广东省佛山市顺德区某中学2023-2024学年高一年级下册期末热身考试数学试卷（含答案解析）VIP

广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高一下学期期末

热身考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在复平面内，复数z=（l+i）（2-i）（其中i为虚数单位）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.对于任意的平面向量下列说法中正确的是（）

A.若Q〃1且贝!

B.右crb=a，c，且aw0,则[6|二|c]

(a-b)*c=a(b・c)

一一一4一r曰/4日、r(CfC+b9C)C

D.Q+b在c上的投影向量为1—十小

©

3.已知sin[e+^1]=g,贝人诂[26—1]=()

A.--B.-C.--D.-

9999

4.在V/BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,向量e=(a,cosB),0=(cosA,-b),

若£，瓦则V4BC一定是()

A.锐角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形等腰三角形或直角三角形

15

5.已知一组正数玉/2，工3，匕户5的方差为/=±£考-9,则另一组数据2%-1,2X2-1,

37=1

2X3-1,2X4-1,2X5-1的平均数为(

6.正方体N58-44GA中，£,6分别是6口，。。的中点，则直线CE与直线/G所成角

的余弦值为（）

试卷第1页，共6页

7.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正

八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为126，则

正八面体外接球的体积为（）

C.12无D.36兀

8.如图，在直角坐标系内，角。的终边与单位圆交于点O召逆时针旋转方得OE，

OE逆时针旋转W得…，。匕一逆时针旋转5得。勺，则点月嫡的横坐标为（）

3-473„3+4石„4-38「4+3石

-------------D.-------------C.------------D.-------------

10101010

试卷第2页，共6页

二、多选题

9.在VN8C中，角4瓦C的对边分别为瓦c,则（）

A.若4=30°/=4,a=3,则V48c恰有1解

B.若tan/tan2=l,贝！JV48c为直角三角形

C.若si/N+sinZB+cos2c<1,则V4BC为锐角三角形

D.若｛-及=bc，贝lJ/=23

10.如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1〜9月份的营业额（单位：亿元）、

净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图.已知2023年第二、三、

四季度的净利润相比上季度均增长10%,则下列结论正确的是（）

45oo12oy

y

40oo10o/

35oo^

只80u

z30oo

/606

w25oo

邻20oo406

15oo

20^/

ooou

5ooo%

o%

-20

营业额^口净利润营业额增长率

A.2015-2022年营业额逐年增加

B.2022年的净利润超过2017-2021年净利润的总和

C.2015-2022年营业额的增长率最大的是2022年

D.2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元

11.在直三棱柱NBC-44cl中，AABC=90°,KAB=BC=CC1=2,M为线段8c上的

A.AB.LA.M

试卷第3页，共6页

B.三棱锥的体积不变

cMM+(叫的最小值为3+石

D.当“是8c的中点时，过4，M，G三点的平面截三棱柱/3C-4耳G外接球所得的

截面面积为胄兀

三、填空题

12.如图所示，水平放置的A48C的斜二测直观图是图中的A4B'C',已知HC'=4,B'C=6,

则AABC的面积为.

13.如图，在Rd48C中，AB=BC=亚,。为/C的中点.将△8C。沿翻折，使点C

移动至点E,在翻折过程中，当=1时，三棱锥的内切球的表面积

14.在V/5C中，内角A,8,0所对的边分别为若1——cin=1—3A，则』•

的取值范围是.

四、解答题

15.在/4BC中，角4民。的对边分别为。，瓦c,已知a=6cosC+6csinB

(1)求8；

(2)若/4BC为锐角三角形，且边c=百，求44BC面积的取值范围.

16.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答卷

试卷第4页，共6页

中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)

分成六段：[40,50),[50,60),…，[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(2)求样本成绩的上四分位数；

⑶已知落在[50,60)的平均成绩是54,方差是7,落在[60,70)的平均成绩为66,方差是4,

求两组成绩的总平均数和总方差.

17.已知向量a=(sin]),X=[c-1sin^函数/(x)=a石-m[+可+1,

XG--,WGR.

L34j

(1)当加=0时，求的值；

(2)若/(x)的最小值为-1,求实数冽的值；

⑶是否存在实数加，使函数g(x)=〃x)+而24加2,尤e--71-71有四个不同的零点？若存在，

求出加的取值范围；若不存在，说明理由.

18.如图，四边形ABCD与8DE尸均为菱形，AB=2,ADAB=1,FA=FC=娓,记平面

AEF与平面ABCD的交线为/.

