平面向量及其应用-2025年高考数学一轮复习

专题09平面向量及其应用

品：曰足钙

勿4:匕勿十日

混易错•联券＜4期

易错点1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

点拨：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反

向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。

【典例1］（23-24高三上.全国.专题练习）（多选）下列说法中正确的是（）

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等

易错点2忽视两个向量成为基底的条件

点拨：如果£、B是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量工，有且只有一对实数4,

%,使2=4£+4行。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习

这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

【典例1】（2024.上海浦东新.三模）给定平面上的一组向量1、则以下四组向量中不能构成平面向量的

基底的是（）

A.2,+4和6一4B.6+3弓和弓+3e1

C.3ex-e2和2,-6,D.ex和ex+e2

【典例2］（23-24高三上.福建.阶段练习）（多选）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是

e2=(1,2)G，4=(-2,2)

ex=(1,-2),e2=(3,6)ex=(1,2),弓=(-3,-4)

易错点3错误使用向量平行的等价条件

点拨：对于。=（玉,%）,石=（%2，%），-%乂=0，若是使用1=/■,容易忽略o

%2

这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。

【典例1】（2024•青海海西•模拟预测）已知向量方=（1,-2）,若［〃坂，贝卜=（）

A.-2B.-1C.0D.2

【典例2】（2024•陕西渭南二模）已知向量彼=（2力，则）=2”是“£〃庆’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果

点拨：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的

运算时不可约公因式。

【典例1］（23-24高三上.江苏扬州•阶段练习）（多选）下列关于向量万，b,*的运算，一定成立的有（）

A.^a+b^-c=a-c+b-cB.［a-b^-c=a-{b-c^

C.2•方4同间D.|a-Z?|<|a|+|z?|

【典例2】（2024高三•全国•专题练习）（多选）设很5忑是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命

题中的真命题是（）

A.（方方）不1）5=0B.同一回V忸一同

C.（加）日一（萩）5不与e垂直D.（34+2现31一2万）=9忖12T5|2

易错点5确定向量夹角时忽略向量的方向

点拨：错误理解向量的夹角，在使用a4=|acos<a,B>求解时，特别注意要共起点才能

找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。

【典例1］（23-24高三下•河北沧州•期中）己知AABC是边长为4的正三角形，则荏.而=（）

A.8B.8A/3C.-8D.-8有

易错点6忽视两向量夹角<£,石〉的取值范围

点拨：向量的夹角范围是从［0,解题时易忽略夹角为o和夹角为万的情况。

【典例1］（23-24高三上.山东聊城・期末）已知向量Z=（3t+1,2）,5=（1,r）,若々与B所成的角为钝角，则实

数才的取值范围：.

【典例2】（23-24高三上.全国.专题练习）已知；，］为互相垂直的单位向量，a=l-2j,为，且Z与

办的夹角为锐角，则实数4的取值范围为.

专题09平面向量及其应用

品：曰足钙

勿4:匕勿十日

混笏错・睢掾吊螃

易错点1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

点拨：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反

向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。

【典例1］（23-24高三上.全国.专题练习）（多选）下列说法中正确的是（）

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】ACD

【解析】对于A,零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；

对于B,根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误;

对于C,根据单位向量的定义，可知C项正确；

对于D,方向相同且模相等的两个向量相等，

因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确.故选：ACD.

易错点2忽视两个向量成为基底的条件

点拨：如果£、B是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量工有且只有一对实数4,

%，使2=4£+4后。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习

这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

【典例1】（2024.上海浦东新.三模）给定平面上的一组向量［、工,则以下四组向量中不能构成平面向量的

基底的是（）

A.2q+%和q-e?B.q+3%和62+3。

C.3q-e2和2e2-6qD.q和q+e2

【答案】C

【解析】对A：不存在实数2,使得2「+最=2何-可，故省+晟和1一互不共线，可作基底；

对B：不存在实数为，使得4+3最=/1（£+3冢），故1+3/和£+3冢不共线，可作基底；

对C：对-晟和2最-6冢，因为一，1是不共线的两个非零向量，

且存在实数-2,使得261=-2(31-项，故3冢-区和2/-61共线，不可作基底;

对D：不存在实数2,使得印=4任+可，故]和1+公不共线，可作基底.故选：C.

【典例2](23-24高三上•福建.阶段练习)(多选)下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是

()

A.ex=(1,1),e2=(1,2)B.ex=(-1,1),e2=(-2,2)

C.q=(l,-2),e2=(3,6)D.q=(l,2),-(-3,-4)

【答案】ACD

【解析】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，

111-212

1236-3-4

则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中1=(-2,2)=2冢，则B错误.故选：ACD

易错点3错误使用向量平行的等价条件

1

点拨：对于£=(%1，X),石=(%2，%)，a//b<^xiy2-x2yx=0,若是使用o—=2■,容易忽略0

一一一一x?%

这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。

【典例1】(2024.青海海西.模拟预测)已知向量商=。,一2),5=(/,1-/),若£〃石，则公()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【解析】若有=解得f=-l.故选：B.

【典例2】(2024•陕西渭南•二模)已知向量£=”3,-1),6=(2"),则)=2”是“£〃斤’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若则f(—3)_(-l)x2=0,解得f=l或2,

故“f=2”是“£〃斤’的充分不必要条件.故选：A

易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果

点拨：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的

运算时不可约公因式。

【典例1］（23-24高三上•江苏扬州•阶段练习）（多选）下列关于向量万，b,工的运算，一定成立的有（）

A.^a+b^-c=a-c+b-cB.（a-b^-c=a-^b-c^

C.无54同佃D.|a-&|<|«|+|&|

【答案】AC

【解析】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；

B：（无到1与e共线，无值句与「共线，而5与e不一定共线，

所以（无5）七=无（彳"不一定成立，因此本选项不一定成立；

C：无5=同［4《«@5〉w同.忖，所以本选项一定成立；

D：当方=6时，,-5卜同+问，所以本选项不一定成立，故选：AC

【典例2】（2024高三.全国.专题练习）（多选）设很反^是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命

题中的真命题是（）

A.（a-b^c-（c-d）b=0

B.|a|-|5|<|a-^|

C.（5年）江一（万专）5不与0垂直

D.（3万+21）彳3万-2石）=9|万『

【答案】BD

【解析】由于反季是不共线的向量，因此,石,-伍0）5的结果应为向量，故A错误；

由于为B不共线，故口及乙-5构成三角形，因此B正确；

由于［阿斤（利方”=（时（万可祠阿）=0,故C中两向量垂直,故c错误；

根据向量数量积的运算可以得（34+2现3"25）=9K|2-4时，故D是正确的.故选：BD.

易错点5确定向量夹角时忽略向量的方向

点拨：错误理解向量的夹角，在使用〃％=|〃||6|©05<〃,后>求解时，特别注意要共起点才能

找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。

【典例1］（23-24高三下•河北沧州•期中）已知AABC是边长为4的正三角形，则而.而=（）

A.8B.C.—8D.—8y/3

【答案】C

【解析】正融C的边长为4,贝UAB•BC=|A8||JBC|cos（兀-§）=42x（_5）=-8.故选：C

易错点6忽视两向量夹角<4出〉的取值范围

点拨：向量的夹角范围是从［0,解题时易忽略夹角为o和夹角为万的情况。

【典例1］（23-24高三上•山东聊城・期末）已知向量Z=（3/+l,2）,g=（lj）,若Z与5所成的角为钝角，则实

数I的取值范围：.

【答案】（一00，-1）。（一1，-'1|

【解析】Z与另所成的角为钝角即且Z与B不平行，