2025届昆明市重点中学数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2025届昆明市重点中学数学高二上期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在区间上随机取一个数，则事件“曲线表示圆”的概率为（）A. B.C. D.2．过点且平行于直线的直线的方程为（）A. B.C. D.3．已知角的终边经过点，则，的值分别为A.， B.，C.， D.，4．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是A.0 B.1C.2 D.36．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定7．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）A. B.C. D.8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的可能为（）A.9 B.5C.4 D.39．离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是A. B.或C. D.或10．如图，平行六面体中，与的交点为，设，则选项中与向量相等的是（）A. B.C. D.11．经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程为（）A. B.C. D.12．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线l过点P(1，3)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________.14．在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________.15．函数在处的切线方程是_________16．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线m，n，直线m与椭圆交于A，B两点，直线n与椭圆交于C，D两点，若．则下列方程①；②；③；④．其中可以作为直线AB的方程的是______（写出所有正确答案的序号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某班主任对全班名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游不喜欢手机网游总数（1）若随机地抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（2）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生．现要从这名学生中任取名学生了解情况，求其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直线PA与CD所成角为60°.（1）求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）已知数列的前项和满足（1）证明：数列为等比数列；（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.21．（12分）若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界.（1）设，，试判断A、B是否为有界集合，并说明理由；（2）已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值.22．（10分）已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直线l的一般式方程；（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先求出曲线表示圆参数的范围，再由几何概率可得答案.【详解】由可得曲线表示圆，则解得或又所以曲线表示圆的概率为故选：D2、B【解析】根据平行设直线方程，代入点计算得到答案.【详解】设直线方程为，将点代入直线方程得到，解得.故直线方程为：.故选：B.3、C【解析】利用任意角的三角函数的定义：，，，代入计算即可得到答案【详解】由于角的终边经过点，则,，（为坐标原点），所以由任意角的三角函数的定义：，.故答案选C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用，属于基础题4、A【解析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.【详解】任取，，即函数在上单调递减，若，使得，则即故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于(2)，，不等式恒成立等价于(3)，，使得成立等价于(4)，，使得成立等价于5、B【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；故答案为B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假6、C【解析】由正弦定理得出，再由余弦定理得出，从而判断为钝角得出的形状.【详解】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形.故选：C7、B【解析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果【详解】∵等差数列中，，∴，即．又，∴的前项和的最小值为故选：B8、D【解析】根据输出结果可得输出时，结合执行逻辑确定输入k的可能值，即可知答案.【详解】由，得，则输人的可能为.∴结合选项知：D符合要求.故选：D.9、B【解析】试题解析：当焦点在x轴上：当焦点在y轴上：考点：本题考查椭圆的标准方程点评：解决本题的关键是焦点位置不同方程不同10、B【解析】利用空间向量加减法、数乘的几何意义，结合几何体有，进而可知与向量相等的表达式.【详解】连接，如下图示：，.故选：B11、B【解析】求出两直线的交点坐标，可设所求直线的方程为，将交点坐标代入求得，即可的解.【详解】解：由，解得，即两直线的交点坐标为，设所求直线的方程为，则有，解得，所以所求直线方程为，即.故选：B.12、B【解析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解【详解】解：为的中点，故选：【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直线方向向量求出直线斜率即可得直线方程.【详解】因为直线l的一个方向向量为(2，1)，所以其斜率，所以l方程为：，即其一般式方程为：.故答案为：.14、27【解析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为，插入的三个数分别为，因为，所以，得，所以，故答案为：2715、【解析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.【详解】因为，则，，，故在处的切线方程是，整理得：.故答案为：.16、①②【解析】①②结合椭圆方程得到与椭圆参数的关系，即可判断；③④联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求，即可判断.【详解】由题设，且右焦点为，①时直线，故，则符合题设；②时，同①知：符合题设；③时直线，联立直线AB与椭圆方程并整理得：，则，同理可得，则，不合题设；④时，同③分析知：，不合题设；故答案为：①②.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率分别为、；（2）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）确定所选的名学生中，“不喜欢手机网游”和“喜欢手机网游”的学生人数，加以标记，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由题意可知，全班名学生中，“认为作业不多”的学生人数为人，“喜欢手机网游且认为作业多”的学生人数为人，因此，随机地抽问这个班的一名学生，事件“认为作业不多”的概率为，事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率为.【小问2详解】解：在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生，这名学生中“不喜欢手机网游”的学生人数为，记为，名学生中“喜欢手机网游”的学生人数为，分别记为、、、，从这名学生中任取名学生，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，其中，事件“恰有名“不喜欢手机网游”的学生”包含的基本事件有：、、、，共种，故所求概率为.18、（1）（2）【解析】（1），所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，然后过P在平面PAB内作，可得平面ABCD，从而可求出答案.（2）可证平面PAB，过B在平面PAB内作，连结CF，则是二面角的平面角，从而可求解.【小问1详解】因为，所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，可知，是正三角形.过P在平面PAB内作，垂足为E，因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，是直线PD与平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为.【小问2详解】因为，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.则过B在平面PAB内作，垂足为F，连结CF，又,则平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因为，，所以，从而所以二面角正弦值为.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可；（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解即可【小问1详解】当时，，，当时，，，，数列是以为首项、以为公比的等比数列【小问2详解】由（1）得，，即，，设等差数列的公差为，则，，，，，20、（1），（2）2【解析】（1）消参数即可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系式，从而曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理得，即可得的值.【小问1详解】由，消去参数，得，即，所以曲线的普通方程为.由，得，即，所以曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入，整理得，则，令方程的两个根为由韦达定理得，所以.21、（1）A不是有界集合，B是有界集合，理由见解析（2）【解析】（1）解不等式求得集合A；由，根据指数函数的性质求得集合B，由此可得结论；（2）由函数，得出函数单调递减，即有，分和两种情况讨论，求得集合的上界，再由集合的上界函数的单调性可求得集合的上界的最小值.【小问1详解】解：由得，即，，对任意一个，都有一个，故不是有界集合；，，，，是有界集合，上界为1；【小问2详解】解：，因为，所以函数单调递减，，因为函数为有界集合，所以分两种情况讨论：当，即时，集合的上界，当时，不等式为；当时，不等式为；当时，不等式为，即时，集合的上界，当，即时，集合的上界，同上解不等式得的解为，即时，集合的上界，综上得时，集合的上界；时，集合的上界.时，集合的上界是一个减函数，所以此时，时，集合的上界是增函数，所以，所以集合的上界最小值为；22、（1）3x+4y+5＝0（2