2025届广西柳州市融水苗族自治县中学高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2025届广西柳州市融水苗族自治县中学高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-22．已知的面积是,,,则（）A．5 B．或1 C．5或1 D．3．若，则的虚部是A．3 B． C． D．4．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）A． B． C． D．5．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．6．已知若（1-ai）(3+2i)为纯虚数，则a的值为（）A． B． C． D．7．为虚数单位,则的虚部为（）A． B． C． D．8．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣129．等比数列中，，则与的等比中项是（）A．±4 B．4 C． D．10．是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（）A．56 B．72 C．88 D．4012．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为______.14．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.15．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．16．棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角，，的对边分别为，其中，.（1）求角的值；（2）若，，为边上的任意一点，求的最小值.18．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；（2）将表示为的函数；（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.19．（12分）设，，，.（1）若的最小值为4，求的值；（2）若，证明：或.20．（12分）在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.21．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.（1）求线段的长；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.【详解】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.2、B【解析】∵，,∴①若为钝角，则，由余弦定理得，解得；②若为锐角，则，同理得.故选B.3、B【解析】

因为，所以的虚部是.故选B．4、B【解析】

先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【详解】由，所以其共轭复数.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.5、D【解析】

由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共轭复数=-1+，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．6、A【解析】

根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为，该复数为纯虚数，所以.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.7、C【解析】

利用复数的运算法则计算即可.【详解】，故虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.8、D【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.【详解】设，联立则，因为直线经过C的焦点，所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。9、A【解析】

利用等比数列的性质可得，即可得出．【详解】设与的等比中项是．

由等比数列的性质可得，．

∴与的等比中项

故选A．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．10、B【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】所以（逆否命题）必要性成立当，不充分故是必要不充分条件，答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.11、B【解析】

，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.12、A【解析】

由的解集，可知及，进而可求出方程的解，从而可求出的解集.【详解】由的解集为，可知且，令，解得，，因为，所以的解集为，故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令，，所以，又，所求切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.14、1【解析】

由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15、【解析】

设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程【详解】设直线．由题设得，故，由题设可得．

由可得，

则，从而，得，所以l的方程为,故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.16、【解析】

由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径．【详解】由题意可知：多面体的外接球即正四面体的外接球作面交于，连接，如图则，且为外接球的直径，可得，设三角形的外接圆的半径为，则，解得，设外接球的半径为，则可得，即，解得，设正三棱锥的高为，因为，所以，所以，而，所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，所以，设内切球的半径为，，即解得：．故答案为：.【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；（2）在中，由余弦定理得，在中结合正弦定理求出，从而得出，即可得出的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出的最小值.【详解】（1），，由题知，，则，则，，；（2）在中，由余弦定理得，，设，其中.在中，，，，，所以，，所以的几何意义为两点连线斜率的相反数，数形结合可得，故的最小值为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.18、（1），众数为150；（2）；（3）【解析】

（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，，当时，，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．【详解】（1）由直方图可估计需求量的众数为150，由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：∴估计需求量的平均数为：（2）当时，当时，∴（3）由（2）知当时，当时，得∴开学季利润不少于4800元的需求量为由频率分布直方图可所求概率【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．19、（1）2；（2）见解析【解析】

（1）将化简为，再利用基本不等式即可求出最小值为4，便可得出的值；（2）根据，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范围.【详解】解：（1）由题可知，，，，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，即：或.【点睛】本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）消去参数方程中的参数，求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得的直角坐标方程.（2）求得曲线的标准参数方程，代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得的值.【详解】（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得，由曲线的极坐标方程为，得，所以的直角坐方程为，即.（2）因为在曲线上，故可设曲线的参数方程为（为参数），代入化简可得.设，对应的参数分别为，，则，，所以.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.21、（1）（2）【解析】

（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）由题意，，设与交于点，在中，可求得，则，可求得，则（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系.，，，，，易得平面的法向量为.，，易得平面的法向量为.设二面角为，由图可知为锐角，所以.即二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22、（1）；（2）详见解析.【解析】

（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，