2025年高考数学一轮复习：空间角的计算

6.3.3空间角的计算

【学习目标】1.会用向量法求线线角、线面角、二面角2能正确区分向量夹角与所求线线角、

线面角的关系3能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系.

【导语】

地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）为

23。26'.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9。以内的区域称为黄

道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄

道十二宫”.从春分（节气）点起，每30。便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子

座等等，这便是星座的由来.

春至日（3月21日前后）

（6月22日前后）

冬至日

（12月22H前后）

哈日（9月23日前后）

过匕极星

一、两条异面直线所成的角

佚口识梳理】

⑴设两条异面直线所成的角为0,它们的方向向量为a,b,则cos0=|cos〈a,方〉尸蹩

（2）两条异面直线所成角的范围是I'2」.

注意点：

f0E

两条异面直线所成角的范围是〔’2」，两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或

互补的关系.

例1如图所示，在三棱柱/8C—481cl中，底面/8C,AB=BC=AA\,ZABC=90°,

点£,尸分别是棱的中点，试求直线昉和3G所成的角.

B

解分别以直线24,BC,BBi为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

,0,

设/2=1,贝I2(0,0,0),

/8a3,*0,1,1),

所以砺」—5'0,2),

比1=(0,1,1).

--1

于是cos(BC1,EF)=B：f=1—=1,

g|即迫x/2

所以直线即和BCi所成角的大小为60°.

反思感悟运用向量法常有两种途径

(1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式cos〈a,

b)=""求向量a,8的夹角时，关键是求出“山及同与步一般是把a,8用基向量表示出

同向

来，再求有关的量.

(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求

线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单.

跟踪训练1已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是的的

中点，则SO所成的角的余弦值为()

也贵

A.-B.C.D

333t

答案C

解连接NC,8。交于点。，以。为坐标原点，分别以08,OC,OS所在直线为x轴，y

轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，设四棱锥S—N5co的棱长为/，则N(0,-1,0),

5(1,0,0),5(0,0,1),£>(-1,0,0),点的坐标为

蕉1=(?L力，50=(-1,0,-1),

一一成前-1电

cos〈AE,SD)==°二=—,

通的侦3

故异面直线/£,SD所成角的余弦值为g.

二、直线与平面所成的角

问题直线的方向向量与平面的法向量所成的角是否是直线与平面所成的角？

提示不是.

【知识梳理】

设直线AB与平面Q所成的角为仇

A

g/fn

/azBijCy/

直线45的方向向量为e,平面a的法向量为小则sin6=|cos〈e,n)|=也川.

同同

注意点：

⑴直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.

(2)线面角的范围为“，

(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.

例2如图所示，在三棱锥尸一/8C中，B4_L平面NBC,ABLAC,PA=AC=~AB,N为AB

2

上一点，AB=4AN,M,S分别为尸2,3c的中点.

(1)证明：CMLSN-,

⑵求SN与平面CW所成角的大小.

⑴证明设刃=1,以N为原点，射线N5,AC,/尸分别为x轴，f轴，z轴正方向建立空

间直角坐标系(如图).

则尸(0,0,1),C(0,l,0),5(2,0,0),

又AN=UB,M,S分别为PB,3c的中点,

4

.••出0‘01m°,3人?q,

CM=

所前1f034°]=0,

ACM.LSN,：.CMLSN.

⑵解由⑴知，成;」一a,1,°],

一口，-1，。〕

SN=l22J,

设〃=(x,J,z)为平面CA/N的一个法向量,

CMa=0,NC〃=0.

,1

%—j+-z=0A,

hc=2y,

则1,

—^>c+y=OA.-2y.

取y=l,得@=(2,1,—2).

设SN与平面CMN所成的角为仇

一\a-SN\I2lS

Vsin6»=|cos〈4,SN〉1==1T=—

同的3d2

"N与平面CW所成角的大小为:.

