山东省济南市2023-2024学年高一年级上册1月期末考试数学试题（含解析）

济南市2024年高一学情检测

数学试题

本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答

题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为

（）

A.1.179xl07B.1.179xl08

C.11.79xl06D.0.1179xl08

【答案】A

【解析】

【分析】由科学记数法要求可得.

【详解】11790000=1.179x107,

故选：A

2.下列运算正确的是（）

A.3a2-a-2aB.(a+Z?)~=a~+

C.a3b2=aD.(a2b)2=a4b2

【答案】D

【解析】

【分析】举例说明判断ABC；利用幕的运算法则判断D.

【详解】对于A,3a*=a（3-a）,A错误；

对于B,（o+b^'=tz2+lab+b1,B错误；

对于C,a3b24-a2=ab2-C错误；

对于D,（"人了=仅2）2/=。％2,口正确.

故选：D

3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156,158,158,160,162,165,169.这组数据

的众数和中位数分别是（）

A.160,162B.158,162

C.160,160D.158,160

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数和中位数的定义易得.

【详解】因在156,158,158,160,162,165,169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是

158；

根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.

故选：D.

4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个

数，则这个几何体的主视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】利用三视图的相关概念分析即可.

【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在

左侧，故A正确.

故选：A

5.已知点4（—3,%）,8（—2,3）,C（-l,j2）,。（2,%）都在反比例函数^=幺（左00）的图象上，则必，

x

y2，y3的大小关系为（）

A,必<%<%B.%<%<为

c.y2<y3<JiD,必<%<必

【答案】B

【解析】

【分析】首先代入点2的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.

【详解】将点5（—2,3）代入反比例函数3=5,得上=—6，

即反比例函数的解析式是y=—,

x

将点4C,£»的坐标代入函数解析式，得乂=2,%=6,%=-3,

即8<%<为•

故选：B

6.如图，在矩形48cZ）中，AB=6,4D=8,P是4D上不与A和。重合的一个动点，过点尸分别作ZC

和的垂线，垂足为E,F,则PE+尸尸的值为（）

.Pc

一

,122428

A.—B.—C.5D.——

555

【答案】B

【解析】

【分析】连接OP,利用勾股定理列式求出AD,再根据矩形的对角线相等且相互平分求出OA,OD,

然后根据S&AOD=S&AOP+工。。？列式求解即可.

BC

如图，连接OP,

•••四边形48CD为矩形，AB=6,40=8,

BD=4AB2+AD2=A/62+82=10，

：.OA=OD=-x\Q=5,

2

•・q—v.Lv

,2"OD~4"OP丁"ADOP，

:.-xADx-AB=-xAO-PE+-xOD-PF,

2222

.-.-x-x6x8=-x5-P£+-x5-PF,

2222

24

解得PE+PF=—,

5

故选：B.

7.如图，在口/BCD中，AB=2,4D=3,N48C=60°，在48和4D上分别截取/£（/£<48）,AF,

使4E",分别以E,尸为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在ND48内交于点G,作射线ZG

2

交BC于点、H,连接。笈，分别以。，〃为圆心，以大于工。〃的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,

2

作直线MN交CD于点K,则CK的长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判

定与性质计算即可.

如图所示，设直线"N分别交直线于P,Q,S,作HR_L4D,垂足为心

根据题意易知分别为/氏4。的角平分线，线段。笈的垂直平分线,

所以ZBAH=/ABC=60°＞所以&ABH为正三角形,

典\4H=BH=2,AR=CH=1,DR=2,HR=也，所以DH=@=2SD，

而tan/Z£>H=E=经，则QS=@,DQ=Z，

2SD44

73

易证AHSPVADSQ,故DQ=L=HP,CP=HP-CH=±,

■44

CPCK3CK

易知ACKP~^DKQ,故---=----n-

QDKD12-CK

3

解之得CK=±.

5

故选：C

8.如图，抛物线歹=-f+4x,顶点为/,抛物线与x轴正半轴的交点为瓦连接/£C为线段上一

点(不与。，8重合)，过点。作CD//45交y轴于点。，连接交抛物线于点£,连接。£交CO于点

S3

F,若*^=工，则点C的横坐标为()

,△DEF"

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点4台坐标，设点。(%,0)并表示点。,E,尸的坐标，再利用三角形面积关系

列式计算即得.