⑴证明：BD//1；

(2)证明：平面3。£尸_L平面/BCD；

试卷第5页，共6页

mcos23=sin0-tcos0

⑶记平面4EF与平面48CD夹角为e,若正实数加，〃满足

nsin20=cos6+/sin6

0<6<1,证明：机+〃>^^tana.

22

19.定义V/3C三边长分别为叫b,c,则称三元无序数组(/Ac)为三角形数.记。为三

角形数的全集，即(a,6,c)eZ).

⑴证明："(。ec)e。”是八)e的充分不必要条件;

⑵若锐角V48c内接于圆。，且无+y砺+z芯=0,设/=(x,y,z)(x,y,z>0).

①若/=(3,4,5),求LOB：S“OC；

②证明：IwD.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案ADCDBCBBBDBC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据复数的乘法运算求出复数z,再根据复数的几何意义即可得解.

【详解】解：z=(l+i)(2-i)=3+i,

则对应点的坐标为(3,1),位于第一象限.

故选：A.

2.D

【分析】选项A,3=0时，工)不共线时，，得不出2〃"；

选项B,根据条件得出|a|cos<a,b>=\c\coscos<a,c>，不能得出|B|二©；

选项C,根据数量积的定义判断即可；

选项D,根据投影向量的定义，判断即可.

【详解】对于A,5=0时，不共线时，满足不能得出选项A错误;

对于B,因为［石=々・"，所以|万\-\b\cos<a,b>=\a\-\c\coscos且同w0,

所以Wcos„=g|coscos@㈤，不能得出I昨|司，选项B错误；

对于C,根据向量数量积的定义知，Z石与不一定相等，％与Z不一定共线，所以

(a»b)c=a(b*c)不成立，选项C错误；

对于D,市在"上的投影向量为产.占^

选项D正确.

故选：D.

3.C

【分析】由sin12嗯bsin2,+*卜鼻，再结合诱导公式和余弦倍角公式即可求解.

7171

【详解】sin2”-=sin2(=-sin—2。+—

2212

答案第1页，共16页

故选：c

4.D

【分析】根据向量垂直的坐标表示得6COSB=QCOSZ,再根据正弦定理边化角以及二倍角的

正弦公式可得sin24=sin2B,根据4台为三角形的内角可得24=25,或24+25=%，进

一步可得答案.

【详解】因。_L尸，所以QCOS/—6COSB=0,

所以bcosB=〃cos/,由正弦定理可知sin5cos5=siib4cos4,所以sin2,=sin25.

又45G(0,7i),且4+B£(0,7i),所以2/=25,或2Z+2B=»,

TT

所以Z=_S,或4+3=彳.

2

则VABC是等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，属于

基础题.

5.B

【分析】根据题意，求得最=3,结合数据平均数的性质，即可求解.

【详解】由/=:£(%-寸=。传了-中:算记-X—,

可得尤2=9且x>0,所以x=3,

故数据2玉一1,2X2-1,2X3-1,2X4-1,2x5—1的平均数为2x3—1=5.

故选：B.

6.C

【分析】先通过平移将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在三角形内利用余弦定

理即可求得

【详解】

答案第2页，共16页

如图，取CD的中点尸，再取。尸的中点“，连接D\F,GH,AH,因点£是GA的中点，易

证口2ECF,可得//EC,

又因点G是的中点，故GH//D/,则EC//G77,故直线GH与直线/G所成角即直线

CE与直线/G所成角.

不妨设正方体棱长为4,在中，

AG=722+42=275,GH=，22+F=区AH="+F=后,

由余弦定理，cosZAGH=（2―）一十（修）一［（折）-=_1=2,即直线CE与直线/G所成角的

2-2V5-V5205

2

余弦值为

故选：C.

7.B

【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体

积.

【详解】如图正八面体，连接/C和AD交于点。，

因为E/=£C,ED=EB,

所以EOL/C,EO1BD,又/C和AD为平面/BC。内相交直线,

所以EO_L平面4BCD,所以。为正八面体的中心，

答案第3页，共16页

设正八面体的外接球的半径为R,因为正八面体的表面积为8X农=12疗，所以正八

4

面体的棱长为灰，

所以EB=EC=BC=V6,0B=0C=V3,EO=VFF2-OB2=W，

则R=W,V==|TTX3V3=4V3H.

故选：B.

8.B

【分析】根据余弦值的定义，结合诱导公式求解即可

cosa+若,sm0+若

【详解】由题意,6(cosa,sintz),故刍出由诱导公式

r202.71

且a+--------=6747r+a-----即点£脸的横坐标为

33

(兀'71..乃31463+475

cosa——=coscrcos—+smasin—=—x-4x-=---------

(3)33525210

故选：B

9.BD

【分析】由正弦定理，求得8两解，可判定A错误；化简得到cos(/+8)=0,可判定B正

确；由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得cosC<0,可判定C错误；由正弦定理结合余

弦定理，求得sin(/-8)=sin8,可判定D正确.

