2024-2025学年山东省济南市某中学九年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年山东省济南市高新第一实验中学九年级（上）开学数学

试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（)

A❶BQ

2.代数式—/因式分解为（）

A.（2m—n）（2m+n）B.4(m—n)(m+n)

C.（4m—n）（m+n）D.(m—2n)(m+2n)

3.若正多边形的一个内角度数为144°，则这个多边形的边数为（）

A.10B.12C.8D.7

4.如图，点。，片分别在△4BC的/C边上，且DE//BC,如果AD：AB=2：

3,那么。£：5c等于（）

A.3：2

B.2：5

C.2：3

D.3：5

5.如图，在△48。中，D、E分别为45、/C的中点，CF平分NACB,交DE于点、F,若47=4,贝U斯

的长为（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字

所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）.将两指针所指的两

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个扇形中的数相加，和为6的概率是（）

5

D，6

7.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器

所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）

600450600450八600450600450

A.--------=-----B.---------=-----C.----=----------D.----=----------

力+50xx—50xx力+50x力一50

8.如图，在口/BCD中，对角线RDL4。，48=10,40=6,。为AD的中点，E为边48上一点，直

线EO交CD于点、F,连接。£,8F.下列结论不成立的是（）

A.四边形。即尸为平行四边形B.若力石=3.6，则四边形。即9为矩形

C.若4石=5,则四边形。班厂为菱形D.若4£=4.8，则四边形。EAF为正方形

9.如图，在矩形/BCD中，AB<BC，连接/C,分别以点4C为圆心，

大于;4。的长为半径画弧，两弧交于点/，N,直线分别交3c于

点、E,F.下列结论：①四边形ZEC尸是菱形；®AAFB=2AACB；

@AC-EF=CF-CD-,④若/尸平分NBA。，则。F=通48.其中正确结

论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

10.已知多项式朋'=2/—32—2.多项式N=/—骐+3.

①若M=0，则代数式,:,的值为:；

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②当a=—3,x4时，代数式刊―N的最小值为—14；

③当a=0时，若M・N=0,则关于X的方程有两个实数根；

7

④当a=3时，若|M—2N+2|+|M-27V+15|=13,则x的取值范围是一Q</<2.

以上结论正确的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题：本题共5小题，每，卜题3分，共15分。

.当时，分式‘二聿

11x_____;意义.

在CD上，£=3E交对角线/C于点F.D------------4~4

12.如图，已知口45CZ）中，点Er

口

则”=

人」AF

AB

13.如图，在宽为20加，长为30〃的矩形地面上修建两条宽均为xm的小___________；?

草地面积为551m2,根据图中数据，求xm~~_I

路（阴影），余下部分作为草地，

nur

得小路宽X的值为_____；

14.清朝数学家梅文鼎在著作《斗二三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角A

形面积的“三斜求积术”给出了一一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形

2角△4BC的边8c上的高，则//\

得出了一个结论：如图，是密

…AB2-AC\“crccc……加入"AiAKHXBDC

2'BC

15.如图，在菱形48CD中，ABAD=120°，CD=4,M,N分别是4Nn

CN,E是边CA/上的/\//

边AB,AD的动点，满足4M'=£>",连接CA/、M

动点，下是CM上靠近C的四等分点，连接/£、石8、NF,当MFN面//!/

积最小时，+的最小值为_____.

BC

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三、计算题：本大题共1小题，共7分。

16.先化简，再求值：(，^-请在2，-2,0,3当中选一个合适的数代入求值.

四、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题7分)

解方程：

⑴3/-4/=1；

(2)(3y-2)2=(2y-3)2.

18.(本小题8分)

19.(本小题8分)

某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲.要合奏的乐曲是用游

戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首.

游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2,3,4的四个小球(除标号外，其余都相同)，

甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a.在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2的两

张卡片(除标号外，其余都相同)，乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为6.然后计算这两个数

的和，即a+b.若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》.

(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求(a,b)所有可能出现的结果总数；

(2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？

20.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程/一2立+馆一1=0

(1)当加取何值时，这个方程有两个不相等的实根？

(2)若方程的两根都是正数，求机的取值范围；

⑶设的，①2是这个方程的两个实数根，且1-工逆2=*+4，求加的值.

21.(本小题9分)

党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.为扎实做好育人工作，某校深入开展

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阳光体育”活动.该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动.已知一副

羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等.