反思感悟若直线/与平面a的夹角为仇利用法向量计算。的步骤如下:

跟踪训练2如图，在直三棱柱48C—N山Ci中，AB=AC=AAi=2,ZBAC=90°,E,尸依

次为GC,的中点.求48与平面所成角的正弦值.

解以N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),4(0,0,2),5(2,0,0),£(0,2,1),尸(1,1,0),

所以府=(2,0,-2),

崩=(0,2,1),崩=(1,1,0).

设平面AEF的一个法向量为

〃=(q,b,C)9

nAE=0,

由.f

nAF=0,

[2b+c=09

得.

a+b=0,

令。=1可得〃=(1,-1,2).

设与平面/斯所成的角为仇

所以sind=|cos(n,A]B)尸

|«||ZS|6

即48与平面N£F所成角的正弦值为也.

6

三、二面角

【知识梳理】

将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角，如图，向量m_La,"2_L£,则二面角a一/

一£的大小为〈"1,“2〉或兀一〈"1,"2〉，若二面角a—/一/的大小为O(OWOWTI),贝！J|COS例=!"：叫.

注意点：

(1)求二面角问题转化为两个平面法向量的夹角问题.

(2)二面角的范围是［0,兀］.

例3如图，四棱柱的所有棱长都相等，ACDBD=O,AiCiHBiDi=Oi,

四边形ACCiAi和四边形BDDiBi均为矩形.

(1)证明：OiO_L平面/BCD；

(2)若NC8/=60。，求二面角G—O81一。的余弦值.

⑴证明因为四边形/CCM1和四边形均为矩形，所以CC1_L4C,DDiLBD,

又CCi〃DDi〃OOi,所以OOi_L4C,OOi±BD,

因为/CAAD=。，AC,ADU平面4BCD,

所以OiO_L平面/BCD

(2)解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形/2C。为菱形，ACLBD,又。1。,平面

ABCD,所以03,OC,。。1两两垂直.

如图，以。为原点，OB,OC,05所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

设棱长为2,因为NCA4=60。，所以05=3,OC=1,

所以0(0,0,0),B花,0,2),C1(O,1,2),

平面BDDiBi的一个法向量为“=(0,1,0),

设平面0C151的法向量为胆=(x,y,z),

由桃_LO5i,m.LOC\,得3%+2z=0,y+2z=0,

取z=一3，则x=2,j=2^3,所以胆=(2,2^3,—3),

所以cos(m,n)

Mil川V1919.

因为二面角Ci—。囱一。为锐二面角，

所以二面角CT—OBI—D的余弦值为“历.

19

反思感悟利用向量法求二面角的步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量.

(3)求两个法向量的夹角.

(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角.

(5)确定二面角的大小.

跟踪训练3如图，在四棱锥尸一/3。中，AB//CD,且尸=90。.

(1)证明：平面刃3_L平面出D；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角N一尸3—C的余弦值.

(1)证明由已知/B/P=/CDP=90°,

ABLAP,CDLPD.因为AB〃CD,所以

又APCPD=P,AP,PDU平面EID,

所以N5_L平面为D

因为4BU平面243,所以平面B1B_L平面F4D

(2)解在平面为。内作PF±AD,垂足为点F.

由(1)可知，4B_L平面EID,PFU平面B4D,

故ABLPF,

又4DC4B=4,AD,A8U平面N3CD,

可得尸尸，平面/BCD

以尸为坐标原点，荡的方向为x轴正方向,

|而|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F—xyz.

由⑴及已知可得总°,°,Fl昼L。),

；1，0

,所以尸c=

佻0

CB=(^2,0,0),PA=V2''2J,寿=(0,1,0).

设九=(%1,y\,zi)是平面尸C5的一个法向量,

72.72_八

n-PC=0,x\-ry\-----zi=0,

则，一即,22

nd=0,一.

所以可取〃=(0,—1,一啦).