【详解】对A中，因为/=30。,6=4,0=3,由正弦定理号=工，可得

sinAsinB

42

sinS=—xsinSff=—,

33

因为b>〃，所以8有两解，所以A错误；

对B中，因为tan/tanB=1,所以cos力cos8-sin4sin5=0,可得cos(力+8)=0,

TT7T

因为N+5e(0,7i),所以/+3=—,故C=二，所以B正确；

对C中，由sin24+sin?8+cos2c<1,可得sin?N+sin?8<1-cos?C，

即sinJ+sin»vsi/C,则〃+62<c2,所以cosC="一十"一厂<0,可得C为钝角，所以

2ab

C错误；

答案第4页，共16页

对D中，由余弦定理知/=b2+c2-2bccosA9

a2—b2=bef可得c之一2bccos/=6c,

又由正弦定理可得sinC-2sin8cos%=sin8,

因为/+3=兀一C,可得sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cos4sinB,

所以sinC—2sin5cos4=sin/cosB-cos5sin/=sin(4-B),

可得sin(4-8)=sin8,又因为“一8e(0,兀)，且Be]。,]],

所以/-3=8,即4=28,所以D正确.

故选：BD.

10.BC

【分析】根据图中营业额即可判断A；计算2017-2021年总利润和2022净利润比较即可判

断B；根据图中增长率大小即可判断C；根据等比数列求和公式即可判断D.

【详解】选项A：2019年的营业额低于2018年，A错误.

选项B：2022年的净利润为166.2亿元，

2017-2021年的净利润的总和为40.7+27.8+16.1+42.3+30.5=157.4(亿元)，157.4<166.2,

B正确.

选项C：2015-2022年营业额的增长率最大的是2022年，C正确.

选项D：设2023年第一季度的净利润为“亿元，则第四季度的净利润为(1+10%丫“，

则。+(1+10%”+(+10%)2/="：一：；)=213.7,得1.%一。=21.37,

故2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，D错误.

故选：BC.

11.ABD

【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；VCt_AMBi=VA_BtCiM,由底面积和高判断体积

验证选项B；14M+|GM|转化为点(2亚,0)和点(2,2)到点(04的距离之和，计算验证选

项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.

【详解】连接48,如图所示，

答案第5页，共16页

直三棱柱45C—451G中，AB=BC=CC】=2,

/A4圈为正方形，ABXVAXB,

AABC=90°,BC_L平面45耳4，平面/544，BC上网,

4氏5。（=平面45。，AXB\BC=B,/B]_L平面45c,

4Mu平面45。，AB.VAXM,A选项正确；

1114

由直三棱柱的结构特征，Vc<_AMBi=VA_BiCiM=-SABICIM-AB=-x-xBlCl-CCl-AB=-,故三棱

锥£儿囱的体积为定值，B选项正确；

没BM=t,0<f<2,MC=2-1,

12222

A.M=A1A+AM=//+AB+BM=8+产，

12122

C.M=CXC+MC=2+（2-t）,

\AXM\+\C}M\="2后"+e+（27丫,其几何意义是点（2后,0）和点（2,2）到点（0,。的

距离之和，最小值为点卜28,0）到点（2,2）的距离，为J16+80，C选项错误；

当W是3c的中点时，4M=3,4。=2&，C、M=也,

4"+4Cjc”9+8-5V2

cos/M41G=

2x3x2a-2

sinZMAtCt=乎,S.%©=34G.4”•sinZMAlCl=92私x3x舁3,

=

\CC1M=1x2xl=l,设点c到平面朋4G的距离为也，由Q4g^A]-CCXM，

2

得3〃，=2xl,%=—,

3

直三棱柱4BC-43cl是正方体的一半，外接球的球心为4。的中点o,外接球的半径

答案第6页，共16页

4。=；&c=6，点o到平面及4G的距离为%=3=；,

则过4,M,G三点的平面截三棱柱ABC-4用G外接球所得截面圆的半径为

,截面面积为?兀，D选项正确.

3

故选：ABD

【点睛】方法点睛：

对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有

关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位

置，通过构造直角三角形求半径.

12.24

【分析】还原图形即可求出面积.

【详解】由已知得V/5C的原图如下:

其中NC=8,BC=6,NACB=90°,

所以S“8c=gx6x8=24-

故答案为：24.

“4-273

13-------------71

3

【分析】设内切球半径为「，三棱锥430表面积为H，根据三棱锥体积/.板,=；岳厂求

出厂，然后由球的表面积公式可得.