(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；

(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费

的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？

22.(本小题10分)

如图，出/\48。的两条直角边48=4。m，4C=3cm，点。沿从N向8运动，速度是lcn”秒，同

时，点E沿3c从2向C运动，速度为2cm/秒.动点E到达点C时运动终止.连接DE、CD.AE.

(1)当动点运动几秒时，与相似？

(2)当动点运动几秒时，ABOE的面积为

(3)在运动过程中是否存在某一时刻/,使CO10E?若存在，直接写出/的值；若不存在，请说明理由.

23.(本小题10分)

阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程(川)2-13/+36=0,如果我们把/看作一个整体，然后设"=/,则原方程可化为

/—134+36=0,经过运算，原方程的解为工1,2=±2,3,4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常

叫做换元法.

材料2

已知实数加，〃满足—机—1=0,n2—n—1=0＞且加次n,显然"％w是方程/—c—1=0的两个

不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1,mn=-1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程d—5/+6=0的解为；

⑵间接应用：

已知实数。，6满足：2a4-7a2+l=0，2b4—7匕2+1=0且求+的值；

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(3)拓展应用：

已知实数X,y满足：二+二=7,/_九=7且n>0,求二+/的值.

rrrm4

24.(本小题12分)

如图所示，△ABC,/XADE为等腰三角形，ZACB=AAED=90°.

(1)如图1,点E在43上，点。与C重合，尸为线段3。的中点，则线段即与尸C的数量关系是；AEFD

的度数为.

(2)如图2,在图1的基础上，将△4OE绕/点顺时针旋转到如图2的位置，其中。、/、C在一条直线上,

/为线段的中点，则线段M与歹C是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论.

(3)若△4DE绕/点任意旋转一个角度到如图3的位置，厂为线段8。的中点，连接斯、FC,请你完成图

3,请猜想线段即与9C的关系，并验证你的猜想.

25.(本小题12分)

矩形/O3C在平面直角坐标系中的位置如图所示，点N在x轴的负半轴上，点3在y轴的正半轴上，连接

AB,将△48。沿48折叠得△ABE,/E交y轴于点D,线段OD、。区的长是方程/—+12=0的两

个根，且。4>OD

(1)请直接写出点/的坐标为，点。的坐标为；

(2)点P为直线N3上一点，连接P。、PD,当△PO。的周长最小时，求点P的坐标；

(3)点M在x轴上，点N在直线48上，坐标平面内是否存在点。，使以3、M、N、。为顶点的四边形为正

方形？若存在，请直接写出满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

根据中心对称图形的概念判断即可.

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

【解答】

解：/、不是中心对称图形；

B、不是中心对称图形；

C、不是中心对称图形；

D、是中心对称图形.

故选：D.

2.【答案】A

【解析】解：4m2—n2=(2m—+n).

故选：A.

直接利用平方差公式分解因式得出答案.

此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：•.•正多边形的一个内角度数为144°，

,正多边形的一个外角度数为36°,

这个多边形的边数为360°4-36°=10,

故选：A.

求出正多边形的一个外角度数为36°，根据多边形的外角和是360°即可得出答案.

本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：rDE〃口。，

：,DE：BC=AD：48=2：3；

故选：C.

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由平行线分线段成比例定理即可得出结果.

本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：：D、E分别为48、/C的中点，

：.DE//BC,AE=EC,

:"BCF=NEFC，

•.,。9平分/4。8,

:.ZBCF=/ECF,

:"ECF=NEFC，

,-.EF=EC=^AC=2,

故选：B.

根据三角形中位线定理得到OE//B。，进而证明=根据角平分线的定义、等腰三角形的

判定定理解答即可.

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三

边的一半是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：画树状图如图：

和566778

共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，

21

.•.两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为=3，

63

故选：B.

画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公

式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出力再从中选出符合事件

/或2的结果数目m,然后根据概率公式求出事件/或2的概率.

7.【答案】A

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【解析】【分析】

此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件,

进而得出等式方程是解题关键.根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所

以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间.

【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产(2+50)台.

故选A.

8.【答案】D

【解析】解：为AD的中点，

：,OB=OD,

•.•四边形/BCD为平行四边形，

:.DC//AB,

：.ACDO=2EBO,ADFO=/LOEB,

」.△FOO之△EBO(AAS),

：,OE=OF,

.•.四边形DEBF为平行四边形，

故A选项结论正确，

若AE=3.6>AD=6，

AE_3.6_3

AD=1T=：5，

D4。63

.--------.....——，

,AB105

AE_AD

,"AD=AB，

-：ADAE=ABAD,

：,ADAEs/\BAD,

.•"AED=AADB=90°.

