2025届四川凉山州高一上数学期末教学质量检测试题含解析

2025届四川凉山州高一上数学期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”甲同学解答过程如下：解：由，得.因为，所以.所以.乙同学解答过程如下：解：因为，所以.则在上述两种解答过程中（）A.甲同学解答正确，乙同学解答不正确 B.乙同学解答正确，甲同学解答不正确C.甲、乙两同学解答都正确 D.甲、乙两同学解答都不正确2．定义运算，若函数，则的值域是（）A. B.C. D.3．已知正方体，则异面直线与所成的角的余弦值为A. B.C. D.4．函数与则函数所有零点的和为A.0 B.2C.4 D.85．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（）A. B.C. D.6．设函数在区间上为偶函数，则的值为（）A.-1 B.1C.2 D.37．在空间直角坐标系中，一个三棱锥的顶点坐标分别是，，，.则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.28．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知，则（）A. B.C. D.的取值范围是10．若，，，则A B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知在上是增函数，则的取值范围是___________.12．命题“”的否定为___________.13．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是______14．函数=(其中且)的图象恒过定点,且点在幂函数的图象上,则=______.15．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围_______.16．已知函数有两个零点，则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为.（1）求函数的解析式，并求；（2）若，求的值.18．已知函数，，设（其中表示中的较小者）.（1）在坐标系中画出函数的图像；（2）设函数的最大值为，试判断与1的大小关系，并说明理由.（参考数据：，，）19．某市3000名市民参加“美丽城市我建设”相关知识初赛，成绩统计如图所示（1）求a的值；（2）估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在上的人数；（3）若本次初赛成绩前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数线应当如何制定（结果保留两位小数）20．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).（1）若满足性质P(2)，且，求的值；（2）若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；（3）若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.21．函数.（1）求，；（2）求函数在上的最大值与最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.【详解】解：对于甲同学，由，得，因为因为，所以，所以，故甲同学解答过程错误；对于乙同学，因为，所以，故乙同学解答过程错误.故选：D.2、C【解析】由定义可得，结合指数函数性质即可求出.【详解】由定义可得，当时，，则，当时，，则，综上，的值域是.故选：C.3、A【解析】将平移到,则异面直线与所成的角等于,连接在根据余弦定理易得【详解】设正方体边长为1，将平移到,则异面直线与所成的角等于，连接．则，所以为等边三角形，所以故选A【点睛】此题考查立体几何正方体异面直线问题，异面直线求夹角，将其中一条直线平移到与另外一条直线相交形成的夹角即为异面直线夹角，属于简单题目4、C【解析】分析：分别作与图像，根据图像以及对称轴确定零点以及零点的和.详解：分别作与图像，如图，则所有零点的和为,选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等5、C【解析】根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过，.故选：.6、B【解析】由区间的对称性得到，解出b；利用偶函数，得到，解出a，即可求出.【详解】因为函数在区间上为偶函数，所以，解得又为偶函数，所以，即，解得：a=-1.所以.故选：B7、A【解析】由题,在空间直角坐标系中找到对应的点,进而求解即可【详解】由题,如图所示,则,故选:A【点睛】本题考查三棱锥的体积,考查空间直角坐标系的应用8、D【解析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为，设时，的值域为，则由的值域为R可得，∴，解得，即故选：D9、B【解析】取判断A；由不等式的性质判断BC；由基本不等式判断D.【详解】当时，不成立，A错误．因为，所以，，B正确，C错误．当，时，，当且仅当时，等号成立，而，D错误故选：B10、B【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即可得结果.【详解】根据指数函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得,则，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】将整理分段函数形式,由在上单调递增,进而可得,即可求解【详解】由题,,显然,在时,单调递增,因为在上单调递增,所以,即,故答案为:【点睛】本题考查已知函数单调性求参数,考查分段函数,考查一次函数的单调性的应用12、【解析】根据特称命题的否定为全称命题求解.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以“”的否定为“”，故答案：.13、【解析】按的取值范围分类讨论.【详解】当时，定义域，，满足要求；当时，定义域，取，，时，，不满足要求；当时，定义域，，，满足要求；当时，定义域，取，，时，，不满足要求；综上：故答案为：【点睛】关键点睛：由参数变化引起的分类讨论，可根据题设按参数在不同区间，对应函数的变化，找到参数的取值范围.14、9【解析】由题意知,当时,.即函数=的图象恒过定点.而在幂函数的图象上,所以,解得,即,所以=9.15、【解析】由对数真数大于零可知在上恒成立，利用分离变量的方法可求得，此时结合复合函数单调性的判断可知在上单调递增，由此可确定的取值范围.【详解】由题意知：在上恒成立，在上恒成立，在上单调递减，，；当时，单调递增，又此时在上单调递增，在上单调递增，满足题意；实数的取值范围为.故答案为：.16、2【解析】根据函数零点的定义可得，进而有，整理计算即可得出结果.【详解】因为函数又两个零点，所以，即，得，即，所以.故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】（1）由三角函数的定义得到，进而代入计算；（2）由已知得，将所求利用诱导公式转化即得.【详解】解：（1）因为，所以，由三角函数定义，得.所以.（2）因为，所以，所以.【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想.已知求时要将已知中角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.18、（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据（其中表示中的较小者），即可画出函数的图像；（2）由题意可知，为函数与图像交点的横坐标，即，设，根据零点存在定理及函数在上单调递增，且为连续曲线，可得有唯一零点，再由函数在上单调递减，即可得证.试题解析：（1）作出函数的图像如下：（2）由题意可知，为函数与图像交点的横坐标，且，∴.设，易知即为函数零点，∵，，∴，又∵函数在上单调递增，且为连续曲线，∴有唯一零点∵函数在上单调递减，∴，即.19、（1）；（2）1950；（3）进入复赛市民的分数应当大于或等于77.14.【解析】（1）根据频率之和为，结合频率分布直方图即可求得；（2）根据（1）中所求，求得成绩在的频率，根据频数计算公式即可求得结果；（3）根据频率分布直方图中位数的求解，结合已知数据，即可求得结果.【小问1详解】依题意，，故.【小问2详解】成绩在[70,90)上的频率为，所以，所求人数为3000×0.65=1950.【小问3详解】依题意，本次初赛成绩前1500名参加复赛，即求该组数据的中位数，因为≈77.14所以，进入复赛市民的分数应当大于或等于77.14.20、（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.【小问1详解】因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.又因为，所以，，由可得，所以，；【小问2详解】若正数满足，等价于，记，显然，，因为，所以，，即.因为的图像连续不断，所以存，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.【小问3详解】若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，若，则由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，综上，函数存在零点.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样