x+1,得y=0,

把％=—1,y=0代入y=kx+3—k,得0=—k+3—k,

解得k=I，

lWkwj时，当x〉-l时，对于久的每一个值，函数y=kx+3-k(k>0)的值大于函数y=x+TH的

值.

25.(1)25.15；

⑵②；

(3)340.

26.(1)4(2)忆江南45(3)②③

27.(1)证明：•••正方形力BCD,

.­.^ABC=90°,

如图，作AM1BE于M,

AE=AB,

1

・•.Z.BAM=Z-EAM=/BAE,

v乙CBF+乙ABF=90°