故B选项结论正确，

*/AB=10»AE=5，

/.BE=5,

又•.•乙408=90。，

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：,DE=^AB=5,

：,DE=BE,

.•.四边形。班尸为菱形.

故C选项结论正确，

•.•4E=3.6时，四边形尸为矩形，AE=5时，四边形OEAF为菱形，

.•.4E=4.8时，四边形OE8歹不可能是正方形.

故。不正确.

故选：D.

根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可.

本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形

的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：根据题意知，E尸垂直平分/C,

NEAO=NFCO

<AO=CO,

[ZAOE=Z.COF=90°

：.AAOE^^COF(ASA),

：,OE=OF,

：,AE=AF=CF=CE，

即四边形NEC尸是菱形，

故①结论正确；

AAFB=AFAO+AACB,AF=FC，

：.AFAO=AACB,

第H页，共31页

AAFB=2AACB，

故②结论正确；

•••$四边形4ECF=CF-CD=^AC-OEx2=^AC-EF,

故③结论不正确；

若AF平分ABAC,则ZBAF=AFAC=ACAD=1x90°=30°,

O

：,AF=2BF,

-：CF=AF，

：,CF=2BF,

故④结论不正确；

故选：C.

根据题意分别证明各个结论来判断即可.

本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判

定和性质等知识是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：①=2/—32-2=0,

解得:x-2,或立=

13力w士且26

~2----Q------^的值为：---；

力=—3/—13

故①是错误的；

②当Q=一3时，

M-N=(2/_3/—2)-(/+3c+3)

=12―6/-5

=3-3)2-14,

.,.当田=3时，M—N的最小值为一14,

故②是错误的；

③由题意得：MN=(2a?2—3工—2)(/+3)=0,

解得2=2或/=

故③是正确的;

④当Q=3时，

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\M-2N+2\+\M-2N+15\

=|(2/—3/_2)—2(/—3力+3)+2|+|(2«-3a:-2)-2(/-3a;+3)+15|

=13a?—6|+\3x+7|

=13,

.13力+720

,,[3c-6(O'

7

解得：一百

0

故④是错误的；

故选A

①把川=0代入解方程；

②把a=—3代入，再配方求最小值；

③把0代入求解；

④根据绝对值的意义求解.

本题考查了配方的应用，理解非负数的性质是解题的关键.

11.【答案】#1

【解析】解：当分母不为零的时，有意义，

即3,-2刈,

解得。|.

O

故答案为：#彳.

分母不为零，分式有意义.

本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念:

(1)分式无意义O分母为零；

(2)分式有意义台分母不为零；

(3)分式值为零0分子为零且分母不为零.

12.【答案】1

【解析】解：•.•四边形/BCD为平行四边形，

CD//AB,CD=AB.

.,,/(CE1

二,点E在CD上,=—>

EJL)2

第13页，共31页

：.CE==\AB.

JL十，O

-：CD//AB,

:.八CEFs^ABF

CF_CE_1

-'AF=AB=3'

故答案为：］

o

根据平行四边形的性质可得出。。//4B,CD=AB，由三「尸方=力］可得出。石=154右，由CD^AB,可得

h/Jy23

出MEFsAABF,再利用相似三角形的性质即可求出f的值.

AF

本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质找出

△CEFsAABF及CE=是解题的关键.

O

13.【答案】1

【解析】解：根据题意得：(30—①)(20—2)=551,

整理得：x2—50a;+49=0，

解得：=1,畋=49(不符合题意，舍去)，

即小路宽x的值为1,

故答案为：1.

剩余部分可合成长为(30-乃篇，宽为(20-乃篇的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为5517n2,列

出一元二次方程，解之取其较小值即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

14.【答案】676

1AD2_4「2

【解析】解：•.•BO=±(BO+—)'AB=7,BC=6,AC=5,

2BC

BD=5,

在Rt/\ABD中，AD=y/AB2-BD2=^72-52=2几，

△AB。的面积=—BC-AD=—x6x2\/6=6\/6,

故答案为：6V6.

根据题意求出30=5,根据勾股定理求出AD=2通，再根据三角形面积公式求解即可.

此题考查了勾股定理、三角形面积，根据勾股定理求出是解题的关键.