【详解】因为43=3。=血，ABLBC,所以力C=2,AD=CD=BD=1,

TT

当4Z)E=5时，ADVDE,因为BD1DE,

所以DE_1_平面ABD,AB=BE=AE=V2，S,„F=—x^2xV2xsin—=—,

a232

答案第7页，共16页

q—c-v=—xlxl=—

°AABD-O.BDE-Q^EDA22

=3x1^3+百

则三棱锥E-ABD的表面积为工=3s4BD+SAABE+——=---

A222

设内切球半径为r,则由等体积法知公」以80。£=-=-xS1Xr=

3636

24-2石

解得『=匕8,所以内切球的表面积$2=4w兀•

63

故答案为：上毡兀

3

14.°4

1-sinBsinA

【分析】根据二倍角公式可得即cosA=sin。=cos1-c\,根据角的范围

cosBcosA、

7T7TV2

可得。一/=一，B=——24,0<^r故Me=「由正弦定理、同角三角函数的

2

’227

29

基本关系及二倍角公式可得=4(1+cos4)------------5—-12,换元，结合对勾函数的

a2+2c21+cosA

性质即可求解.

【详解】由题意可得上迹l-cos242sirfAsin4

,故

cosBsin2/2sinAcosAcosA

cos4—sin5cos/=sin/cos5，

BPcos4=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=cos-C

2

因为Ce(O,7T),所以

因为/e(O,7i),所以/=]-C或-4=]一C,

即C+N=巴或C-4=巴，即2=区或C—/=巴.

2222

7Tl-sin5

若B=3,则cos5=0,则无意义’故cr?

cosB

IT7T

又/+3+。=兀，所以2/+8=—，即8=—-2A.

22

TTTTTT冗

因为一方所以C>5,0</<5，0<5<-,

八,兀

0<A<—

2兀J7

所以,解得0</<三，故cos/e—,1.

7142

0<><—7

2

b2sin2B

由正弦定理可得

+2c2sin2A+2sin2C

答案第8页，共16页

_sin?B_sin2B*

短"叫>尸,+2CK

sin274+2cos2Asin2^4+2cos2A

Ceos?/-1)2_4cos4A-4cos2A+1

1+cos2A1+cos2A

4(1+COS2^)2-12(1+COS2T4)4-9

1+cos2A

=4(1+COS2^)+————12,

'>1+cos2J

令7=1+cos?/e2],则^~-=4/1+--12.

【2)a1+2c2t

由对勾函数的性质可得/⑺在11,2J上单调递增,

所以"唱即/

故答案为：(o,£|.

71

15.(1)B=-；(2)S=—aG

4

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得B的值；（2）先根据已

3

知求出不＜。＜2,再求。43c面积的取值范围.

【详解】解：（1）a=Z?cosC+V3csin5,即

可得sin/=sin5cosc+V5sinCsin5,

*.*sinA=sin(5+C)=sin5cosc+cos5sinC=sin5cosC+^fsinCsinB

cosBsinC=6sinCsinB

Vsin^>0

cos3=V3sin5

：.tanB=—

3

答案第9页，共16页

由0<3〈"，可得B=5；

0

(2)若/4BC为锐角三角形，且,=百，由余弦定理可得

b—J。2+3—2a->/3cos—=Ja。-3a+3,

由三角形/8C为锐角三角形，

可得力—3a+3+a?>3且a?_3Q+3+3>/

3

解得<。<2,

2

f/口C百.万3(拒坐>\

可得44BC面积S=-sm7=e--，^-

264182,

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的取值范围的求法，意

在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

16.(1)0.03

(2)84

⑶总平均数是62,总方差是37.

【分析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；

(2)由频率分布直方图求第75百分位数的计算公式即可求解；

(3)根据平均数和方差的计算公式即可求解.

【详解】(1)•.•每组小矩形的面积之和为1,

(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)x10=1,

/.a=0.030.

(2)成绩落在［40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)x10=0.65,

落在［40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)x10=0.9,

设第75百分位数为冽，

由065+0—80)x0.025=0.75,得切=84,故第75百分位数为84；

(3)由图可知，成绩在［50,60)的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70)的市民人数为100x0.2=20,

10x54+66x20"

故彳=--------------------=62.

10+20

所以两组市民成绩的总平均数是62,

答案第10页，共16页

222

5=iQ^2~[10x(54-62)+10x7+20x(66-62)+20x4]=37,

所以两组市民成绩的总平均数是62,总方差是37.

3

17.(1)-

⑵袁

7后

(3)存在,

【分析】(1)利用向量数量积的公式化简函数/(x)即可.