设桃=(X2,y2,Z2)是平面的一个法向量,

7272_八

mPA=0,X2Z2—0,

则，_即,22

mAB=0,

所以可取胆=(1,0,1),

因为二面角4一尸5—C为钝二面角，

所以二面角z一四一c的余弦值为一处.

3

■课堂小结

1.知识清单：

(1)异面直线所成的角.

⑵直线与平面所成的角.

(3)二面角.

2.方法归纳：转化与化归.

3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间

角的范围.

N随堂演练

1.已知向量帆，〃分别是直线/的方向向量和平面。的法向量，若cos〈m,n)贝！j/

2

与。所成的角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

答案A

解析设/与Q所成的角为。且0。忘。忘90。，贝U

sin(9=|cos{m,n)|=K.*.<9=30°.

2

2.(多选)已知二面角a—/一£的两个半平面a与6的法向量分别为a,b,若〈mb)=:,则二

面角。一/一夕的大小可能为()

A兀T_42兀兀c5兀

A-B.——C-D.——

3366

答案AB

解析由于二面角的范围是［0,兀］,而二面角的两个半平面a与£的法向量都有两个方向，因

此二面角a—/—/的大小为;或g,故选AB.

3.已知在棱长为2的正方体/BCD—//iGA中，E是。。的中点，建立如图所示的空间直

角坐标系，则与Ed所成角的余弦值为()

答案A

解析因为/(2,2,0),51(2,0,2),£(0,1,0),

。1(0,2,2),

所以石1=(0,—2,2),由尸(0,1,2),

所以|成1|=2也,扇尸弱,

旃•历=0—2+4=2,

——AB\-ED\2\F\C\

所以cos(ABi,EDi)二f一=「「="

\AB^EDi\2也XA/510

所以Na与EDi所成角的余弦值为巫.

10

4.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3).(2,2,4),则

这个二面角的余弦值为_______.

答案I

6

解析设〃=(0,T,3),b=(2,2,4),

而/L\a.b10V15

则cos\a,b)-------j=-.......,

\a\\b\A/IOXA/246

又因为两向量的夹角与二面角相等或互补,

所以这个二面角的余弦值为士up.

6

课时对点练

L基础巩固

I.若异面直线/1的方向向量与/2的方向向量的夹角为150。，则/1与/2所成的角为（）

A兀C5兀

A-B.——

66

C.匹或池D.以上均不对

66

答案A

f0三

解析/i与/2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为I'2」,

故选A.

2.若二面角a—/一£的大小为120°,则平面a与平面”的法向量的夹角为（）

A.120°B.60°

C.120。或60°D.30°或150°

答案C

解析二面角为120。时，其法向量的夹角可能是60。，也可能是120。.

3.如图，在三棱柱/2C—43cl中，C4=CG=2C2,则直线3cl与直线/历夹角的余弦值

为（）

A.—B.—

53

答案A

解析不妨设C4=CG=2CB=2,

则获1=(—2,2,1),05=(0,-2,1),

所以cos

血||丽

=(-2)X0+2X(—2)+lXl=

\{9X\l55'

因为直线3cl与直线NA的夹角为锐角,

所以所求角的余弦值为1.

4.在正四棱柱/2。一/131GA中，&B=2,BBi=4,则2囱与平面/CA所成角的正弦值

为()

答案A

解析如图所示，建立空间直角坐标系.

则£>(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,4),5(2,2,0),5(2,2,4),病=(—2,2,0),石尸(一2,0,4),

丽=(0,0,4).