15.【答案】3

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【解析】解：如图，连接AC,

•.,四边形A8CD是菱形，ABAD=120°，

ABADCD,ABAC=ADAC=AADC=60°，

△4D。和△ABC为等边三角形，

：,AC=DC,NACO=60°,

-：AM=DN，

:AAMC沿ADNC(SAS),

:,CM=CN,4DCN=々ACM,

:"MCN=AMCA+AACN=ADCN+£ACN=£ACD=60°，

.•.△CMN为等边三角形,

♦.,点尸是CN上靠近点C的四等分点，

S/\CFN=4s△CMN，

.•.△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，

S&CMN=-^-CM2)

.•.当CN和CM长度最短时，SACMN的面积最小，即CN14D，时△CFN的面积最小,

取3E的中点为点G,连接MG,

△ABC为等边三角形，CM_L4B，

.♦.点M是的中点，

：.AE=BE,

：,MG=}-AE=^BE,

113

-BE+AE=-AE+AE=-AE,

■.•点E是CW上的动点，NAME=90°，

4E的最小值即为的长度，

•.-CD=4,

AM=—A73=2,

0BE+4E）最小值=|x2=3,

故答案为：3.

连接MN、AC,由菱形ABCD的性质和ABAD=120°得到AB=AD=CD>

第15页，共31页

ABAC=ADAC=AADC=60°＞从而得到△4。。和△ABC为等边三角形，然后得到4。=。。，然

后结合=得证得到。M=CN、ADCN^AACM,从而得到

AMCN=60°，得到△。“"为等边三角形，由点尸是CM上靠近点。的四等分点得到SMFN=2加

所以△CMN的面积最小时，△CTN的面积也最小，从而有当CN和CN最短，即。NL4D、时

△CFN的面积最小，取3E的中点为点G,连接MG,由△4BC为等边三角形和CML4B得到点〃是48

1113

的中点、AE=BE,进而有==所以D3石+4E=最后由点E是CM上的动点，

得到/£的最小值即为的长度，从而求得结果.

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形

的面积，将求三角形CFN的面积最小值转化为CM和CN的最小值是解题的关键.

16.【答案】解：原式=--x匕匚

m—2(m—2J)(m+2)m

mm+22mm+2

=----------x---------------------------------------x----------

m—2m[m—2)(m+2)m

Tn+22

m—2m—2

m

m—2'

•.•分式分母不能为0,

/.±2,0,

.•.a取3,当机=3时，

原式=­=3.

【解析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出机的值，从而可求出原式的值.

17.【答案】解：⑴3/—41—1=0,

△=(―铲-4x3x(-1)=28〉0，

-b±7®—4ac4±2\/72±g

•nr*-..............--------------,

-2a2x33

2+V72-V7

：.xi=---，x=---；

OO2

(2)(39一2)2_(2沙一3)2=0,

(3g-2+2g-3)(3y-2-2y+3)=0,

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3y—2+2y—3=0或3g—2—2g+3=0,

解得阴=1改=-1-

【解析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；

（2）先移项得到（3g-2）2-⑵—3）2=0,然后利用因式分解法解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简

便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.

18.【答案】证明：在矩形N3CD中，AD//BC,

.-.Z1=Z2,NAEF=NCFE,

又。4=。。，

.-./\AOE^/\COF（AAS）,

;.AE=CF,

二四边形NFCE是平行四边形，

■：EFLAC>

_•°是菱形.

【解析】根据矩形的性质可得N1=N2,NAEF=NCFE,然后由“44S”可得△40E0△COF,根据

全等三角形的性质及菱形的判定方法可得结论.

此题考查的是菱形的判定、垂直平分线的性质及矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

19.【答案】解：（1）按游戏规则计算两个数的和，列表如下：

从表中可以看出共有8种等可能的情况.

（2）我认为这个游戏公平，理由：

从表中可以看出共有8种等可能的情况，其中和为奇数与和为偶数的可能性各有4种，

所以P（和为奇数）=P（和为偶数），

.•.这个游戏公平.

【解析】（1）利用列表法解答即可；

（2）利用计算概率的方法解答即可.

本题主要考查了列表法或树状图法，游戏的公平性，事件的概率，利用游戏规则正确列出表格是解题的关

键.

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20.【答案】解：⑴•.•△=(一2)2-4(m-1)=一46+8〉0,

」.m<2时，方程有两个不相等的实数根；

(2)；设立1,立2是这个方程的两个实根，则的〉0,22〉0,

/.为①2=馆一1〉0，

m>1；

(3)+益=2,X1X2=m—1,1—的妆=4+c|,

,,,1—m+1=22—2(m—1),

/.m=4.

