2025届福建省福州教育学院附属第二中学数学高一上期末调研试题含解析

2025届福建省福州教育学院附属第二中学数学高一上期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知命题p：，，则为（）A.， B.，C.， D.，2．下列说法正确的有（）①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形.A.1个 B.2个C.3个 D.4个3．当时，的最大值为（）A. B.C. D.4．已知圆和圆，则两圆的位置关系为A.内含 B.内切C.相交 D.外切5．已知圆方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是（）A.4 B.C.6 D.6．已知定义域为R的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.7．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．若，则的值为A. B.C. D.9．已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.10．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，且，则__12．若，，三点共线，则实数的值是__________13．圆的圆心到直线的距离为______.14．______________15．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为（1）求函数的解析式；（2）设，且，求的值16．已知，若，则__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（且）.（1）当时，，求的取值范围；（2）若在上最小值大于1，求的取值范围.18．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.19．已知，求的值.20．如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,.(1)求证:；(2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.21．某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.（1）求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.（3）如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】全称命题的否定定义可得.【详解】根据全称命题的否定，：，.故选：C.2、A【解析】对于①：利用棱台的定义进行判断；对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可判断；对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体.即可判断；对于④：利用圆锥的性质直接判断.【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.故选：A3、B【解析】利用基本不等式直接求解.【详解】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B4、B【解析】由于圆，即

表示以为圆心，半径等于1的圆圆，即，表示以为圆心，半径等于3的圆由于两圆的圆心距等于等于半径之差，故两个圆内切故选B5、C【解析】由圆的方程可知圆心为,半径,则过圆内一点的最长弦为直径,最短弦为该点与圆心连线的垂线段,进而求解即可【详解】由题,圆心为,半径,过圆内一点的最长弦为直径,故；当时,弦长最短,因为,所以,因为在直径上,所以,所以四边形ABCD的面积是,故选:C【点睛】本题考查过圆内一点弦长的最值问题,考查两点间距离公式的应用,考查数形结合思想6、A【解析】根据偶函数的性质可得在上是增函数，且.由此将不等式转化为来求解得不等式的解集.【详解】因为偶函数在上是减函数，所以在上是增函数，由题意知:不等式等价于,即,即或,解得:或.故选：A【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性以及单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题.7、C【解析】根据函数是上的减函数，则两段函数都是减函数，并且在分界点处需满足不等式，列不等式求实数的取值范围.【详解】由条件可知，函数在上是减函数，需满足，解得：.故选：C8、C【解析】由题意求得，化简得，再由三角函数的基本关系式，联立方程组，求得，代入即可求解.【详解】由，整理得，所以，又由三角函数的基本关系式，可得由解得，所以.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、C【解析】根据给定图象求出函数的解析式，再平移，代入计算作答.【详解】观察图象得，令函数周期为，有，解得，则，而当时，，则有，又，则，因此，，将的图象向左平移个单位得：，所以将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为.故选：C10、D【解析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】解：因为，整理可得，解得，或2（舍去），由于，可得，，所以，故答案为：12、5【解析】，，三点共线，，即，解得，故答案为.13、1【解析】利用点到直线的距离公式可得所求的距离.【详解】圆心坐标为，它到直线的距离为，故答案为：1【点睛】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离，此类问题，根据公式计算即可，本题属于基础题.14、【解析】利用指数的运算法则和对数的运算法则即求.【详解】原式.故答案为：.15、（1）（2）【解析】（1）根据函数的最值求出，由相邻两条对称轴之间的距离为，确定函数的周期，进而求出值；（2）由，求出，利用诱导公式结合的范围求出，的值，即可求出结论.【小问1详解】函数的最大值为5，所以A+1＝5，即A＝4∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2故函数的解析式为.【小问2详解】，则由，则，所以所以16、【解析】由已知先求得，再求得，代入可得所需求的函数值.【详解】由已知得，即，所以，而，故答案为.【点睛】本题考查函数求值中的给值求值问题，关键在于由已知的函数值求得其数量关系，代入所需求的函数解析式中，可得其值，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）.【解析】（1）当时，得到函数的解析式，把不等式，转化为，即可求解；（2）由在定义域内单调递减，分类讨论，即可求解函数的最大值，得到答案.【详解】（1）当时，，，得.（2）在定义域内单调递减，当时，函数在上单调递减，，得.当时，函数在上单调递增，，不成立.综上：.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用问题，其中解答中由指数函数的解析式转化为相应的不等式，以及根据指数函数的单调性分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18、（1）；（2）和.【解析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.【详解】（1）设圆的标准方程为：圆心到直线的距离：，则圆的标准方程：（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.②当切线斜率存在时，设切线：，即则圆心到直线的距离：.解得：，即则切线方程为：综上，切线方程为：和19、【解析】首先根据正切两角和公式得到，再利用诱导公式和二倍角公式化简得到，再分子、分母同除以求解即可.【详解】因为，解得.所以.20、(1)见解析；(2).【解析】（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；（2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,此时外接球的直径即可得解.试题解析：(1)证明:∵已知是圆柱的母线,.∴平面∵是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,∴,又,∴平面又平面(2)解:由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,,结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为,所以此时外接球的直径..点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.21、（1），（2）餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为，（3）答案见解析【解析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，；（2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可；（3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎.【小问1详解】因为餐厅满意指数在