【详解】抛物线了=一(无一2)2+4的顶点2(2,4),由＞=0,x〉0,得x=4,即点8(4,0),

\4=2k+b

设直线"方程为1丘十八’由［o=4左+6'解得人=一2,八8,则直线出片3+8,

设点。(项),0),0</<4,由CD//48,设直线CD方程为y=—2x+c,

由x=Xo，得0=2%,由X=O,得y=c=2xo，即点2)(0,2%),直线CD:y=-2》+2%，

2x—〃

设直线4D的方程为V=%+〃，贝乂“；，解得加=2—〃=2%,

4=2m+n

y=(2-xn)x+2xn[x=x(}o

即直线ZD:y=(2—x0)x+2xo,由/2°：°,解得2“，即点£(%,—x；+4x0)，

y--x+4x[y=-x0+4x0

SSDF

显然.DOE=S",由^0=I'得=；'则।’因此点E(|"Xo,■|x()),

»ADEF4，DOE/?ADOC/'!

8

_3\OF\_3%4

由已叱因此7°解得

得匕一二,3,x,

S&DOE7\OE4\73

-XQ+4x07

4

所以点C的横坐标为一.

3

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时

相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y

(km)与时间x(h)的关系，则()

A.小明家与图书馆的距离为2km

B.小明的匀速步行速度是3km/h

C.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5h

D,小明与小亮交谈的时间为0.4h

【答案】AD

【解析】

【分析】由图象可判断A选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B选项；通过计算点C到D所

需的时间，可判断C选项；通过计算点E到尸所需的时间，可判断D选项.

【详解】对于A：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km,故A正确;

对于B：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料,

所以小明的匀速步行速度是京=4(km/h),故B错误;

对于C：小明返回的路上走2-0.8=1.2(km)后遇到小亮,

1?

则走1.2km所需的时间为彳=0.3(h),

所以小明在图书馆查阅资料的时间为2.6-0.5-0.3=1.8(h),故C错误;

对于D：走0.8km所需的时间为半=0.2(h),

所以小明与小亮交谈的时间为3.2-2.6-0.2=0.4(h),故D正确.

故选：AD.

10.如图，点8在线段ND上，分别以线段Z8和线段8。为边在线段/£＞的同侧作等边三角形48c和等边

三角形BDE,连接NE与3c相交于点G,连接CD,CD与4E,3E分别相交于点凡H,连接3尸，

A.GH/IADB.FB平分ZGFH

C.GE=BDD./\ABE=Z\CBD

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合图形和题设条件，易得AABE=^CBD,可推得D项；由此得到NABE=ZCBD,可证

^GBE=^BD,可得GB=HB,从而得到正三角形BG”,由=60°=NHaD易得A正确；再

由全等三角形的对应边上的高相等，易得点8到NN尸。的两边距离相等，故得B项正确；对于C项，可采

用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C项.

【详解】因VABC和4BFD都是正三角形，故48=BC,BE=BD,ZABC=ZEBD=60°,

则ZABC+ZCBE=ZFBD+NCS£,即ZABE=ZCBD,

AB=BC

由<NABE=ZCBD可得&ABE=^CBD,故D正确;

BE=BD

由△/BEvaCaD可得，ZAEB=ZCDB,^ZCBE=180°-2x600=60°>

ZGBE=ZHBD

由（BE=BD可得，4BEVAHBD,则有GB=HB,

NGEB=ZHDB

故VBG//为正三角形，则NGHB=60。=NHBD,故GH//AD,即A正确;

如图，分别作BM±AE,BN±CD，垂足分别是M,N,

由上知，AABE=ACBD,板BM=BN,由角平分线的性质定理，可得FB平分NGFH,

故B正确;

对于C项，假设G£=B。，则G£=,故NEG8=NE8G=60°，

而在AZCG中，ZACG=60°,ZCAG<ZCAB=60°,i^ZCGA=ZEGB>60°

产生矛盾，故假设不成立，即C错误.

故选：ABD.