【解析】(1)根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可;

(2)根据根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可;

(3)根据根与系数的关系得出，i+金=2,x1X2=m-1,变形后代入，即可求出答案.

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键.

21.【答案】解：(1)设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是(2+30)元.

10002000

根据题意，得

x1+30'

解得/=30，

经检验，万=30是所列分式方程的根,

30+30=60(元),

.•.每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元.

(2)设购买乒乓球拍°副，则购买羽毛球拍(100-a).

根据题意，得a<2(100—a),

“0200

解得a《—»

O

设花费的资金总额为少元，则印=30a+60(100—a)=—30a+6000,

•.--30<0,

/,卬随Q的增大而减小,

・「a(孚且x为整数，

O

第18页，共31页

,当a=66时，少取最小值，印最小=—30x66+6000=4020,

要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元.

【解析】（1）设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是Q+30）元，根据题意列方程并求解

即可；

（2）设购买乒乓球拍。副，则购买羽毛球拍（100-a）,根据题意列关于。的一元一次不等式并求解；设花费

的资金总额为沙元，写出少关于。的函数，根据该函数的增减性，确定当。取何值时少取最小值，求出最

小值即可.

本题考查一次函数和分式方程的应用等，掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解

题的关键.

22.【答案】解：设。点运动时间为f秒，则40=/秒，30=（4—%）秒，BE=2t秒,OE=（5—21）秒

（0（力（万）’

⑴当NBDE=NBAC，即E01AB时，Rt^BDERtABAC,

：,BD-BA=BE：BC,即（4一力）：4=2）5,

20

-U=i3；

当NBDE=NBCA,即。时，RtABCA,

：,BD-.BC=BE-BA,即（4—1）：5=2t：4,

•力上

-7'

所以当动点运动II秒或，秒时，与△ABC相似；

（2）过E作EF14B于尸，如图，

:"EFB=90°=ACAB，

•;NB=/B,

:.RSBEFSRSBAC,

;.EF：AC=BE：BC,

第19页，共31页

即ER3=2%：5,

5

S丛BDE--BD*EF=-*(4—t)-^-=1.8,

t=1或t=3(舍),

即当动点运动1秒时，△RDE的面积为1.8。馆2；

(3)存在.

如图，过点E作EF_L4B于R

,.•RtABEFsRtABAC,

：,BF-.AB=BE：BC,

即BF：4=2t：5,

5

：.DF=AB-AD-BF=4-t-—=4：-—t,

55

■.■CDIDE，

.•./COE=90。，

NNADC+NEOP=90°,

-l•ABAC=90°，

：,AADC+^ACD=90°,

:"ACD=NFDE，

■：ACAD=AFDE,

：,RtAACDsRtAFDE,

.-.AC：DF=AD：EF,即3：(4-^i)=i：合,

55

第20页，共31页

【解析】设。点运动时间为/秒，则AD=力秒，BD=(4—t)秒，BE=2力秒，CE=(5—2方)秒(0W力(2；

(1)分类：当NBDE=ABAC，即E01AB时，RtABDEsRt/\BAC；当NBDE=NBCA,即DEIBC

时，Rt^BDE^Rt^BCA,然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出/的值；

(2)过£作于尸，易证RtABEFsRt△a4。，根据三角形相似的性质得到比例线段用t表示EF,

然后根据三角形的面积公式求解即可；

(3)先计算出DF=43—40—BF,若CDLDE,则易证得RtAFOE,然后根据三角形相

似的性质得到比例线段求出t.

本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等.也

考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用.

23.【答案】解：(1)/1=\/2,X2=--\/2>X3=V3，X4=—\/3；

⑵a^b,

.“"或/=弭

当a2y^b2时,令a2=m,b2—n.

2

.1.m^n,贝U2nz2—7篇+i=o，2n—7n+1=0>

m>n是方程2a?—7,+1=0的两个不相等的实数根，

(7

m+n=-

,*]1，

mn=-

I2

45

此时a4+64=m2+n2=(m+n)2—2mn=—.