设平面4cz的法向量为“=(%,y,z),

nAC=0,

则._

nAD\=09

一2x+2y=0,

解得

.—2x+4z=0,

取尸(2,2,1),

设BBi与平面ACD、所成的角为仇

|力5砌41

则sin9=|cos〈n,BB、)1\n\\BBi\3X43

5.在正方体/2。一/山CiDi中，M,N分别为/£>,QA的中点，。为侧面BCGS的中

心，则异面直线MN与0A所成角的余弦值为()

A-6B-z

C-4D--4

答案A

解析如图，以。为坐标原点，分别以DC,所在直线为x,y,z轴建立空间直角

坐标系.设正方体的棱长为2,则地1,0,0),N(0,l,2),0(1,2,1),A(0,0,2),

4

A

z

.\7W=(-1,1,2),曲=(一1,-2,1).

一MN-ODi11

则cos〈MN,OD[)==1一『=工

\MN]\ODi\6

...异面直线VN与。。所成角的余弦值为1,故选A.

6

6.正三棱柱HBC—AiBiCi的所有棱长都相等，则ACy与平面BBCC所成角的余弦值为()

答案A

解析设三棱柱的棱长为1,以8为原点建立空间直角坐标系，如图，则

则就1=匕一‘2'J易知平面881cle的一个法向量”=(1,0,0),设/G与平面881cle所

成的角为。,

—>.1"*\/A

贝Usin9=|cos(n,ACi)==—,

\AC^n\4

所以cos9=AJ1—sin20=

7.在正四棱柱/BCD—/©Cid中，AAi=2AB,则直线C£＞与平面BOG所成角的正弦值等

于.

答案I

3

解析以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设441=2/8=2,

则。(0,0,0),C(0,l,0),

5(1,1,0),G(0,l,2),

则比=(0,1,0),55=(1,1,0),虎1=(0,1,2).设平面3OG的法向量为"=(X,y,z),

贝In±DB,n±DCi,

所以产“

y+2z—0,

令y=-2,得平面的一个法向量为〃=(2,-2,1).

设直线CD与平面BOG所成的角为仇

一|力。。|2

则sin9=|cos〈n,DC〉1=_=一

\n\\DC\3

8.如图所示，在直三棱柱A8C—4SCi中，4A尸BC=AB=2,ABLBC,则二面角氏一4C

-Ci的大小为.

答案：

解析如图所示，建立空间直角坐标系,

z，

Cy

则由题意可知3(0,0,0),C(0,2,0),

4(2,0,2),5i(0,0,2),

设/C的中点为连接的S,

贝11BMLAC,

又由题意知的W_LCG,

X^cncci=c,

所以平面4GC,

即由/=(1,1,0)是平面AiCiC的一个法向量.

设平面4B1C的法向量是〃=(x,y,z).

AiC=(—2,2,—2),4_Bi=(—2,0,0),

nAiBi=-2x=0,

所以,_

n-A\C——2x+2y—2z—0,

令z=l,可得“=(0,1,1).

设法向量〃与的夹角为9，二面角囱一〃C—Ci的大小为。，显然。为锐角.

所以cosd=|cos"尸一==解得。=四，

\n\\BM\23

所以二面角B\—A\C-C\的大小为三.

3

9.如图，直四棱柱的底面/BCD为平行四边形，其中48=也，BD=BC

=1,44i=2,£为DC的中点，尸是棱。A上的动点.

(1)求异面直线4D1与BE所成角的正切值；

⑵当。尸为何值时，斯与3G所成的角为90。？

解由可知8£(_L8C,分别以5C,BD,8S所在直线为x轴、y轴、z轴建

立空间直角坐标系，如图，则8(0,0,0),^(-1,1,0),7)(0,1,0),Di(0,1,2),C(1,0,0),Ci(l,0,2),

Rr°].

n1

⑴因为NDi=(l,0,2),BE=t2'2

|皿||即/义迫

所以sin(疝i,港)3A/10^

10

所以tan(ADi,BE)=3,

即ADy与BE所成角的正切值为3.

⑵设尸(0,1,q),则而」一5'?J.

又病1=(1,0,2),

L一f-111

由2ci=l2jX]+0X|+^-2=0,

得"=1，即。尸=1时，EFLBCx.