11.如图1,在RtZk/BC中，ZABC=90°,BC=4,动点D从点/开始沿N2边以每秒0.5个单位长度

的速度运动，同时，动点£从点3开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停

止运动，连接。E,F为DE中点"连接NF,CF,设时间为l(s),DE?为y，了关于f的函数图象如图2

所示，则()

图1图2

A.当/=1时，DE=2.5B.AB=2

C.DE有最小值，最小值为2D.4F+C户有最小值，最小值为J记

【答案】BD

【解析】

【分析】设列出y关于f的函数式，结合图2,列方程求出。的值，判断B项，继而代值检验A

项；利用二次函数的图象性质，即可得到£>£的最小值，判断C项；最后通过建系，将4F+CE转化为

9"+4)2+1+4)2+(—16)2],利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.

【详解】设AB=a,则40=0.5t,BD=a-0.5t,BE=0.5/,贝

y=DE~=(a—0.5^)+(0.5^)2=0.5厂—a,+a"(*),

由图2知，函数y=0.5/一a/+/经过点(1,2.5),整理得，a2—«—2=0>解得a=2或a=—1(舍去)，

故B正确；

由B项知，y=0.5r-2^+4,当/=1时，y=0.5-2+4=2.5,即DE?=2,5,故A错误；

对于C,由题意易得，0</W4,由y=0.5/—2/+4=0.5。—2)2+2可得，当，=2时，Jm，n=2,

即QE有最小值，最小值为J5,故C错误；

对于D,如图，以点8为原点，O4OC所在直线分别为MV轴建立直角坐标系.

则/(2,0),。(0,4),。(2—0.57,0),£(0,0.5。，因尸为DE中点，故E(l—

44

于是+CF=J(1+；汀+(；7)2+'(1_；汀+(4—；02

=41"+4)2+产+J(Z-4)2+(-16)2]

结合此式特点，设PX/),"(—4,0),N(4,16)，则AF+CF=-(PM+PN),作出图形如下.

作出点M(-4,0)关于直线了=x的对称点(0,-4),连接M[N，交直线V=x于点P,

则点P即为使PM+PN取得最小值的点.

(理由：可在直线V=x上任取点P。'1),利用对称性特点，即可证明尸〃+尸双〉尸加+年,即得)，

此时(PM+PN)而“=M、N，即AF+CF的最小值为

="+(16+4)2=4A/26726.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是4(1,3),5(—3,4),C(-2,-3),£>(4,3),£(3,-5),从中

任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是.

2

【答案】一##04

5,

【解析】

【分析】利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】五个点中在第一象限的点有/和。两个，

从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第L象限有2种结果,

所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是g.

以生心且2

故答案为：—.

13.在Rt448C中，ZACB=90°,45=6,V45c的周长为14,则N2边上的高为.

71

【答案】一##2—

33

【解析】

【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.

【详解】根据题意可设BC=a,ZC=b,所以8C+ZC+/3=6+a+b=14,

可得。+6=8,

又乙4CB=90。，利用勾股定理可得+4。2=/+62=62；可得/+/=36；

所以=(a+»2—2。6=82-2。6=36,即仍=14；

设A8边上的高为力，由三角形面积可得ab=45・/z=6/z,

147

解得/，=—=—.

63

一,7

故答案为：一

3

14.如图，在矩形纸片45CD中，45=4,AD=6,E为40中点，尸为边CQ上一点，连接所，将

AD£/沿ER翻折，点。的对应点为。辑G为边上一点，连接/G,将A4BG沿/G翻折，点8的对

应点恰好也为则BG=.

【答案】6-2亚

【解析】

【分析】过携作SU_L/。，交2。于S,交BC于U,过E作利用等积法可求。5=迪，

3

再根据RtAD'GU可求BG的长度.