222244422

②当a=6(a=—b)时，a=b=,士严此时a+6=2a=2(a)=45士:历,

综上所述，&4+64=当或45土7用

44

(3)令一2=a,—n=b,则Q2+Q—7=0,庐+b—7=0,

,：八>0,

...二#一九，BPa^b,

m/

6是方程/+1—7=0的两个不相等的实数根，

.(a+b=—1

|ab=-7'

故-^-r+T?2=Q2+必=(Q+b)2—2ab=15.

m4

第21页，共31页

【解析】解：⑴令「=，,则有92—59+6=0,

，®-2)®—3)=0,

「.2/1=2,92=3,

.・.，=2或3,

Xi=\/2，X2=—A/2»$3=、x^=—Vo;

故答案为：Xi=A/2，12=—，^,C4=—

⑵Q邦,

二'd#2或[2=庐，

2

当Q2rb2时，令Q2=m，b=n.

：,m^n,贝ij27T?2-76+1=o，2n2-7n+1=0，

，m,n是方程2d-73+1=0的两个不相等的实数根，

(7

|m+n=-

,11，

Imn=-

45

此时a4+b4=m2+n2=(m+n)2-2mn=—.

②当a2=i)2(a=—b)时，。2=62=[±@,此时。4+万=2a4=252]=45>[同

44

综上所述，。4+64=与或45±7®,

44

2

(3)令一5=a,—n=bf则Q?+Q—7=0，5+6—7=0，

mz

,：n>0,

—^#—72,即。#6,

/.a,b是方程/+/—7=0的两个不相等的实数根，

.(a+6=—1

,'\ab=-7，

故‘7+/=Q2+庐=(Q+与2_2ab=15.

nr

(1)利用换元法降次解决问题；

(2)模仿例题解决问题即可；

(3)令3=Q,—n=6,则Q?+Q—7=0,y+b—7=0,再模仿例题解决问题.

mz

第22页，共31页

本题考查根与系数的关系，塞的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题

解决问题.

24.【答案】⑴EF=FC；90°；

⑵如图2,延长CF到使CF=FM，连接DM、ME、EC,

图2

F为BD中点，

：,DF=FB，

在△BCF和■中

[FC=FM

<ABFC=ZDMF

(BF=DF

：,ABFC出/XDFM(SAS),

:.DM=BC，4MDB=4FBC，

：,MD=AC,MD//BC,

：.AMDC=ABCA=90°

.•.NM_DE=NE4C=135°，

在和△CAE中

(MD=AC

<AMDE=AEAC

[DE=AE

：./XMDE^/XCAE(SAS),

:.ME=EC，AMED=ACEA,

：,AMED+NFEA=NFEA+ACEA=90°，

.•.NMEC=90°，又尸为CM的中点，

:.EF=FC,EF1FC；

(3)图形如图3,

第23页，共31页

A

D

iE

BC

图3

结论：EF=FC，EF1FC.

证明如下：

如图4,延长C尸到M,使CF=FM，连接ME、EC,连接。M并延长交/£于G,交AC于H,

:.DF=FB，

在△BCF和△ZZFM中

[FC=FM

<ABFC=ADMF

[BF=DF

：,2BFC沿^DFM(SAS),

:.DM=BC，AMDB=AFBC，

：,MD=AC,HD//BC,

：.AAHG=ABCA=90%且^AGH="GE,

："MDE=NEAC，

在△MOE和△C4E中

MD=AC

AMDE=NEAC

DE=AE

/XMDE^/^CAE^SAS),

ME=EC，AMED=ACEA,

NMED+AFEA=AFEA+Z.CEA=90°,

第24页，共31页

：.AMEC=90°，又尸为CM的中点，

：,EF=FC,EFLFC.

【解析】解：

⑴•.■△48。、A4EO为等腰直角三角形，

,•"=45°,AECA=9Q°,

:"ECB=45°，

:.BE=EC,

为中点，

.-.EF1BC>

:.EF=FC，NEFO=90°，

故答案为：EF=FC；90°.

⑵延长线段CF到跖使CF=FM,连接。〃、ME、EC,易证△RFCg△DFM,进而可以证明

LMDE乌ACAE,即可证明EF=FC,EFLFC;

⑶基本方法同⑵.

本题为几何变换的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平

行线的性质和判定等.构造三角形全等是解题的关键，即延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅

助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决.本题考查知识点较多，综合性较

强，特别是⑵、（3）两间的构造三角形全等难度较大.

25.【答案】（-4,0）（0,3）

【解析】解：（1）解方程/—7立+12=0得：7=4或3,

•.,线段O。，04的长是方程/—7c+12=0的两个根，且OA〉。。.

.•.0