44

10.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形/BCD(及其内部)以48边所在直线为旋转轴旋

转120。得到的，G是。尸的中点.

⑴设尸是CE上的一点，5.APLBE,求NCAP的大小；

(2)当/2=3,40=2时，求二面角Ei/G—C的大小.

解(1)因为4P_LBE,ABLBE,AB,4PU平面4BP,ABC4P=4,所以5£_L平面48P.又

3PU平面4RP,所以3£_LAP,即NEAP=90°,又NEBC=120°,

所以/CAP=30°.

(2)以8为坐标原点，分别以BE,BP,8/所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系.

由题意得4(0,0,3),£(2,0,0),6(1,^3,3),C(—1,3,0),

故荔=(2,0,-3),就=(1,加，0),CG=(2,0,3).

设相=(X1,yi,Z1)是平面/EG的一个法向量，

—►

,m-AE=0,[2xi-3zi=0,

由‘可得•「

mAG^O,Ui+Wi=0.

取zi=2,可得平面/EG的一个法向量胆=(3,一3，2).

设"=(X2,>2,Z2)是平面/CG的一个法向量，

n-AG=0,^+^2=0,

由,可得,_

nCG=0,l2x2+3z2=0.

取Z2=-2,

可得平面ZCG的一个法向量〃=(3,—/，-2).

所以cos(m,n)=mn--

\m\\n\2

因为二面角E—AG—C为锐二面角，

故所求二面角E-AG-C的大小为60°.

L综合运用

11.如图所示，已知两个正四棱锥尸一48CD与。一/BCD的高分别为1和2,AB=4,则异面

直线/。与所成角的余弦值为()

答案C

解析由题设知，四边形ABCD是正方形，连接NC,BD,交于点。，则/CL3D连接P。,

则尸。过点O.

由正四棱锥的性质知，尸。，平面A8CD,故以。为原点，以C4,DB,0尸所在直线分别为

x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,1),4(2/,0,0),2(0,0,-2),3(0,2也0),

.•.而=(-2也0,-2),两=(0,2也，-1).

,，一一通而电

则cos〈AQ,PB)==1,

~命I两9

异面直线AQ与PB所成角的余弦值为

12.(多选)将正方形沿对角线3。折成直二面角，下列结论正确的是()

A.ACLBD

B.AB,CD所成角为匹

3

C.△/DC为等边三角形

D.N3与平面BCD所成角为60°

答案ABC

解析如图，取8。的中点O,连接NO,CO,

易知8£>_L平面/OC,故

如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为°,

由两向量夹角公式得cos(CD,AB)=—1,

2

故两异面直线所成的角”

在RtZ\/OC中，由/O=CO="aAOLCO,

2

所以故△4DC为等边三角形.

易知NABO即为直线AB与平面BCD所成的角,

可求得//80=45。，故D错.

13.如图，正三角形/2C与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面48。所成

角的正弦值为.

A

D

套案

口5

解析如图，取8C的中点。，连接/O,DO,建立如图所示的空间直角坐标系.

设3c=1,则小"T],

JVq,a%。1

°•°],

所以茂?f],防=停

:°)

设平面45。的一个法向量为〃=(x,y9z),

2=。,

"BA=O,2

则‘一所以

nBD=O,乌+多=0.

取X=l,则＞=一加，Z=l,所以〃=(1,—3,1),

所以cos(n,CD)=亚^,

因此直线CD与平面所成角的正弦值为学.

14.如图所示，在菱形4BCD中，ZABC^—,线段4D,3。的中点分别为E,F.现将△/AD

3

沿对角线AD翻折，当二面角N—5D—C的余弦值为1时，异面直线与CF所成角的正弦

3

值是.

解析如图所示，过点£作交BD于H点、,设异面直线BE与CF所成的角为仇

则。G

E

记二面角A—BD—C的大小为明

CF-B