由题设AE=D'E=3,AD'=AB=4,

过拼作SUL4D,交4。于S,交5。于U,过£作瓦7_L4D',

则AH-HD'=2,则EH-,9—4二出,故一ADrxV5=—AExD'S,

22

所以D5=孚，故NS=jl6—?=|，故8U=|,

设BG=x,则OG=x,故值―x[+[—延]=/,

故x=6-2-V5，

故答案为：6—2^5

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.先化简再求值：

(1)求」——三工+的值,其中x=3；

x+1x—2x—4x+4

(2)求—二•Y

y的值，其中一二2

x-yx+yx-yy

【答案】（1）-

2

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入x=3即可求解;

(2)先同分母进行化简并转化一的表达式，进而代入一二2即可求解.

yy

【小问1详解】

xx-1x*23-1_xx-1(x-2)

x+1x-2x2-4x+4x+1x-2+

xx-2

x+1x+1

x—(x—2)

x+1

2

x+1

即x=3代入可得?—='.

3+12

【小问2详解】

x______V=x(x+y)_”x_y)_/

x-vx+yx2-y2(x-y)(x+y)x2-y2

222

x+k一孙+夕—y

%2-y2

X

Vy)

\y）

即一=2代入可得^—=2.

J22-13

16.某超市销售45两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需285兀；购买

2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元.

（1）求A种品牌的牛奶，3种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？

（2）若某公司购买43两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比8种品牌牛奶的数量多6

箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买48两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为

多少元？

【答案】（1）A种品牌的牛奶，3种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.

（2）最小费用为1200-5x15=1125（元），此时购买43两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.

【解析】

【分析】（1）设A种品牌的牛奶，8种品牌的牛奶每箱价格分别是MV元，根据题设列方程组后可求各自

的单价；

（2）购买A品牌的牛奶。箱，则购买总费用0=1200-5。，由题设条件可得。可为13,14,15中的某个数,

故可求最小费用及相应的箱数.

【小问1详解】

设A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是x，V元,

3x+2y=285x=55

则《八一八，故v

2x+5y=410y=60

故A种品牌的牛奶，2种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、607C.

【小问2详解】

设购买A品牌的牛奶。箱，则购买3品牌的牛奶20-。箱,

此时总费用C=55。+60（20-。）=1200-5。,

<7>20-47+6

而《、，故13<a<15,而。为整数，故。可为13,14,15中的某个数，

a<3(20-(7)

故C的最小费用为1200-5x15=1125(元)，

此时购买43两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.

17.如图，在。。中，48是直径，点C是。。上一点，AC=9,5C=3,点E在48上，AE=2BE,

连接CE并延长交。。于点£),连接AF1CD,垂足为尸.

(1)求证：AADF~AABC；

(2)求。R的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)—yJ13

13

【解析】

【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角可判断NNED=NZC8=90°，再利用同弧所对的圆周角相等,

可得NADF=ZABC,从而证明"DF〜AABC；

(2)在RtAylSC中，求出tanAABC=3,AB=3A/10，利用tanNABC=tanZADF=3,设DF=x，

把RtA4D厂的三边表示出来，再利用ACBE〜求出£>E=Wx,最后在中求出x的值，

3

也即是DE的长.

【小问1详解】

•.•48是。。的直径，；.5。_148,

ZAFD=ZACB=90°，

又•：NADF=ZABC,

:A4DF~八ABC.

【小问2详解】

/C9__________

在中，tanZABC=--=-=3,AB+BC?=3如，

nC5

又AE=2BE,则ZE=2而，BE=A，

又ZABC=ZADF,.-.tanZABC=tanZADF=3,

在^i^ADF中，设DF=x,则/尸=3x,故AD=\lAF2+DF2=VlOx

又ZCEB=ZAED,:.ACBE〜"DE,

BCBERn3VlO小八,10

-------，即一,——=-----,解伞于DE——x,

DADEVlOxDE3

107

:.EF=DE-DF=—x-x=-x,

33

在RLAEF中，AF~+EF2=AE-，

即(3X)2+[X]=(2Vio)\解得x

即”=9巫.

13

18.

阅读材料：直线y=Ax+b(左。0)上任意两点N(%2，y2)，芭。、2，线段

•V的中点？(马,%)，尸点坐标及人可用公式：迎=土土，为="5；左="5及

22玉一X?

计算.例如：直线y=2x+l上两点M(l,3),N(3,7),则退=(=2,%=，=5,

即线段ACV的中点尸(2,5),k=~=2.