(2)求出函数/(x)的表达式,利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可.

(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.

3x.3x\x.x3xx.3x.x

【详解】(1)a-b=cos—,sm——•Jcos—,-sin—=cos—cos——sin―sin—

2?21122)2222

=cos(5+5)=cos2x,

当加=0时，/(x)=4Z-5+l=cos2x+l,

LI//兀、Ac兀11兀13

则八%尸°S[2X7J+1=COS§+1=5；

/、兀兀

(2)xG-y,

cosx>0,

tz+ft=V2+2cos2x=V4COS2X=2COSX,

贝!Jf(x)=cos~cos-^+1=2cos2x-2mcosx,

令/=cosx,则L/Wl,

2

7先

则y=2t2-2mt,对称轴，=彳，

①当％<J_,即加<1时，

22

当，=：1时，函数取得最小值，此时最小值》=万1-冽=-1,得加二；3(舍),

②当即1K加42时，

22

答案第11页，共16页

2

当，时，函数取得最小值，此时最小值^=-匕=-1,得",=逝或一百(舍去),

22

③当胃■＞1,即加＞2时，

3

当％=1时，函数取得最小值，此时最小值＞=2-2加=-1,得加二,(舍)，

综上：若/(%)的最小值为-1,则实数行近.

//、人2c242c/口3m_p.4m

(3)令g%=2cosx-2mcosxH-----m=0,得cosx=——或,

―4977

:.方程cosx=£或手在xe-衬上有四个不同的实根，

3m1772/7

V2<——<1----<m<—

763

V1

则24my7727，则逑-J,

<—<1,解得■----<m<—

3m8464

加

—4mw0

7

7r)7।

即实数机的取值范围是

L64J

18.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)通过线面平行的性质定理进行转化求解即可；

(2)通过图形关系证明NC18。，FO1AC,然后得到线面垂直，再证明面面垂直即可;

(3)首先通过几何图形关系得到/口。即为平面4EF与平面4BCD的夹角，得到角度后,

通过基本不等式或三元均值不等式转化证明即可.

【详解】(1)因为ADE尸为菱形，所以BD//EF,

因为仁平面4EF,E尸u平面4EF,所以&)//平面/EF,

又因为ADu平面/BCO,平面/跖c平面N2CD=/,所以BD//1.

(2)连接/C交AD于点。，连接尸0,

因为4BCD为菱形，所以4C/BD,。为/C中点，

因为"=FC,所以尸0L/C,

又因为3D,尸Ou平面RDE尸，BDcFO=O,所以AC_L平面2Z历户，

答案第12页，共16页

因为ZCu平面/BCD,所以平面平面/BCZ)

7T

(3)因为4BCZ)为麦形，AB=2,Z.BAD=—,

所以8。=2,05=1,0A=43

又因为AD斯为菱形，所以BF=BD=2,

因为足4=&，FO1AC,所以OF=NFA2-OA?=拒,

所以05+0产=4=2尸2,所以。尸，。8,即8。，。尸，

又因为BD_LO4,04。bu平面尸0AC\OF=O,所以5。1平面尸。4,

又由(1)知5。///,所以/_L平面厂。力,

所以NE4O即为平面AEF与平面ABCD的夹角,

在直角AFOA中，OF-OA=,所以/-FA0=—,

7T

所以平面AEF与平面ABCD夹角的大小为二，

4

一、।冽cos?。=sin。—/cos。fmcos2OsmO=sin20-^sin0cos0

因为＜.2.，所以,22.，

“sin0=cos3+tsin3［几sin0cos0=cos夕+，sin9cos。

两式相加得，mcos2^sin^+nsin20cos3=1，

下面证明：cos?Osin■①；sidecos。式名」②；且等号不同时取;

99

法一：基本不等式

、1_1_Tsin20-K)OS20YTsin20-KOS20

因为(cos?Osin。『(cos?。，sin?61cos?。J〔sin?6

^tan20+1)3(tan?6+1)(tan?6+1j^an20+l^an40+2tan20+1)

tan20tan20tan26

tan60+3tan40+3tan26+1tan4分3tan2分-^-：——F3

tan26tan2<9

答案第13页，共16页

+4tan26»+—^+―^2J4tan26»x11127

H----=----

="吟)tan2e4\tan2044

当且仅当tan2e=1时取等号，所以cos26sin6W友,

29

同理sidpcosew友（当且仅当tan2g=2取等号）

9

所以1=MCOS2Osin0+〃sin26cos+n),BPm+n>^^~,

9v72

所以加+〃>土gtana

2

法二：三元均值不等式