1-3

已知抛物线y=加/-2加x—3(加＞0),根据以上材料解答下列问题：

~Ox~Ox

图1图2

(1)若该抛物线经过点幺(3,0),求加的值；

(2)在(1)的条件下，B,C为该抛物线上两点，线段8c的中点为。，若点。(2,1),求直线8C的表达

式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线3c的表达式为：y=kx+b,B(xB,yB),C(xc,yc),

则有为=一2蛆8-3①，&=侬3-2mXc-3②.①-②得：

yB-yc="?(芯-x^-2m[xB-xc)=m[xB+xc]^xB-xc)-2m(xB-xc),两边同除以(乙-xc),得

力一九

=k=m+xc)-2m

(3)该抛物线上两点E,F,直线斯的表达式为：j=(5V2-2)mx+n(〃20).

(i).请说明线段斯的中点在一条定直线4上;

(ii).将i中的定直线4绕原点。顺时针旋转45。得到直线当1<X<3时，该抛物线与4只有一个交点，

求/的取值范围.

【答案】(1)m=l

(2)y=2x-3

(3)i.线段M的中点在定直线4：x=±WZ上；ii.掰21或刃=工或0〈加wL

1223

【解析】

【分析】(1)将点坐标代入函数解析式，计算即得加的值；

(2)按照题中的思路先求出左+x0-2,再由线段的中点为。(2,1)求得左的值，利用直线8C经

过点D(2,l)即可求得直线BC的表达式；

(3)(i)由［、=(5£一2)""+"消去y,利用韦达定理即可得到线段环的中点在定直线/：x="l上;

y-mx-2mx-32

(ii)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得，2：y=x-5；根据函数^=鹏2-2加X-3与

—TYI—3<—4

，2：歹=X-5在1<X<3时的图象特点，依题意可得L。C，解之即得.

31Tl—3>—2

【小问1详解】

因y=加工2一2M-3经过点幺(3,0),则9掰—6加一3=0,解得，m=1；

【小问2详解】

22

冽=1时，j?=x-2x-3=(x-l)-4,设直线8C的表达式为：y=kx+b,B(xB,yB),C(xc,yc),

则为=mx；-2mxB-3①，yc=mx^-2mxc-3@.

由①-②：yB-yc=xl-xl-2(XB-xc)=(xB-xc)(xB+xc-2),

两边同除以(乙一％)，则及产=后=%+Xc—2,

XB-XC

因线段8c的中点为。（2,1）,则出+%=2,即左=2x2—2=2,

2

则y=2x+6,将点。（2,1）代入解得，b=—3,故直线3c的表达式为：y=2x-3；

【小问3详解】

⑴由？一（5£一；）加二"消去夕，整理得，mx2-5V2mx-«-3=0>

y=mx-2mx-3

依题意，设£&,%）*（如,»）,EF的中点为

巫,即线段斯的中点在定直线4：X=逑上;

212

x=苧绕原点。顺时针旋转45。得到直线4，则点/（乎,0）转到了点4,

如图，将定直线4：

则OA=OA,=巫，设点4(占，%)，3(%,0)则x=^lCos45°=-,K=--sin45°=--,

12122122

x,=yflOA、=5,

5m+n=0

即呜力m=1_

8(5,0),设，2：y=加X+"，则得，＜55.解得，＜,即得，2：y=%—5；

—m+n=——n=-5

122

因抛物线y=mx2-2mx-3=m(x-I)2-zn-3的对称轴为x=l,

故该函数在l<x<3时，了随着x的增大而增大，且x=l时，y=-m-3,x=3时，y=3m-3,

要使抛物线与l2：y=x-5只有一个交点，可分以下种情况讨论:

一m—3<一4

①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，4c.c，解得加>1；

3加一3〉一2

y=—2x—3

②抛物线顶点在直线上，如上图，即加=1时，由<，解得x=l或x=2,因l<x<3,故

、J=x-5

符合题意;

…y=mx~-2mx-3

③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足l<x<3,如上图，由,

.y=x-5

消去了,nJmx2-(2m+l)x+2=0,由A=(2加+1)?-8加=0解得，m=—,

代入方程可得/一4》+4=0,解得X=2,符合题意;

—fn—3〉一4

④如上图